重庆市南开中学校2025-2026学年下学期九年级数学（八）

数学（八) (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的顶点坐标为 b 4ac-b2 2a'Aa 对称轴为直线x=- 2a 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、 C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.下列各数中，是无理数的是（) B,π C.0.3 D. 2、下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是() A,如意纹 B.凤纹 C.龙纹 D.忍冬纹 3.磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的2000名游客随机抽取400名游客进行调 查，下列说法正确的是() A.该调查方式是全面调查 B.样本容量是400 C.400名游客是总体的一个样本 D.2000名游客是总体 4.已知点(m,-3)在反比例函数y=的图象上，则m的值为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 5.如图，四边形ABCD与四边形AB'CD位似，点O为它们的位似中心，且四边形ABCD与四边形 AB'CD的周长之比为2：3，则OA:OA为() A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 og°Rg&wgAg 1) (3) (4) 5题图 6题图 6,如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列.第1个图形共有4 个小球，第2个图形共有6个小球，第3个图形共有8个小球…按照这一规律，第10个图形中小球的 个数是() A.18 B.20 C.22 D.24 1- 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知AB=AC,D为AC上一点，若∠BAC=80°，则∠D的度数为 (.) A.100° B.110° C.120° p. 130° D 0 7题图 9题图 8.我校组织阳光体育足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间只赛一场），计划安排28场比赛，则 应邀请参加比赛的球队个数为() A.6 B.7 C.8 D.9 9.如图，在边长为2N10的正方形ABCD中，点E为正方形ABCD外部一点，连接AE、BE、CE、DE, 线段BE、CE分别交AD边于点M、N,将△ABE沿BE翻折至正方形ABCD所在平面内，使得点A的对 应点F恰好落在线段CE上，若CE=8,则△EMN的面积为() A号 B. c D. 10.已知整式M:a,X+ad++ax+a,其中n为正整数，a,a1,,a,均为整数，且满足 lan>a>>4>ao,记：k=an2+an2+…+a2+a,2，k为偶数.下列说法： ①若n=1,4=-4,则满足条件的整式M共有2个，其中有1个单项式； ②若k=26,且函数y=M的图象与x轴有交点，则满足条件的整式M共有8个； ③若n=4,4,>0(i=0,1,2,3,4),a4≤7，则满足条件的整式M共有9个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 -2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横 线上 11.不透明袋子中有2个红球、5个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，则摸 出白球的概率是 12.如图，AB∥CD,射线EF交CD于点F,交AB于点G,射线EH交CD于点H,若∠1=40°，∠2=15°， 则∠E=」 A R F H 2 D G E 12题图 15题图 13.若n为正整数，且满足n<2√5<n+1,则n=」 14.若实数x,y同时满足2x-y=4,x-2-2y=-3,则x+y= 15.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC,以AC为边作平行四边形ACDE,CD交⊙O于点 F,AB⊥AE交CD于点G,连接AD,交⊙0于点H,连接EH、HC,若HC=4N5,GF=3,an∠ADE=2, 则EH的长度为 16.我们规定，若一个四位正整数M=abcd的各个数位数字互不相同，且满足千位数字比百位数字大4， 则称这个四位数为“差四数”.例如：四位数7306，因为7-3=4，所以7306是“差四数”.按照这个规定， 最小的“差四数”是 一·一个“差四数”M=abcd,记F(M)=abc+dcb,若F(M）被33整除，且 F(M是完全平方数，则所有满足条件的正整数M的和是 33a 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推 理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 3x>x-2 ① 17.求不等式组： x+3 的所有整数解。 3-1s15x@ 解：解不等式①得 解不等式②得 所以，原不等式组的解集为 所以，原不等式组的整数解为 -3- 18.在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶 点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论， 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，△ABC的两条中线AD和BE交于点O.请你利用尺规作图，在BC下方作∠DCF=∠OBD, 延长AD交CF于点G(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1)的条件下，证明：A0=2OD 证明：AD,BE是△ABC的中线， .BD=CD,AE =CE. 在△BOD和△CGD中 ∠OBD=∠GCD BD=CD ① ∴.△BOD≌△CGD(ASA) ∴.② ∴.OG=OD+GD=20D. ∴.BE∥CG. ④ AE =1. CE 即A0=0G. ∴.A0=20D. 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推 理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， .先化商，再求值+旷-4+2g+1-子，共申=血0(+- x-3 4- 20.某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队 时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用x表示，并分为四组：A.45<x≤60，B.30<x≤45， C.15<x≤30，D.0<x≤15)，下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：5,10,15,18,25,28,29,30,30,30,32,34,35,36,38,40,46， 50,54,55 乙网点20名客户排队时间在B组中的数据是：31,32,32,35,36,38,40,42. 扇形统计图中，A组数据所对圆心角度数为90° 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 乙网点抽取客户排队时间扇形统计图 甲网点 乙网点 D 平均数 32.5 32.5 15% 众数 a 32 m 中位数 31 6 B (1)填空a= b=m=—; (2)根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可)； (3)若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息， 估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户共有多少名？ 21.列方程解下列问题： “辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念， 每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知1m2材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有8m2材料， 材料刚好全部用完并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套， (1)该同学可制作多少件工艺品？ (2)首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已 知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少0.2元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000 元购进“日新”款书签的数量多20%，求每个“月异”款书签的价格是多少元？ -5- 22.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AB=6,AD=8,动点M以每秒1个单位长度的速 度从点B出发，沿B→D方向匀速运动，到达点D时停止运动，连接CM,点N以每秒1个单位长度的速 度从点A出发，沿A→O→B方向匀速运动，至点B处停止.两点同时出发，设运动时间为x秒(0<x<10), 连接MN,点M与点N之间的距离为片，△BCM的面积为S,△ABD的面积为S2,= S (1)请直接写出片、2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，2的图象，并分别写出函数，y2的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出≤y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 个y 11 10 0 9 8 1 O 6 5 M 3 B 3 22题图 0123456789101112x 23.为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检 测作物生长情况.如图，点A,B,C,D在同一平面内，已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北 偏东30°方向，且在点B的东北方向，点D在点A正东方向，且在点C的正南方向15km处.（参考数据： √2≈1.41，√6≈2.45，V7≈2.65) (1)求BC的长度（结果保留根号）； (2)无人机从点C出发沿CB往B处行进检测作物生长情况，巡检车从点D出发沿DA往A处行进检测 作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心D与巡检 车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心D的直线距离之比为1：2，且无 人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心D的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离 指挥中心D多少千米？（结果保留小数点后两位）， 北 东 南 45 30 23题图 -6- 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0),B两点，交y轴于点C,抛 物线的对称轴是直线x=- 2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D,作PF⊥BC 于点F,过点D作DE⊥x轴，且垂足为E,点M,N为线段DE上的动点（点N在点M的下方），且MN=1, 连接PM,BW,当PD+VPF取得最大值时，求点P的坐标及PM-MN+BN的最小值； (3)在(2)中PD+V5PF取得最大值的条件下，连接PA交线段BC于点H,将抛物线y=ax2+bx+3沿 射线BC方向平移4√5个单位长度，记点C平移后的对应点为点K.点T为新抛物线上的一个动点，当 ∠KHA-∠TKA=45°时，直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的 过程 E 24题图 备用图 -7- 25.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD. (1)如图1，AC=AB,∠CAD=2∠BAD,线段AC的垂直平分线NK交AD于点N,连接CN,若CD=ND, 求∠BAD的度数； (2)如图2，若点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE,使得∠EAD=∠BAD,连接DE,以 BC为斜边在BC上方作Rt△BCF,且满足∠EAD=2∠BCF,连接EF,交AD的延长线于点G.用等式表 示线段AE、DG、AB的数量关系并证明： (3)如图3，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC的中点，点M是直线AB上一动点，连接DM, CM,将DM绕点M顺时针旋转90°得到MH,连接AH,点R是直线CM上一动点，连接AR.在点M的 运动过程中，当AH取得最小值时，在平面内将△4HR沿直线AR翻折得到△AH'R,连接DH'.在点R的 运动过程中，直接写出D以”的最大值。 BM G D D W A 图2 图1 C D B M 图3 -8-