学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷01（上海专用，沪教版选一1～4章直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 准考证号 注意事项： 1、请注意客观题填涂需清晰，完整覆盖选项。 2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 0 正确填涂■ 缺考填涂标记口 9 9 9 9 9 9 9☐ 9 填空题(54分) 装订线 1 3 5 6 8 9 10 11 12 二、 单选题(18分) 13ABCD 14ABCD 15ABCD16ABCD 三、解答题(78分) 17.(14分) 密封线 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第1页（共4页） 18.(14分) 19.(14分) E D A 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共4页） 请使用2B铅笔填涂选择题答案选项及考号 ■ 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共4页） 21.(18分) 装订线 密封线 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第4页（共4页） 高二数学参考答案 一、填空题（1-6题4分，7-12题5分．） 1. 2. 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或 9. 10. 11. 1 12. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 1 2 3 4 答案 C C B B 三、解答题(共78分) 17．（本题14分） （1）由题设，点到直线的距离为； ........................7分 （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为............................................................................................................................14分 18．（本题14分）（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列；..........................................................7分 （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. .................................................14分 19．（本题14分）（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 ...............................................7分 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. ..............................................................14分 20．（本题18分）（1）由题知，得，所以离心率. ...............................................6分 （2）由题可知，设，且， 则， 由于，所以当时，取到最大值为. ...............................................12分 （3）设， 因为直线与椭圆交于异于的两点和，所以． 所以，得， 则， ， 即， 故，所以或（因为，故舍去）． 当时，直线过定点． 因此直线过定点. ...............................................18分 21．（本题18分） （1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. ..............................................6分 （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. ...............................................12分 （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. ...............................................................................18分 高一数学答案 第 2 页 共 11 页 高一数学答案 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选一1~4章直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 2．设，若直线与直线垂直，则 ． 3．已知数列的前n项和为，若，则 ． 4．已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为 ． 5．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 6．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 7．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 8．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 9．若方程表示圆，则m的取值范围为 . 10．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 11．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 12．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 14．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 15．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 18．（本题14分）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 19．（本题14分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 20．（本题18分）已知椭圆，点为的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点到点的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 21．（本题18分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 高二数学试卷 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选一1~4章直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 2．设，若直线与直线垂直，则 ． 3．已知数列的前n项和为，若，则 ． 4．已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为 ． 5．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 6．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 7．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 8．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 9．若方程表示圆，则m的取值范围为 . 10．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 11．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 12．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 14．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 15．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 18．（本题14分）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 19．（本题14分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 20．（本题18分）已知椭圆，点为的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点到点的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 21．（本题18分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) O : : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 .: .: 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : : 4.测试范围：沪教版选一14章直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列。 ·: 第一部分（填空题共54分） 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) 1.若直线1经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍，则直线1的方程为 .: 2.设aeR,若直线y=2x+1与直线x+y+2=0垂直，则a= ·: 3.已知数列{a}的前n项和为Sn,若S。=n2+n,则a。= : 4.已知直线1：x+y-1=0与圆C:(x-1)+(y-1)2=1,则圆C截直线1所得的弦长为 : 5.己知直线1过点A(2,3,1),且n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线1的距离为 6.若动点M(x,y)到点F(2,0)的距离和动点M到直线x=-2的距离相等，则点M的轨迹方程是 7.设∈R,若过定点A的动直线x+y-m=0和过定点B的动直线x-y-m+3=0交于点P(x,y),AB ·: 中点为Q,则P9的值为 8.若双曲线的渐近线方程为y=± ,则双曲线的离心率为 .. 9.若方程x2+y2-2x+y+5=0表示圆，则的取值范围为 : 10.数列{an}满足：41=1,42=3，且an+2=a1-a.(n∈N,n>0),则该数列前100项和So= 11.直棱柱ABC-AB,C中底面ABC为直角三角形，P是BB,的中点，AA=AC=BC=2,则AP与面ACB, : 所成的角的正切值 : 试题第1页（共4页) : : 学科网·学易金卷宽：界家 C B A B A 12. 已知抛物线C:y=4x与圆E:(x-1)2+y2=4交于A,B两点，则AB=一 第二部分（非选择题共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分） 13.下列说法正确的是() A.过点P(5,)的直线方程都可以表示为y-=(x-) B.若直线在x轴，y轴的截距分别为mb,则该直线方程为二+=1 a b C.方程(x2-x)(y-)=(y2-y)(x-x)表示过两点P(x,)、2(x2,y2)的一条直线 D.若直线y=c+b经过第一、二、四象限，则点(k,b)在第三象限 4.椭圆号+S1与椭圆。+，广1m<9)的() 9-m'25-m A.长轴相等 B.短轴相等 C.焦距相等 D.长轴、短轴、焦距均不相等 15.已知双曲线T:-少=1和直线L:x=1,4,8是双曲线r的左，右顶点，P是双曲线r上异于A,8两 x 意一点，直线AP,BP分别交直线于M,N两点，设aPN,aPAB的外接圆面积分别为S,S,则。 最小值为() 1 A.4 B. c.6 3 D. 4 25 16.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆 轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC、BD(如图)，且两切线斜率之积等 椭圆的离心率为() 试题第2页（共4页) 矿学科网·学易金卷表限是精 A.3 4 B.7 C.9 4 16 D. 2 三、解答题（本大题共有5题。第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)已知直线l:y=x+1与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)求点A(2,5)到直线1的距离： (2)若(0,0)，(2,0)，(1,3)三个点在圆上，求该圆的圆心和半径. 18.(本题14分)己知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(a.-1),其中n是正整数. (1)求证：数列{a}成等比数列： @设数别}满足6-13A。若，=古，求数列}的前：项和 试题第3页（共4页） 19.(本题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形且AD=DP, E、F分别在棱PC、PB上，PA/I平面EDB. (1)若F是PB的中点，求EF与平面EDB的所成角的大小： (2)若EF⊥PB,求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小： 张 20.（本题18分)已知椭圆C: -+y2=1,点P为C的上顶点， 4 游 (1)求椭圆C的离心率： 游 (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值： (3)设与两坐标轴均不垂直的直线1与椭圆C交于异于P的两点A和B,设直线PA、PB的斜率分别为k、k2, ..·.… O 当k+k,=2时，判断直线1是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由 21.(本题18分)在平面直角坐标系xOy中，己知双曲线C: x2 y2 京6京=】(a>0,b>0)的左、右焦点 眼 分别为F、E,P(2,1)是双曲线C上一点，且PE·PE=-1. 些 (1)求双曲线C的方程： (2)过点P作直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线1的 方程； (3)设斜率为-2的直线1与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线A、PD的斜 率均存在且分别为k、k2,求证：kk,为定值 试题第4页（共4页）一学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版选一14章直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列。 第一部分（填空题共54分） 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) 1.若直线1经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍，则直线1的方程为 2.设a∈R,若直线y=2x+1与直线x+y+2=0垂直，则a= 3.已知数列{a}的前n项和为Sn，若Sn=n+n,则a=_ 4.已知直线1：x+y-1=0与圆C:(x-1)+(y-1)=1,则圆C截直线1所得的弦长为一 5.已知直线1过点A(2,3,1),且=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为 6.若动点M(x,y)到点F(2,0)的距离和动点M到直线x=-2的距离相等，则点M的轨迹方程是 7.设∈R,若过定点A的动直线x+my-m=0和过定点B的动直线x-y-m+3=0交于点P(x,y),AB 中点为9，则P⑨的值为 8。若双曲线的断近线方程为=±+，则双画线的离心率为 9.若方程x2+y2-2x+y+5=0表示圆，则m的取值范围为 10.数列{an}满足：4=1，a2=3,且an2=a1-4。(neN,n>0),则该数列前100项和So= 11.直棱柱ABC-ABC中底面ABC为直角三角形，P是BB,的中点，AA=AC=BC=2,则AP与面AC,B 所成的角的正切值 高二数学试卷第1页共4页 一学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 C B B 12.已知抛物线C:y2=4x与圆E:(x-)2+y2=4交于A,B两点，则AB=一 第二部分（非选择题共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分) 13.下列说法正确的是() A.过点P(x,y)的直线方程都可以表示为y-=(x-x) B,若直线在x轴，y轴的截距分别为αb,则该殖线方程为。十+岩争 C.方程(x2-x)(y-y)=(y-y)(x-x)表示过两点P(x,)、2(x2,)的一条直线 D.若直线y=c+b经过第一、二、四象限，则点（化，b)在第三象限 4椭国写+若-1与满国，分-m9j的《) A.长轴相等B.短轴相等 C.焦距相等 D.长轴、短轴、焦距均不相等 T,-y=1和直线LxL,4,8是双曲线T的左，石顶点，P是双曲线1 的任意一点，直线A2,AP分别交直线于M,W两点，设APN△PAB的外接圆面积分别为S,S,则的 最小值为() D.去 16.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长 钠一端点A和短轴一强点8分别向内层椭圆引切线AC、D(如图，且两切线斜率之积等于，则鹏 圆的离心率为() 6 D 高二数学试卷第2页共4页 命学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 B. e品 D.3 4 2 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)已知直线1：y=x+1与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)求点A(2,5)到直线1的距离： (2)若(0,0)，(2,0)，(1,3)三个点在圆上，求该圆的圆心和半径. 18.(本题14分)已知数列{a,}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(a,-1),其中n是正整数. (1)求证：数列{a}成等比数列： ②设数列地清足6=1g4,若(6b:求数列还的前项和 高二数学试卷第3页共4页 一学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 19.(本题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形且AD=DP, E、F分别在棱PC、PB上，PA/I平面EDB. D F A B (I)若F是PB的中点，求EF与平面EDB的所成角的大小： (2)若EF⊥PB,求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小； 20.(本题18分)已知椭圆C:+少产-1，点P为C的上顶点 (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值： (3)设与两坐标轴均不垂直的直线1与椭圆C交于异于P的两点A和B,设直线PA、PB的斜率分别为k、k2, 当k+k,=2时，判断直线1是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由. L(本题18分)在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线C:。发1(Q>0,6>0)的左、右焦点分 别为耳、，P(2,1)是双曲线C上一点，且PE·PE,=-1. (1)求双曲线C的方程： (2)过点P作直线1与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点若点P恰为线段RS的中点，求直线1的方 程： (3)设斜率为-2的直线I与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜 率均存在且分别为k、k2,求证：kk,为定值 高二数学试卷第4页共4页一学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 高二数学参考答案 一、填空题(1-6题4分，7-12题5分.) 1.3x+4y+15=02.2 3.12 4.√2 5.3V2 6.y2=8x 2 8. 5或5 9.（0,4)U(4,+m)10.5 11.1 12.4 2 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 1 2 3 答案 C 三、解答题（共78分）》 17.(本题14分) 12-5+1=万； (1)由题设，点42,5)到直线：x-y+1=0的距离为P+(-少 7分 [F=0 [D=-2 (2)由题设4+2D+F=0,可得B=-8 39 10+D+3E+F=0 F=0 所以题的方程为c+-2-=0,即C-c+0 9 所以圆心为Q季，半径为 14分 18（体题14分)①证明：由题意得a=及-又a-a,0≥2， .4n=30-1, 又8-a-=4,解符a=3, .8=3(≥2)， ar .数列{a}是首项为3，公比为3的等比数列：7分 (2)由（1)得：an=3”, b =log;a,=l0g;(3 )=n, 高一数学答案 第1页共5页 命学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 1111 所以。Fbb+可nni 令数列{t}的前n项和为T, 则胶》》眉品日品 计算得工= n+1 综上：数列{t}的前n项和为Tn= n+1 14分 19.(本题14分)(1) E 底面ABCD是正方形；连接AC交BD于点O,连接EO;因为PA/I平面EDB, 平面PAC∩平面EDB=EO,PAC平面PAC,所以PAIIEO;又O是AC中点， 故E是PC中点；因为侧棱PDL底面ABCD,底面ABCD是正方形， 以点D为坐标原点，DA,DC,DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则AD=DP=2,A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,11), 由题意，F是PB的中点，则F,,EF=(,),D丽=(2，，)，DE=(，), DB.m=2x1+2y=0 设平面EDB的法向量为m=(x,,),则 DE=y+=0 令y=-1,得m=(1,-1,1),记EF与平面EDB的所成角0， 则sin0= m.EF 1 √3 3 故0=arcsin5 7分 高一数学答案 第2页共5页 一学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 (2)由P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),D(0,0,0) 则DE=(0,11),PB=(2,2,-2),故DE.PB=0,故DE⊥PB, 又EF⊥PB,DE∩EF=E,DEC平面DEF,EFC平面DEF,故PB⊥平面DEF, 故平面DEF的法向量为元=PB=(2,2,-2),平面ABCD的法向量为n,=(0,0,1), 2 5 记平面DEF与平面ABCD的夹角为P,则Cosp n-n 2W3.13 故平面DEF与平面ABCD的夹角为p=arccos- 3 14分 20.(本题18分)(1)由题知=4，b2=1,c2=3,得a=2,b=1,c=√3，所以离心率 e== .6分 a 2 2由题可知P0.设7(c功，且写+y-1, 则T+-4--2y1-2y5=-〔+9-训 由于一[1，所以当=时，T到凝大省为 .12分 (3)设1：y=c+m,A(5,y),B(x2,y2), 因为直线1与椭圆C交于异于P的两点A和B,所以≠1. 所以 2+42=4'得(0+4)r+8ax+4r2-4=0, y=+ △=64k2-162+16>0 -8knL 则{x+x=1+4k 4m2-4 X,=1+4 k+k=当1+1_2+m-1+.86m--860m-1）.21-2k=2, X X2 XX2 42-4 m2-1 即m2-am+k-1=0, 故(m-(k-1)(m-1)=0,所以m=k-1或m=1(因为m≠1，故舍去). 高一数学答案 第3页共5页 一学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 当m=k-1时，直线1：y=x+k-1=k(x+1)-1过定点（-1，-1) 因此直线1过定点（-1，-1)： 18分 21.(本题1s分)(1因为P0)是双曲线c上一点，所以亭京=L0 由耳(-c,0),E(c,0),所以P℉=（-c-2,-1),PE=6-2,-1), 因为PF.PE=-1,所以c2-4=2,c2=6, 即a2+b2=6,②，联立解得：a2=3,b2=3, 所以双曲线的方程为：号号1 6分 R (2)由(1)知：双曲线的渐近线方程为y=±x,由图象可知直线1的斜率存在并大于1， 不妨设R(,x),S(x2,-x2),由1的方程为：y=x-2k+1, 1 将R,S代入得：x=1-2k+1,x=2 k-1' 同理=2由P为R5中点，则5+飞2，=4， 所以2+、1 ，十2-3=4，解得k=2, k-1k+1 所以直线1的方程为2x-y-3=0, …12分 高一数学答案 第4页共5页 命学科网·学易金卷 www.zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 (3)设A(:,y),B(x2,2),点B与点D关于原点对称，所以D(-x,-y2), 设直线l的方程为y=-2x+b, y=-2x+b 2-y2=3,得3x2-4b+B+3=0, 由 由△=16b2-4×3(b2+3)>0可知b>3或b<-3, 3,5=1+ 4b 则x+2= 3 所以y-y2=-2x+b-(-2x2+b)=-2x+2x 片=（-2x+b)(-2x2+b)=4x2-2b(x+x2)+b2 31 由题意知：片=k= X-2 -x2-2 所以k-出+当--14 432+2x-1 6-2,+2+2%-2%,-41++2x-2-4 -1, 3 所以kk2为定值. 18分 高一数学答案 第5页共5页 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选一1~4章直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，然后根据点斜式方程直接可得. 【详解】由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为. 因为，所以 又直线l经过点， 因此，所求直线方程为，即. 故答案为： 2．设，若直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】根据直线垂直得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 故，解得. 故答案为：2 3．已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据数列的项与和的关系式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 4．已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 5．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为点，点， 所以， 所以点到直线的距离为： ， 故答案为： 6．若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 7．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 8．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 【答案】或 【分析】设双曲线方程为或，由渐近线方程得出关系，进而求出离心率． 【详解】若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以； 若双曲线方程为，由其渐近线方程为，则， 所以，所以， 故答案为：或. 9．若方程表示圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 10．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 【答案】 【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出，即可根据周期性得出答案. 【详解】由已知可得，，，，， ，，， 所以，是以6为周期的数列. 又， 所以，. 故答案为：5. 11．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 12．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 【答案】4 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由抛物线与圆的性质易得A，B横坐标相等且大于0， 联立，得，解得或（舍去）， 则，将代入可得，则. 故答案为：. 第二部分（非选择题 共96分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 14．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 15．已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值. 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 16．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过、和、的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出、的表达式，结合可求与的关系式，齐次化可求离心率. 【详解】设内层椭圆方程为，因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成， 设切线方程为，与联立得， ， 由，化简得：， 设切线方程为，同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：B. 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为. 【分析】（1）应用点线距离公式求距离； （2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】（1）由题设，点到直线的距离为； ........................7分 （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为............................................................................................................................14分 18．（本题14分）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用化简，易得结论； （2）通过（1）求出，进而求出，再利用裂项相消的方法求数列的前项和. 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列；..........................................................7分 （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. .................................................14分 19．（本题14分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 ...............................................7分 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. ..............................................................14分 20．（本题18分）已知椭圆，点为的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点到点的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线与椭圆交于异于的两点和，设直线的斜率分别为、，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）由椭圆方程求得，得解； （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值； （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）由题知，得，所以离心率. ...............................................6分 （2）由题可知，设，且， 则， 由于，所以当时，取到最大值为. ...............................................12分 （3）设， 因为直线与椭圆交于异于的两点和，所以． 所以，得， 则， ， 即， 故，所以或（因为，故舍去）． 当时，直线过定点． 因此直线过定点. ...............................................18分 21．（本题18分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【详解】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. ..............................................6分 （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. ...............................................12分 （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. ...............................................................................18分 试卷第1页，共3页 高二数学试卷 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $