专题07 解三角形中的边角转化、多三角形与最值模型（8大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题07 解三角形中的边角转化、多三角形与最值模型 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 正余弦定理边角互化与解三角形 题型02 解三角形中的中线问题 题型03 解三角形中的角平分线问题 题型04 解三角形中的高线问题 题型05 多三角形嵌套问题 题型06 三角形周长的最值与范围问题 题型07 三角形面积的最值与范围问题 题型08 三角形边长的最值与范围问题 模块三、综合实战演练 一、解三角形中多三角形嵌套问题的解题策略： 策略1：公共边纽带法（最常用，适配90%嵌套题型） 适用场景：两个三角形共享一条边（如△ABC与△ADC共享AC，△ABD与△BCD共享BD），公共边是连接两个三角形的唯一桥梁。 解题步骤： 1. 设公共边为（未知则设元，已知则直接用）； 2. 对每个三角形，结合已知条件，用正/余弦定理列出含公共边的方程； 3. 联立两个方程，消去公共边，解出未知的边/角； 4. 回代求公共边，再求解其他待求量。 策略2：公共角/互补角/相等角纽带法 适用场景：嵌套三角形无公共边，但有公共角、互补角（和为180°）或相等角（如对顶角、内错角），角的关系为核心纽带。 解题步骤： 1. 标注角的关系：明确公共角、互补角（，）、相等角； 2. 对每个三角形，用正/余弦定理列出含该角的方程（优先保留角的三角函数式，不急于求值）； 3. 利用角的三角函数关系（如），联立方程消去角的三角函数，解出未知边/角； 4. 回代求角，验证角的范围（三角形内角∈(0,π)）。 关键结论：互补角的正弦值相等，余弦值互为相反数（核心公式，直接用），此为消元关键。 策略3：设元消元法（兜底策略，适配多未知量嵌套题型） 适用场景：嵌套三角形有2个及以上未知量，无明显直接纽带，或公共边/角均为未知。 解题步骤： 1. 设核心未知量（通常为待求量或公共边/角，设1~2个即可，避免多元复杂）； 2. 对每个独立三角形，用正/余弦定理将所有未知量用所设元表示，列出多个方程； 3. 联立方程消元求解（代入消元为主，消去非核心未知量）； 4. 回代所有设元，求最终待求量。 设元原则：优先设边（设边后用正余弦定理化角，计算更直观），少设角（避免三角恒等变换的复杂运算）。 二、解三角形中最值与范围问题的解题策略： 策略1：角化边/边化角（基础核心，首选） 将多角/多边问题转化为单角/单一边的函数，利用三角函数有界性（、）求最值，适配含角的最值/边长范围所有基础题型。 适用场景 已知部分边角关系，求角的最值、边长的范围、边角乘积/和的最值。 解题步骤 1. 定转化方向： - 求角的最值：边化角（用正弦定理、，消去所有边，保留角）； - 求边的最值：角化边（用余弦定理，消去所有角，保留边）； 2. 消元降维：利用，将多角化为单一角（如，若已知，则）； 3. 构造函数：将所求量表示为单角的三角函数（如、）； 4. 定域求界：根据三角形角的范围，确定单角的取值区间，结合三角函数单调性/图像求值域（最值/范围）。 策略2：基本不等式法（高效速解，次选） 利用均值不等式（和定积最大、积定和最小）求最值，适配含边的乘积/平方和/和的最值，且满足“一正二定三相等”条件。核心公式（直接套用） 1. 均值不等式：（和定积最大），（积定和最小），当且仅当时取等； 2. 结合余弦定理：已知，则，可将和与积互化。 解题步骤 1. 找定值条件：由已知边角（如和），通过余弦定理得到与的定值关系； 2. 套基本不等式：将所求量（如、）用定值关系表示，结合均值不等式列不等式； 3. 求最值：解不等式得所求量的最值，验证等号成立条件（，即三角形为等腰三角形）； 4. 验约束：确认等号成立时，三角形存在（满足角/边长约束）。 策略3：函数单调性法（兜底策略，通用） 将所求量表示为单变量初等函数（如二次函数、分式函数），利用函数单调性求范围，适配基本不等式不适用（等号取不到）/含复杂边角关系的题型。解题步骤 1. 建函数关系：通过正余弦定理，将所求量表示为单一变量（边/角）的函数； 2. 定变量范围：根据三角形约束，确定变量的取值区间（如、）； 3. 判单调性：求导（或根据初等函数性质）判断在区间内的单调性（增/减/先增后减）； 4. 求界：根据单调性，取区间端点/极值点求函数的值域（最值/范围）。 题型01 正余弦定理边角互化与解三角形 1．中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，根据余弦定理求即可； （2）利用余弦定理解得，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为中，， 所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由余弦定理得， 则， 即，解得， 所以面积， 即面积为. 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解； （2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， ， 又， ， ， ， 又， ． （2），由余弦定理：， ， 的周长为8，，解得， 故． 3．在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件结合正弦定理与余弦定理计算得到结果； （2）根据题中条件结合正弦定理计算出，利用三角形内角和计算得到结果； 【详解】（1）由题意可得， 根据正弦定理可得， 所以. 因为，所以. （2）因为，所以， 由（1）得，所以，代入得， 化简得，则，即， 因为，所以 . 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求A； (2)若，，求c. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，即； （2）法1：根据三角形中角的关系由已知条件可得，再由正弦定理计算可得; 法2：利用正弦定理将问题转化为边的关系，利用余弦定理联立方程组解得即可. 【详解】（1）因为，依据正弦定理， 可得，即. 由余弦定理得，， 因为， 所以. （2）法1：因为，在三角形中，， 所以，即， 所以，所以. 因为，所以，即， 所以，即， 所以，所以. 由正弦定理得， 即. 法2：由正弦定理， 所以，即①； 由（1），即. 所以②； 联立①②，， 解得. 因为，所以取两根中的较小者，即. 5．记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【详解】（1）（方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. （2）由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 核心：边化角/角化边，消元降维解边角，解三角形基础题型 1. 定转化方向：求角→边化角（正弦定理，消边留角）；求边→角化边（余弦定理，消角留边）； 2. 消元化简：利用将多角化为单角，结合三角恒等变换化简； 3. 求解除验：解出边角后，验证三角形内角和与三角不等式（两边之和>第三边）。 选定理原则：两角一边/两边对一角→正弦定理；两边及夹角/三边→余弦定理。 题型02 解三角形中的中线问题 1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 2．在中，角的对边分别为．已知 (1)求角的正弦值； (2)若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理，求得，根据同角三角函数的平方关系求得； （2）利用向量表示中线，根据向量的数量积求向量夹角的余弦值，从而得到的余弦值． 【详解】（1），由正弦定理，得. . 又由. 因为，所以. 即角的正弦值为. （2）. . . 所以. 由图可知的夹角等于的夹角，即. 所以的余弦值为. 3．在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. (1)求角B ; (2)若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，应用正弦边角关系、三角恒等变换整理化简得，进而求角； （2）由题设、，应用向量数量积的运算律、余弦定理得、，进而求边长，代入即可得. 【详解】（1）由题设，可得， 由正弦边角关系知， 所以， 即， 所以，而，故， 由，则； （2）由题设，则， 又，则， 所以， 由，，则，可得， 综上，，所以，即. 4．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且. (1)求； (2)若的面积为，E为BC的中点，且，求底边BC上中线AE的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及余弦定理求得，应用平方关系求结果； （2）由三角形面积公式及已知得、，再由及数量积的运算律求中线AE的长. 【详解】（1）由题设，则，整理得， 所以，故，则； （2）由题设，可得，又，则， 由，则 . 5．已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 在中，为的中点，是底边的中线. 方法一、中线的向量表示：，通过平方进一步转化为数量积问题. 方法二、中线定理： 方法三、极化恒等式： 方法四、利用底边邻补角互补：，所以，结合余弦定理求解. 题型03 解三角形中的角平分线问题 1．在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 2．在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，则，可得， 则，故； （2）由，解得， 因为，即， 即， 解得. 3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角； （2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解. 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小： (2)若，，． ①求的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）①先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； ②由角平分线定理求出，再利用余弦定理可求. 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； ②由角平分线定理可得，即， 又，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得. 5．在中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求； (2)已知的角平分线交于点. （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）若点满足，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，从而得，化简得，即可求解； （2）（ⅰ）由余弦定理可得，再结合，从而可求解； （ⅱ）由，可得，从而得，，从而得，再结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理对化简，可得. 又因为， 所以， 由，得，又，则. （2）（ⅰ）由余弦定理，知，所以. 又，所以. 由，得， 整理得. （ⅱ）因为，所以. 因为为的平分线，所以，则. 又， ， 所以 ， ，， 所以. 核心：角平分线定理+角平分线长公式，角分比+补角建等式 关键公式（必记） 1. 角平分线定理：AD平分∠BAC交BC于D，则（边的比例等于邻边比）； 2. 角平分线长公式： 或 。 步骤：由角平分线定理得边的比例→设元表示BD/DC→套角平分线长公式/余弦定理（利用角分角）求解。 题型04 解三角形中的高线问题 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 【答案】(1)； (2)；BC边上的高为． 【分析】（1）根据辅助角公式及条件，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据条件及正弦定理，可得角B，根据诱导公式及两角和的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，可得c值，进而可得BC边上的高 【详解】（1）由题意得，可得， 根据A为三角形的内角，可得， 所以，可得； （2）由正弦定理及，可得， 因为，所以均不为0， 所以，即，所以， 所以 ， 由正弦定理得，则，解得， 所以中，BC边上的高. 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 3．在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解. 【详解】（1）根据正弦定理可得，化简整理得， 由余弦定理得，因为，故； （2）由，得，又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，. 4．记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用切化弦，再应用正弦定理结合两角和差公式得出，最后计算求值； （2）先根据三角形是锐角三角形得出，结合面积公式及三角函数的值域计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又因为，所以， 应用正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，， 所以得出，所以， 设边上的高为，， . 5．在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】(1)； (2)选①②，答案均为； (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以，   在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 核心：高线建直角三角形+面积公式，勾股定理/面积桥联解 两大方法 1. 直角三角形法：高线将原三角形分为两个直角三角形，利用勾股定理列边的关系（如）； 2. 面积桥法：（为BC边上的高），直接求高线长。 适用场景：已知面积/边角→面积桥法；仅知边→勾股定理法。 题型05 多三角形嵌套问题 1．已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解. （3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 3．在中，角所对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若在边上，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理等式后由余弦定理求得，即可求得； （2）方法一：由（1）得，由得，通过诱导公式及和差角公式求得，在和中由正弦定理建立等式，即可求得； 方法二：作于于，设，由（1）中结论及条件求得线段，由求得，即可求得. 【详解】（1）由， ， 化简后：， 由余弦定理：， 又. （2）方法一：由（1）可知， 又， 不妨设， 中，由正弦定理， 中，由正弦定理， 两式相除，， 展开化简得， 即， ． 综上，则. 方法二：如图，作于于， 设， 由，， 又，， ， 又，， . 4．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，结合已知条件运算得解； （2）由结合诱导公式可得或，结合已知条件可得或，求得，再根据运算得解. 【详解】（1）由余弦定理得，. 又，故，     所以，又， 所以，故而. （2）由，知或. 又或，所以只可能是或， 分别解得或（舍去），    故只有如图情况，即在线段上，且，故，， 于是，，即， 故.     5．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值. （2）过作于，则，又，所以 【详解】（1）因为，所以， 即，化简得， 又， 所以，又，，故， （2）如图：过作于，则，， ，又，所以. 核心：找公共元素，拆嵌套为独立三角形，联式消元 1. 拆形找纽带：将嵌套图形拆为2~3个独立三角形，找公共边/公共角/互补角（核心纽带）； 2. 分形列定理：对每个三角形，按已知条件选正/余弦定理列方程，保留纽带元素； 3. 联式消元解：利用纽带元素关系（如公共边相等、互补角）联立方程，消元求未知； 4. 回代验范围：解出后验证三角形基本约束。 高频模型：共边双三角形、内接三角形、拼接三角形（互补角）。 题型06 三角形周长的最值与范围问题 1．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为且． (1)求角B的大小； (2)求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据正弦定理边角互换，将边长对应换成正弦，再根据两角和与差打开化简合并即可. （2）根据余弦定理可得出关系式，再根据基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由及， 得， 根据正弦定理得． 因为，且为锐角三角形． 所以， 即， 即， 因为△ABC为锐角三角形，所以． 因此， 又，故； （2）由余弦定理知：， 即， 当且仅当时等号成立，此时△ABC为等边三角形，符合题意； 所以． 因此周长为， 即周长最大值为3． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长度； (3)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再由两角和与差的正弦公式即可分析求解； （2）先由和余弦定理求出、，再由两边平方即可计算求解； （3）先由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由三角函数性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得； （2）由，可得， 又由余弦定理可得，即，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ， 故； （3）根据正弦定理得， 所以，， 可得 ， 由为锐角三角形可得，解得， 所以，可得，， 所以的周长的取值范围是． 3．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求周长的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)用正弦定理、正弦的和角公式进行求解； (2)利用辅助角公式并结合锐角三角形的条件进行求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，，代入得： 得到，即 又，且，所以，又因为，可得. （2）设外接圆半径为，则， 周长 而 代入化简得： 利用辅助角公式可得： 因为是锐角三角形，且，所以， 则，则， 所以周长 即：周长的取值范围为. 4．已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 5．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 核心：周长，转化为两边和/单角三角函数，结合不等式/三角函数有界性求解 解题步骤 1. 定定值条件：若已知一边+对角（如），用正弦定理将表示为角的正弦式：，； 2. 化单角函数：利用，将周长化为单角的正弦型函数； 3. 求界：① 基本不等式法：若知两边和为定值，套；② 三角函数法：定角的范围，利用求最值； 4. 验等号：基本不等式需验证（等腰），三角函数需验证角的范围。 题型07 三角形面积的最值与范围问题 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式可得，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证； （2）设，由正弦定理可得，，由三角形面积公式可得，令，化简可得最大值为，进而可计算面积最小值. 【详解】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 因为，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故成立； （2）若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【详解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 4．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 核心：面积公式，定角求积用基本不等式，定边求积用三角函数 两大场景解法 1. 已知一角（如）：，由余弦定理得，结合基本不等式求的最值，代入得面积最值（等号成立）； 2. 已知一边（如）：用正弦定理化，，，化单角函数后求值域； 3. 范围问题：结合角/边的约束，定核心变量（/单角）的范围，代入面积公式得解。 避坑：面积公式仅含正弦，勿用余弦，利用求最值。 题型08 三角形边长的最值与范围问题 1．在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 2．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 3．在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 4．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 5．已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 核心：单边长最值→转化为单角三角函数/基本不等式，边长范围→紧扣三角不等式+正余弦定理 解题步骤 1. 选转化方法： - 最值：① 角化边+基本不等式（已知一边+对角，求另一边最值）；② 边化角+三角函数有界性（将边长表示为单角正弦式，求值域）； - 范围：① 三角不等式直接定界（）；② 正余弦定理建函数（将边长表示为单变量函数，利用单调性求范围）； 2. 定变量范围：明确角∈(0,π)、边>0的约束； 3. 求解除验：解出后验证三角形存在性。 1．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 2．在中，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件等式，先用正弦定理将转化为对边和外接圆半径，得到，再代入余弦定理，化简后得到，然后写出三角形面积，由余弦定理得，于是，代入面积得，最后利用 及均值不等式，求得最大面积为 . 【详解】在 中，设 ，，. 根据正弦定理 ，为三角形外接圆半径. 将条件 转化为边的关系： 左边: ， 右边：， 等式两边相等得： ，化简得. 结合余弦定理 ， 代入上式得:整理得 . 三角形面积 . 由，得， 代入面积公式：， 由基本不等式 ，得 ，即 (当且仅当 时取等号)， 此时 取得最大值 ，故 . 3．在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】ABCD 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A正确； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 4．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 5．在中，分别是内角的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 【答案】 【分析】由射影定理及余弦定理可得及，再由基本不等式可得三角形面积的最大值. 【详解】由任意三角形的射影定理可知， 又因为，所以． 又因为，，所以，且， 所以，所以， 再由基本不等式可知，因为，所以，即， 当且仅当时，的面积取得最大值． 6．在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 【答案】 【详解】由题意如图所示： 在中，设，由，则，又， 根据余弦定理有：， 即，解得：， 所以，所以， 设，则， 在中，， 根据余弦定理有：， 化简得：， 在中，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得： ， 当时，有最大值，所以的最大值为：. 7．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及正弦定理化简得出，结合余弦定理可求出的值，再由角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：求出，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出周长的取值范围； 解法二：求出，设，求出的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围，进而可得出周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则，    设，，在中，由余弦定理得， 即，即，整理得， 因为且，由基本不等式可得， 可得，即， 当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，故， 综上所述，的周长的取值范围为； 方法二：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则， 设，则有，则，， 由，可得， 在中，，由正弦定理得， 则，， 可得 ， 根据，，所以， 可得，所以， 所以的周长范围为． 8．在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 9．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得，再利用三角形面积公式得到面积表达式，再求出的范围即可得到最值. 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 10．在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 11．在中，，是边上的中线，记，． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在和中运用正弦定理结合已知条件即可求解； （2）利用第（1）问的结论和结合三角恒等变换公式得到关于的方程，求出和，最后利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）设， ，， ，． ，， ； （2）由（1）得，， ， ， ，解得或（舍）， 故．，． 又， 所以． 12．中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②：；条件③：. 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选②③，（i）；（ii） 【分析】（1）由两角和差的正弦及辅助角公式化简可得，进而可得； （2）利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可. 【详解】（1）由可得， 即，， 因为，所以，则，解得； （2）若条件①正确，由，得， 由余弦定理，得，即， 解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确； （i）由，， 得，解得， 由余弦定理，得， 因为，所以，由正弦定理， 得，即； 由正弦定理，得，即， （ii）因为平分，，所以， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 又，上述两式相除，得， 解得，所以. 14．在中，． (1)求c； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由平方关系得出的值，再由正弦定理即可求解的值； （2）若选①，可得和都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得及，进一步由求得高，并说明此时存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明存在，且可由等面积法求解边上的高. 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理有，解得. （2）如图所示，若存在，则边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，此时有两个钝角，故不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由正弦定理有，解得， 此时，， 而，，，， 所以，可以唯一确定， 此时、也可以唯一确定，故存在，且边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得， 进一步由余弦定理可得、也可以唯一确定，即、唯一确定， 此时存在，且边上的高满足：，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解三角形中的边角转化、多三角形与最值模型 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 正余弦定理边角互化与解三角形 题型02 解三角形中的中线问题 题型03 解三角形中的角平分线问题 题型04 解三角形中的高线问题 题型05 多三角形嵌套问题 题型06 三角形周长的最值与范围问题 题型07 三角形面积的最值与范围问题 题型08 三角形边长的最值与范围问题 模块三、综合实战演练 一、解三角形中多三角形嵌套问题的解题策略： 策略1：公共边纽带法（最常用，适配90%嵌套题型） 适用场景：两个三角形共享一条边（如△ABC与△ADC共享AC，△ABD与△BCD共享BD），公共边是连接两个三角形的唯一桥梁。 解题步骤： 1. 设公共边为（未知则设元，已知则直接用）； 2. 对每个三角形，结合已知条件，用正/余弦定理列出含公共边的方程； 3. 联立两个方程，消去公共边，解出未知的边/角； 4. 回代求公共边，再求解其他待求量。 策略2：公共角/互补角/相等角纽带法 适用场景：嵌套三角形无公共边，但有公共角、互补角（和为180°）或相等角（如对顶角、内错角），角的关系为核心纽带。 解题步骤： 1. 标注角的关系：明确公共角、互补角（，）、相等角； 2. 对每个三角形，用正/余弦定理列出含该角的方程（优先保留角的三角函数式，不急于求值）； 3. 利用角的三角函数关系（如），联立方程消去角的三角函数，解出未知边/角； 4. 回代求角，验证角的范围（三角形内角∈(0,π)）。 关键结论：互补角的正弦值相等，余弦值互为相反数（核心公式，直接用），此为消元关键。 策略3：设元消元法（兜底策略，适配多未知量嵌套题型） 适用场景：嵌套三角形有2个及以上未知量，无明显直接纽带，或公共边/角均为未知。 解题步骤： 1. 设核心未知量（通常为待求量或公共边/角，设1~2个即可，避免多元复杂）； 2. 对每个独立三角形，用正/余弦定理将所有未知量用所设元表示，列出多个方程； 3. 联立方程消元求解（代入消元为主，消去非核心未知量）； 4. 回代所有设元，求最终待求量。 设元原则：优先设边（设边后用正余弦定理化角，计算更直观），少设角（避免三角恒等变换的复杂运算）。 二、解三角形中最值与范围问题的解题策略： 策略1：角化边/边化角（基础核心，首选） 将多角/多边问题转化为单角/单一边的函数，利用三角函数有界性（、）求最值，适配含角的最值/边长范围所有基础题型。 适用场景 已知部分边角关系，求角的最值、边长的范围、边角乘积/和的最值。 解题步骤 1. 定转化方向： - 求角的最值：边化角（用正弦定理、，消去所有边，保留角）； - 求边的最值：角化边（用余弦定理，消去所有角，保留边）； 2. 消元降维：利用，将多角化为单一角（如，若已知，则）； 3. 构造函数：将所求量表示为单角的三角函数（如、）； 4. 定域求界：根据三角形角的范围，确定单角的取值区间，结合三角函数单调性/图像求值域（最值/范围）。 策略2：基本不等式法（高效速解，次选） 利用均值不等式（和定积最大、积定和最小）求最值，适配含边的乘积/平方和/和的最值，且满足“一正二定三相等”条件。核心公式（直接套用） 1. 均值不等式：（和定积最大），（积定和最小），当且仅当时取等； 2. 结合余弦定理：已知，则，可将和与积互化。 解题步骤 1. 找定值条件：由已知边角（如和），通过余弦定理得到与的定值关系； 2. 套基本不等式：将所求量（如、）用定值关系表示，结合均值不等式列不等式； 3. 求最值：解不等式得所求量的最值，验证等号成立条件（，即三角形为等腰三角形）； 4. 验约束：确认等号成立时，三角形存在（满足角/边长约束）。 策略3：函数单调性法（兜底策略，通用） 将所求量表示为单变量初等函数（如二次函数、分式函数），利用函数单调性求范围，适配基本不等式不适用（等号取不到）/含复杂边角关系的题型。解题步骤 1. 建函数关系：通过正余弦定理，将所求量表示为单一变量（边/角）的函数； 2. 定变量范围：根据三角形约束，确定变量的取值区间（如、）； 3. 判单调性：求导（或根据初等函数性质）判断在区间内的单调性（增/减/先增后减）； 4. 求界：根据单调性，取区间端点/极值点求函数的值域（最值/范围）。 题型01 正余弦定理边角互化与解三角形 1．中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 3．在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求A； (2)若，，求c. 5．记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 核心：边化角/角化边，消元降维解边角，解三角形基础题型 1. 定转化方向：求角→边化角（正弦定理，消边留角）；求边→角化边（余弦定理，消角留边）； 2. 消元化简：利用将多角化为单角，结合三角恒等变换化简； 3. 求解除验：解出边角后，验证三角形内角和与三角不等式（两边之和>第三边）。 选定理原则：两角一边/两边对一角→正弦定理；两边及夹角/三边→余弦定理。 题型02 解三角形中的中线问题 1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 2．在中，角的对边分别为．已知 (1)求角的正弦值； (2)若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值． 3．在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. (1)求角B ; (2)若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 4．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且. (1)求； (2)若的面积为，E为BC的中点，且，求底边BC上中线AE的长. 5．已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 在中，为的中点，是底边的中线. 方法一、中线的向量表示：，通过平方进一步转化为数量积问题. 方法二、中线定理： 方法三、极化恒等式： 方法四、利用底边邻补角互补：，所以，结合余弦定理求解. 题型03 解三角形中的角平分线问题 1．在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 2．在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小： (2)若，，． ①求的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长． 5．在中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求； (2)已知的角平分线交于点. （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）若点满足，求的值. 核心：角平分线定理+角平分线长公式，角分比+补角建等式 关键公式（必记） 1. 角平分线定理：AD平分∠BAC交BC于D，则（边的比例等于邻边比）； 2. 角平分线长公式： 或 。 步骤：由角平分线定理得边的比例→设元表示BD/DC→套角平分线长公式/余弦定理（利用角分角）求解。 题型04 解三角形中的高线问题 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 3．在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 4．记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 5．在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 核心：高线建直角三角形+面积公式，勾股定理/面积桥联解 两大方法 1. 直角三角形法：高线将原三角形分为两个直角三角形，利用勾股定理列边的关系（如）； 2. 面积桥法：（为BC边上的高），直接求高线长。 适用场景：已知面积/边角→面积桥法；仅知边→勾股定理法。 题型05 多三角形嵌套问题 1．已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 3．在中，角所对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若在边上，且，求． 4．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 5．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 核心：找公共元素，拆嵌套为独立三角形，联式消元 1. 拆形找纽带：将嵌套图形拆为2~3个独立三角形，找公共边/公共角/互补角（核心纽带）； 2. 分形列定理：对每个三角形，按已知条件选正/余弦定理列方程，保留纽带元素； 3. 联式消元解：利用纽带元素关系（如公共边相等、互补角）联立方程，消元求未知； 4. 回代验范围：解出后验证三角形基本约束。 高频模型：共边双三角形、内接三角形、拼接三角形（互补角）。 题型06 三角形周长的最值与范围问题 1．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为且． (1)求角B的大小； (2)求周长的最大值． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长度； (3)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 3．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求周长的范围. 4．已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 5．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 核心：周长，转化为两边和/单角三角函数，结合不等式/三角函数有界性求解 解题步骤 1. 定定值条件：若已知一边+对角（如），用正弦定理将表示为角的正弦式：，； 2. 化单角函数：利用，将周长化为单角的正弦型函数； 3. 求界：① 基本不等式法：若知两边和为定值，套；② 三角函数法：定角的范围，利用求最值； 4. 验等号：基本不等式需验证（等腰），三角函数需验证角的范围。 题型07 三角形面积的最值与范围问题 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 4．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 核心：面积公式，定角求积用基本不等式，定边求积用三角函数 两大场景解法 1. 已知一角（如）：，由余弦定理得，结合基本不等式求的最值，代入得面积最值（等号成立）； 2. 已知一边（如）：用正弦定理化，，，化单角函数后求值域； 3. 范围问题：结合角/边的约束，定核心变量（/单角）的范围，代入面积公式得解。 避坑：面积公式仅含正弦，勿用余弦，利用求最值。 题型08 三角形边长的最值与范围问题 1．在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 2．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 3．在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 4．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 5．已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 核心：单边长最值→转化为单角三角函数/基本不等式，边长范围→紧扣三角不等式+正余弦定理 解题步骤 1. 选转化方法： - 最值：① 角化边+基本不等式（已知一边+对角，求另一边最值）；② 边化角+三角函数有界性（将边长表示为单角正弦式，求值域）； - 范围：① 三角不等式直接定界（）；② 正余弦定理建函数（将边长表示为单变量函数，利用单调性求范围）； 2. 定变量范围：明确角∈(0,π)、边>0的约束； 3. 求解除验：解出后验证三角形存在性。 1．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 2．在中，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 4．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 5．在中，分别是内角的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 6．在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 7．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 8．在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 9．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 10．在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 11．在中，，是边上的中线，记，． (1)求； (2)若，，求． 12．中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)给出以下三个条件： 条件①：；条件②：；条件③：. 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （i）求的值； （ii）求的角平分线的长. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 14．在中，． (1)求c； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $