专题08 平面向量中的四心、等和线、极化恒等式（3大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题08 平面向量中的四心、等和线、极化恒等式 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 三角形“四心”的向量表示 题型02 等和线定理求系数和范围 题型03 极化恒等式处理数量积最值 模块三、综合实战演练 一、平面向量四心的定义与向量表示： 1.三角形内心 (1)定义：三角形内接圆圆心，三角形内角角平分线的交点，内心到三角形各边距离相等. (2)性质：若为三角形的内心，则 . (3)拓展：若，，则一定经过三角形的内心. 3.三角形外心 (1)定义：三角形外接圆圆心，三角形各边的垂直平分线的交点，到顶点距离相等（）. (2)性质：若为三角形的外心，则. (3)拓展 ①点为三角形的外心，若，，则一定经过三角形的外心. ②若,，则是三角形的外心. 4.三角形重心 (1)定义：三角形三条中线的交点，重心将中线分为的线段. (2)性质：若为三角形的重心，. (3)拓展 ①点为三角形的重心，若或，，则一定经过三角形的外心. ②点为三角形的重心，若或，则一定经过三角形的外心. 5.三角形垂心 (1)定义：三角形三条高线的交点. (2)性质：若为三角形的垂心，. (3)拓展 ①若点为三角形的垂心，则. ②若点为三角形的垂心，则. ③若点为三角形的垂心，若，，则一定经过三角形的垂心. 二、求平面向量数量积最值的重要技巧：极化恒等式 极化恒等式： 在中，若是的边中线，有以下两个重要的向量关系： 定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若是的中线，则. 定理2 在中，若是的中点，则有 三、平面向量等和线定理 平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. (1) 当时，即，所以等和线为过点的直线； (2) 当时，，即，即，所以等和线恰为直线； (3) 当时，等和线在点与直线之间； (4) 当时，直线在点与等和线之间; (5) 若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 题型01 三角形“四心”的向量表示 1．已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 3．在中，为线段上的一点，满足，，，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 5．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 一、解题技巧（核心结论+判定方法） 设平面内任意点，△ABC顶点向量，边长，四心核心向量表示（必记）： 1. 重心：（等权和）；原点为时，（判定首选）； 2. 外心：（模长相等）；原点为时，； 3. 内心：（边长加权和）；原点为时，； 4. 垂心：核心特征（高线垂直，点积为0）；外心为时，（欧拉定理，高频用）。 二、解题步骤 1. 化简向量式：将题目给出的向量式变形为上述标准形式（如凑等权和、加权和、模长相等）； 2. 匹配定四心：按形式对应重心（等权）、内心（边长权）、外心（模等）、垂心（点积零）； 3. 结合性质求解：四心确定后，结合三角形性质（如重心分中线2:1、内心角分比）求值/证明。 题型02 等和线定理求系数和范围 1. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    2．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为______． 3. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为_______ 4. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 一、必备基础 1. 等和线定理：若，点在直线上，则；若点在与平行的直线上，则（为等和线系数，，为与交点）； 2. 核心结论：的范围由点的运动区域决定，找区域内与平行的最远等和线，求对应值。 二、解题步骤（四步标准化） 1. 建基底：将目标向量式化为（以为基底，系数为）； 2. 定基线：确定基线（基底向量的终点连线）； 3. 画等和线：根据点的运动区域（如三角形、圆），画出与平行的切线/边界线（最远等和线）； 4. 求比定范围：计算最远等和线对应的系数，结合方向确定的最值/范围（同侧同号，异侧异号）。 题型03 极化恒等式处理数量积最值 1. 在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 2. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____ 4. 在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______ 5. 如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、必备公式（必记，分两种场景） 1. 中点式（核心，首选）：对任意向量，设为中点，则； ✅ 关键：为定值时，的最值由的最值决定（最小时，数量积最小；反之最大）； 2. 共起点式：（适配无明显中点时，化和差模长）。 二、解题步骤（三步标准化） 1. 找中点，套公式：观察向量是否共端点，找端点连线的中点，将数量积转化为中点式极化恒等式； 2. 定定值与变量：确定公式中的定值项（如为定值）和变量项（如，随点运动变化）； 3. 求最值，得结果：根据点的运动区域（如圆、直线、三角形），求变量项的最值，代入公式得数量积的最值/范围。 1．已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 2．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 4. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为 . 5. 边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 6. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为______ 8．已知的内心为，且，则______． 9．设的内心为，且满足，则的值是_____． 10．设为的内心，，，，，则______，______． 11．已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 12．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 13．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面向量中的四心、等和线、极化恒等式 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 三角形“四心”的向量表示 题型02 等和线定理求系数和范围 题型03 极化恒等式处理数量积最值 模块三、综合实战演练 一、平面向量四心的定义与向量表示： 1.三角形内心 (1)定义：三角形内接圆圆心，三角形内角角平分线的交点，内心到三角形各边距离相等. (2)性质：若为三角形的内心，则 . (3)拓展：若，，则一定经过三角形的内心. 3.三角形外心 (1)定义：三角形外接圆圆心，三角形各边的垂直平分线的交点，到顶点距离相等（）. (2)性质：若为三角形的外心，则. (3)拓展 ①点为三角形的外心，若，，则一定经过三角形的外心. ②若,，则是三角形的外心. 4.三角形重心 (1)定义：三角形三条中线的交点，重心将中线分为的线段. (2)性质：若为三角形的重心，. (3)拓展 ①点为三角形的重心，若或，，则一定经过三角形的外心. ②点为三角形的重心，若或，则一定经过三角形的外心. 5.三角形垂心 (1)定义：三角形三条高线的交点. (2)性质：若为三角形的垂心，. (3)拓展 ①若点为三角形的垂心，则. ②若点为三角形的垂心，则. ③若点为三角形的垂心，若，，则一定经过三角形的垂心. 二、求平面向量数量积最值的重要技巧：极化恒等式 极化恒等式： 在中，若是的边中线，有以下两个重要的向量关系： 定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若是的中线，则. 定理2 在中，若是的中点，则有 三、平面向量等和线定理 平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. (1) 当时，即，所以等和线为过点的直线； (2) 当时，，即，即，所以等和线恰为直线； (3) 当时，等和线在点与直线之间； (4) 当时，直线在点与等和线之间; (5) 若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 题型01 三角形“四心”的向量表示 1．已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心. 故选：B 2．已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】由点是非等边的外心可得，又因为平面内满足，所以，设D为中点，得到，，从而得到，在边的高线上.同理可得在边高线上，在边高线上，故为高线交点，即为垂心. 【详解】 因为点是非等边的外心， 所以. 因为平面内满足， 所以, 设D为中点，则有 ， 所以， 所以在边的高线上. 同理可得，在边高线上，在边高线上. 故点P是高线的交点，即为的垂心. 故选：A. 3．在中，为线段上的一点，满足，，，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积公式和向量的四则运算可得是的内心，根据内切圆的性质解出，再利用数量积公式和几何性质化简即可求解. 【详解】由可得， 所以， 又，即， 所以在的平分线上，所以是的内心， 如图所示，的内切圆与三边分别相切于点， 由题意可得，解得， 所以， 故选：B 4．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 5．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 一、解题技巧（核心结论+判定方法） 设平面内任意点，△ABC顶点向量，边长，四心核心向量表示（必记）： 1. 重心：（等权和）；原点为时，（判定首选）； 2. 外心：（模长相等）；原点为时，； 3. 内心：（边长加权和）；原点为时，； 4. 垂心：核心特征（高线垂直，点积为0）；外心为时，（欧拉定理，高频用）。 二、解题步骤 1. 化简向量式：将题目给出的向量式变形为上述标准形式（如凑等权和、加权和、模长相等）； 2. 匹配定四心：按形式对应重心（等权）、内心（边长权）、外心（模等）、垂心（点积零）； 3. 结合性质求解：四心确定后，结合三角形性质（如重心分中线2:1、内心角分比）求值/证明。 题型02 等和线定理求系数和范围 1. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值 【详解】 如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    2．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为______． 【答案】3 【解析】如图1，过点作，交的延长线于点， 由，则， 由共线得，可得． 当最大时，取到最大值，此时， 如图2．作，又，则，即， 由，即，则四边形为平行四边形，故， 易知，可得，， 而，，得， 所以， 因此的最大值为3． 故答案为：3 3. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为_______ 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 4. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】因为，所以， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 5. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 一、必备基础 1. 等和线定理：若，点在直线上，则；若点在与平行的直线上，则（为等和线系数，，为与交点）； 2. 核心结论：的范围由点的运动区域决定，找区域内与平行的最远等和线，求对应值。 二、解题步骤（四步标准化） 1. 建基底：将目标向量式化为（以为基底，系数为）； 2. 定基线：确定基线（基底向量的终点连线）； 3. 画等和线：根据点的运动区域（如三角形、圆），画出与平行的切线/边界线（最远等和线）； 4. 求比定范围：计算最远等和线对应的系数，结合方向确定的最值/范围（同侧同号，异侧异号）。 题型03 极化恒等式处理数量积最值 1. 在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 2. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 3. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____ 【答案】 【解析】 设BC 的中点为O，OC的中点为M,连接OP,PM, 当且仅当M与P重合时取等号 4. 在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______ 【答案】 【解析】 设EF的中点为M，连接CM，则 即点M在如图所示的圆弧上， 则 5. 如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 一、必备公式（必记，分两种场景） 1. 中点式（核心，首选）：对任意向量，设为中点，则； ✅ 关键：为定值时，的最值由的最值决定（最小时，数量积最小；反之最大）； 2. 共起点式：（适配无明显中点时，化和差模长）。 二、解题步骤（三步标准化） 1. 找中点，套公式：观察向量是否共端点，找端点连线的中点，将数量积转化为中点式极化恒等式； 2. 定定值与变量：确定公式中的定值项（如为定值）和变量项（如，随点运动变化）； 3. 求最值，得结果：根据点的运动区域（如圆、直线、三角形），求变量项的最值，代入公式得数量积的最值/范围。 1．已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线，经过整理得到，将其代入，经过整理得到，，利用向量减法的三角形法则得到，取的中点，由向量加法的平行四边形法则得到，将其代入得到，动点的轨迹必经过的重心. 【详解】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 2．已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 3．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 4. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为 . 【答案】. 【详解】如图所示：作平行四边形，分别在上，故. 故，设， 根据正弦定理：，， 故，， 故， 其中，当时，有最大值为. 故答案为：. 5. 边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知. 6. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 7. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为______ 【答案】 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 8．已知的内心为，且，则______． 【答案】 【分析】借助奔驰定理，以此得出三角形三边之比，然后利用余弦定理计算即可 【详解】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 9．设的内心为，且满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】如图，连接交于点，则， 于是． 又，因此 同理可得，， 所以． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 故答案为：. 10．设为的内心，，，，，则______，______． 【答案】 ； 【分析】根据三角形内心向量表示式，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】， 即． 又因为是三角形的内心， 所以， 则有，解得，． 故答案为：； 11．已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出，再延长交于点，由为的重心结合解直角三角形可得的值； （2）延长交于点，由余弦定理可得，结合为的重心可得，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，而为锐角，故. 延长交于点，所以. 因为，所以为的重心，所以； 所以. （2） 设的对边分别为，延长交于点， 由（1）知，是的重心，所以为线段的中点，且. 因为为的中线，故， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 而，故， 故即， 所以. 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 12．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【详解】（1）如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. （2）如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. （3）如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 13．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $