专题立体几何中外接球、内切球（专项训练）数学湘教版必修第二册

专题 立体几何中外接球、内切球、棱切球 目录 A题型建模・专项突破 题型01 空间几何体的外接球问题 题型02空间几何体的内切球问题 题型03多球相切问题 题型04外接球的二面角模型 题型05与球的切、接有关的最值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01 空间几何体的外接球问题 1．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. . 故答案为： 2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B. 3． 已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 4．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理，得外接圆半径， 在三棱锥中，由平面，得三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 因此三棱锥外接球球心到平面的距离， 所以三棱锥外接球半径，该球的表面积. 5．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 6．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为___________． 【答案】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积 ， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为：. 7．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 8．如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，点为的中点．    若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积． 【答案】 【分析】设，由可求出，然后求出外接球的半径即可. 【详解】设，因为， 又因为直三棱柱的所有棱长均相等， 取的中点，连接，则，又平面，平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为，， 所以，解得， 因为等边三角形的外接圆半径为，三棱柱的高， 所以三棱柱的外接球半径， 所以三棱柱的外接球表面积.    9．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 10．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取的中点，连接、， 由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得. 设球心为，和的中心分别为、. 由球的性质可知：平面，平面， 又，由勾股定理得. 所以外接球半径为. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 题型02空间几何体的内切球问题 1．已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【答案】 【详解】由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为， 故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为， 则该正方体外接球的表面积. 2．已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（   ） A．108 B．108 C．162 D． 【答案】D 【分析】首先由球的体积公式求出内切球半径，然后根据内切球的性质求出底面边长，最后分别求出底面积和侧面积即可求解. 【详解】设正三棱柱的内切球的半径为 ，由题意可知，解得， 设正三棱柱的底面边长为 ，高为 ，内切球的球心位于棱柱的几何中心， 由于球与两个底面相切，球心到底面的距离为 ，且等于半径 ，则， 球与侧面相切，底面为正三角形，其内切圆半径（即几何中心到边的距离）为 ， 由于侧面垂直于底面，球心到侧面的距离等于底面内切圆半径，且等于 ， 则，正三棱柱的表面积由两个底面和三个侧面组成， 两个底面的面积为：，侧面为矩形，侧面的面积为 ， 所以总表面积为 故选：D 3．已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】分析可知该正三棱柱内切球的半径等于其底面等边三角形内切圆的半径，利用等面积法可求得内切球半径，进而可得出棱柱的高，结合正棱柱的几何特征求出其外接球半径，再结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示： 易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心， 连接、、， 设球的半径为，则， 即，解得， 由正棱柱的几何性质可知， 易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、，    则平面，，， 故，即该三棱柱外接球半径为， 因此，该三棱柱外接球表面积为. 故答案为：. 4．已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆柱的侧面积，得到圆锥的母线和高，利用圆锥轴截面面积得到方程，求出内切球半径，得到答案. 【详解】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，内切球半径为， 则圆柱侧面积为， 所以圆锥的侧面积为，由圆锥侧面积公式可得， 故圆锥母线长，可得圆锥的高. 根据圆锥轴截面面积可知， 化简得，则圆锥内切球体积为. 故选：C 5．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为___________． 【答案】 【解题思路】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【解答过程】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 6．已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： 正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】 ，． 【解题思路】根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. 【解答过程】设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 7．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若的面积为． 求圆锥的内切球的表面积． 【答案】 【解题思路】作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积. 【解答过程】作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积. 8．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求外接球的半径，再利用等体积法可求内切球的半径. 【详解】由平面，，得, 因为且平面，所以平面, 又平面，得. 由，得. 于是将三棱锥放入正方体中，如下图： 三棱锥 的外接球即为正方体的外接球，其设外接球的半径为， 则，解得. 设内切球的球心为，半径为， 因为内切球的球心到各个面的距离等于半径， 所以，， ， ， ，得. 所以. 故选：B 题型03多球相切问题 1．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【解答过程】如图所示，    设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C. 2．如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】做出对角面，设两球半径分别为，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合体积公式即可求解. 【解答过程】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A. 3．甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为___________. 【答案】 【解题思路】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【解答过程】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为：. 4．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【解题思路】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【解答过程】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 5．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 (1)求球A的体积； (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据圆柱的轴截面分析即可； （2）直接利用球表面积、圆柱的侧面积公式计算即可． 【解答过程】（1）设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即， ， 球A的体积为 （2）球B的表面积， 圆柱的侧面积， 圆柱的侧面积与球B的表面积之比为 6．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案. 【解答过程】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 题型04外接球的二面角模型 1．如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解． 【详解】由可知，，，可求，，， 因为平面平面ABEF，平面平面， 又，平面， 所以平面ABEF，平面ABEF，所以， 由，，得， 又，同理可得得，又， 所以，所以. 所以MC为外接球直径， 在Rt△MBC中，即， 故外接球表面积为． 故选：A． 2．在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 3．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【解答过程】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 4．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分别确定和的外心，再过外心作所在平面的垂线，两线的交点就是三棱锥外接球的球心，确定球心位置，即可求外接球半径，进而求解. 【解答过程】如图： 取中点，中点，连接，，由题意可知： ，，所以为二面角的平面角，. 由题意可得为等腰直角三角形，所以为的外心， 过作直线平面，则三棱锥外接球的球心必在直线上. 因为平面，平面，所以，所以在平面中. 又为的外心，连接，则平面. 所以. 由于，，则， 为等腰直角三角形，故， 在中， ，，，所以. 所以三棱锥外接球的半径：， 所以三棱锥外接球的表面积为： . 故选：D. 5．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【解答过程】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 6．如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为___________． 【答案】 【解题思路】已知三棱锥外接球球心到每个顶点的距离都是相同，等于外接球半径，在平面上，三角形外接圆圆心为外心（直角三角形的外心为斜边中点），是该三角形边中垂线的交点，过该交点作三角形所在平面的垂线，该垂线上的所有点到三角形的顶点距离相同，故我们只需用该方式，找两个面的垂线，其交点为外接球球心，然后计算其半径即可. 【解答过程】先分别作,中点，连接； 再过点在平面内作垂线，与相交于点,相交于点； 分别过点作平面,平面垂线，相交于点,连接，如图所示. 由题可知，二面角的平面角为,点分别为的外心，故为该三棱锥外接球球心，为外接球半径， 可得，， 所以 在中， 所以, 所以, 由正弦定理可知 因为， 所以 因为 所以有 所以外接表面积为 故答案为：. 7．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意得到翻折后四面体是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面，又可求体积. 【解答过程】翻折后所得图形如下图所示，易知的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面，， 所以平面， 二面角的大小为，， ， 故所求体积之比为. 故答案为：. 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为. (1)求证：面； (2)当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由条件结合线面垂直的判定即可证得； （2）设，设四棱锥的外接球的半径为，则结合基本不等式可求得， 过作，则为平面与平面所成的二面角的平面角，结合余弦定理可求其余弦值. 【解答过程】（1）证明：面 面，， 又面 面， 在面内，， 底面是正方形，， 又面 面. （2） 因为平面，平面， 所以， 设， 设四棱锥的外接球的半径为， 则， （当且仅当，即取等号）. 可得，故. 过作交于，连接， 由，则， 故为平面与平面所成的二面角的平面角. 由（1）知面，面，故 . 在中，可得， 由等面积可得 又 ， 平面与平面所成二面角的余弦值为. 题型05与球的切、接有关的最值问题 1．已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【解答过程】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 2．在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由面积公式可得，由余弦定理结合基本不等式可求，根据正弦定理可得外接圆半径，由勾股定理即可求解. 【解答过程】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故选：. 3．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积. 【解答过程】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D. 4．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是的中点，所以外接球的球心与中点的连线垂直面,再使用余弦定理列出方程，根据运动过程中角的范围，求出外接球半径的范围，得出答案. 【解答过程】 如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接， 因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点， 则由球的性质可知，平面， 设外接球半径为, 是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形, , 在中勾股定理可知, 则在中利用余弦定理可得， ,，则，得， 所以的最小值为1，外接球体积最小值为. 故选：C. 5．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为，且，则它的内切球的体积的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征以及基本不等式运算求解. 【解答过程】如图，画出截面图，    可得，则， 记内切球的半径为R，可知， 过B作，垂足为G， 则，， 所以 ，解得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以它的内切球的体积的最大值为. 故答案为：. 6．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】由题意可得面，设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，求出，几何法可得外接球的半径，计算表面积即可. 【解答过程】取中点，连，，则， 由且都在平面内，可得面， 由面，则，又， 由且都在平面内，即面. 设，则，外接球半径为， 设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为， 连接，则平面，且， 所以， 当时，最小，此时三棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为：. 7．已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的外接圆的圆心为，根据 中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【解答过程】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在 中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为． 故选：D．    8．已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围. 【解答过程】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心， 点在上，连接，连接并延长交于点， 则.设该球半径为，则. 由，可得， 故. 在中，，解得. 因为点为的中点，所以， 在中，，所以， 设球心到过点的截面圆的距离为，可知， 截面圆半径， 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 1．在正四面体中，各棱长均为2，则该正四面体内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四面体的性质，求出四面体的体积和表面积，进而求出内切球的半径，求出结果. 【详解】如图所示， 设底面正三角形中心为，连接（高），则， 由勾股定理得， 可知四面体底面积，体积， 可知正四面体表面积， 设内切球半径为，由，解得. 根据球的体积公式，代入， 解得. 故选：C. 2．三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 3．在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 4．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 5．已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，且，根据题意求得，根据圆台、球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台上底面半径为，下底面半径为，且， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的，母线长， 在中，，即， 所以，故， 因为， 球的体积为， 圆台与球C的体积之比为. 6．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 7．已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．正四面体的体积为 D．正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【分析】利用“正四面体棱长，高，外接球半径，内切球半径之间的比例关系”，先求出棱长，进而逐项判断. 【详解】由正四面体基本性质可知，正四面体的对棱互相垂直，而和为一组对棱， 所以，故A正确. 设正四面体的棱长为，则正四面体的高，由正四面体性质可知， 外接球半径，所以外接球表面积，解得棱长，故B正确. 因为正四面体棱长为，则底面积，而高， 所以正四面体的体积，故C错误. 由正四面体性质可知，内切球半径， 所以内切球体积，故D正确. 故选：ABD. 8．如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 【答案】 【分析】根据正四面体的体积公式和球的体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则， 所以，大球的体积为. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 所以，所以一个小球的体积为， 故其中一个小球与大球的体积比为. 故答案为：. 9．如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________. 【答案】 【分析】根据图形很容易找到球的半径，再计算体积得到答案. 【详解】球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度， 所以单位立方体的棱切球的半径为 所以球的体积为 10．已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 【答案】 【分析】由正弦定理求得圆柱的底面圆半径，再由外接球表面积求出圆柱的高为6，求出面积的最大为，即可得出三棱锥体积的最大值. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，则需满足，可得； 易知三棱锥的外接球与圆柱的外接球相同，其半径满足，解得； 设外接球球心为，, 所以，解得,即圆柱的高为6， 因为点是上底面圆周上的一动点，即点到底面的距离为6， 取的中点为，连接，因此，如下图： 因为，所以， 当点到的距离最大时，的面积最大，此时三棱锥的体积最大； 因为点在下底面的圆周上，所以点到的距离最大值为， 因此， 所以三棱锥体积的最大值为. 11．在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______ 【答案】 【分析】将三棱锥补形为长方体并求出其外接球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，， 则AB，AC，AP两两垂直， 三棱锥与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球， 因此球半径， 所以球的表面积为. 12．已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用等体积法求得内切球的半径，利用补形的思想求得外接球的半径，结合锥体表面积和体积公式来确定正确答案. 【详解】依题意，三棱锥中，、、两两垂直，，， 故可将其补形为长方体，如下图所示： 对于A，由上可知， 所以， ， 所以，A选项正确. 对于B，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球的直径即为长方体的对角线长，B选项正确. 对于C，，C选项正确. 对于D，，D选项错误. 故选：ABC 13．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥外接球的半径为，由圆锥的结构特征求出的值，再由球的表面积公式计算可得． 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 14．底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据圆锥底面周长与侧面弧长的关系建立方程，求得母线，由勾股定理求得高线，进而求得外接球半径，可得答案. 【详解】由题意可作图如下：    设圆锥的母线长为，由题意可得，解得， 则圆锥的高， 圆锥外接球的半径设为，则，解得， 故圆锥外接球的表面积. 故选：A. 15．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】设为三棱锥的高，得到球的球心在上，结合三棱锥的几何特征和球的截面的性质，求得外接球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】因为三棱锥为正三棱锥，又， 所以，又， 设为三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且为等边的中心， 如图所示，设外接球的半径为，延长交于点，则， 在等边中，可得，则， 所以， 所以，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：.    16．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 17．如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得结论. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为点在底面的投影为的外心，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接， 则，所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为：. 18．如图1，已知等腰梯形中，，，，现将沿折起，使平面平面，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知先得出，在三棱锥中过作点，则得出的外接圆圆心为在的延长线上，设的外接圆圆心为为中点，根据球的性质可得过作平面的垂线，过作平面的垂线，则两垂线交于点为球心，从而可求. 【详解】在等腰梯形中，过作于点，过作于点， 由题意知，，又，所以 则，所以 则,所以 在直角中，由，可得,则，所以 在三棱锥中过作于点，由平面平面，则平面， 又 设直角的外接圆圆心为，则为的中点. 的外接圆圆心为，由,且为钝角三角形，则在的延长线上. 在中由正弦定理可得，则. 过作平面的垂线，过作平面的垂线． 设两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心连接，， 由条件可得，． 易知四边形为矩形，所以，所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B 19．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 20．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 21．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可. 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 22．四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，在线段上取，由外接球性质可知过分别作平面和平面的垂线，则两垂线交点即为球的球心；由面面垂直性质可知平面，得到；同理可得，可知四边形为矩形，利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的表面积公式即可求得结果. 【详解】连接，，取中点，连接； 四边形为矩形，为四边形的外接圆圆心； 在线段上取， 为等边三角形，为外接圆圆心， 过分别作平面和平面的垂线，则两垂线交点即为球的球心， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，； 同理可得：，四边形为矩形； ，， ，即球的半径， 球的表面积. 故选：B. 23．在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由所给条件，结合球的截面小圆性质，确定出球心O的位置，再计算OA长即可得解. 【详解】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图： 因，则，有平面CDE， 所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1， 在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD， 由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径， 因平面平面，则，而， 即有四边形OO1EO2是正方形，则， 中，，则， 所求外接球的表面积. 故选：B 24．已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆台的母线，高，再根据几何体的外接问题求解即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为，下底面半径为，母线长为，则， 因为圆台的侧面积为， 所以，解得 所以圆台的高为， 设圆台的外接球的半径为，则球心到圆台两底面的距离分别为， 因为圆台外接球的球心可能在上、下底面圆心所连的线段上，也可能在其延长线上 所以或， 方程得，平方整理得，解得， 同理解方程得该方程无解， 所以圆台的外接球的半径为， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 25．在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 【答案】D 【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值． 【详解】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH 因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形 所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120° 设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F 则由AH＝2可得AEAH，EHAH 分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60° 所以OE＝1，则R＝OA 则三棱锥外接球的表面积 故选：D    26．已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在外接圆上取一点，使得，则，可知三棱锥和的外接球是同一个球，取线段的中点，连接、，由二面角的定义额可知二面角的平面角为，设的外心为，过点在平面内作，过点在平面内作平面，设，则为球心，求出的长，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，则为外接圆的一条直径， 在外接圆上取一点，使得，则， 且三棱锥和的外接球是同一个球， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 因为，则，且， 所以，的外接圆半径为， 设的外心为，过点在平面内作， 过点在平面内作平面，设， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示： 由题意得，，， 所以，， 所以，球的半径为， 因此，球的表面积为， 故选：A. 27．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 28．如图所示，在边长为的菱形中，，现将沿对角线折起，得到三棱锥.则当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】利用球的对称性可知，利用勾股定理求出球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积. 【详解】解：易知，为边长为的等边三角形. 取的外心为，设为球心，连接，则平面， 取的中点，连接，，过作于点. 易知为二面角的平面角，即，于是得. 连接，，设.连接，则，，三点共线， 易知，所以， 所以. 在中，，即， 所以. 故答案为：. 29．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析图中的四棱锥，找出内部的几何关系，即可求解. 【详解】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ， ∴ 平面PBD，∴，即， 取PC的中点M，如下图： 连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC， 在中MO=PC， ∴点M为三棱锥P-BOC的外接球的球心， 在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，    ， 外接球半径为 ，外接球的体积为 ； 故选：B. 30．四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用几何法找出外接球的球心，计算出外接球的半径，然后得出表面积； 【详解】如图所示： 由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O， 因为,且,所以, 所以, 所以四面体的外接球半径,则表面积. 故答案选：C 31．如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________. 【答案】/ 【分析】根据条件作出图形，利用正四面体的结构特征及锥体的体积公式求出两个球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】在正四面体中，平面，四点共线， 点是的中点，连结，切点在上，    由正四面体的棱长为4，得，，则， 设球的半径为，由，得， 设球的半径为，则，即，解得， 所以小球的表面积为. 故答案为： 32．已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高），结合体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半径，通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例求出空隙处小球的最大半径，最后根据球的体积公式计算小球体积即可． 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为， 半径为，由正四面体结构特征可知为的中心，面，设为中点，球和球分别与面相切于和．    易得， 由，可得， 又，， 故，，， 又由，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为． 所以空隙处的最大球的体积为． 故答案为：． 52 / 54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 立体几何中外接球、内切球、棱切球 目录 A题型建模・专项突破 题型01 空间几何体的外接球问题 题型02空间几何体的内切球问题 题型03多球相切问题 题型04外接球的二面角模型 题型05与球的切、接有关的最值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01 空间几何体的外接球问题 1．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为__________. 2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 3． 已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为___________． 7．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，点为的中点．    若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积． 9．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 10．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 题型02空间几何体的内切球问题 1．已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 2．已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（   ） A．108 B．108 C．162 D． 3．已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 4．已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为___________． 6．已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： 正三棱锥内切球的表面积与体积． 7．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若的面积为． 求圆锥的内切球的表面积． 8．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 题型03多球相切问题 1．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为___________. 4．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 5．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 (1)求球A的体积； (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比. 6．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 题型04外接球的二面角模型 1．如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 3．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 5．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为___________． 7．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为___________. 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为. (1)求证：面； (2)当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值. 题型05与球的切、接有关的最值问题 1．已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 4．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 5．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为，且，则它的内切球的体积的最大值为___________. 6．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________. 7．已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．在正四面体中，各棱长均为2，则该正四面体内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 6．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 7．已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．正四面体的体积为 D．正四面体的内切球体积为 8．如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 9．如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________. 10．已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 11．在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______ 12．已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（   ） A． B． C． D． 13．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 14．底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 15．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 16．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．    18．如图1，已知等腰梯形中，，，，现将沿折起，使平面平面，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 20．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 21．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 22．四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （    ） A． B． C． D． 24．已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 25．在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 26．已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ） A． B． C． D． 27．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 28．如图所示，在边长为的菱形中，，现将沿对角线折起，得到三棱锥.则当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为______. 29．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 30．四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 31．如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________. 32．已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $