28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“利用方位角、坡度解直角三角形”，引导学生理解方位角、坡度概念，通过自主学习的知识链接复习基础，以合作探究的要点探究为支架，衔接直角三角形解法与实际应用。 特色在于结合航海、修路等现实情境设计典例，引导学生用数学眼光观察问题，通过推理构建模型（数学思维），用数学语言表达数量关系，提升应用意识，习题层次分明且检测及时，助力综合能力培养。

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 学习目标： 1.正确理解方向角、坡度的概念. 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. 重点：1.正确理解方向角、坡度的概念. 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. 难点：能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力. 自主学习 1、 知识链接 1.什么叫方位角？什么叫坡角？什么叫坡度？ 2.坡度与坡角有什么关系？ 合作探究 1、 要点探究 探究点1：解与方位角有关的问题 【典例精析】 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？ 【典例精析】 例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？ 练一练 如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)． 探究点2：解与坡度有关的问题 观察与思考：如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ 练一练1. 斜坡的坡度是，则坡角α = 度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 . 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 【典例精析】 例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？ 【典例精析】 例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). 练一练 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离． 二、课堂小结 当堂检测 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 :，坝BC=3m，则坡面AB的长度是 （ ） A. 9m B. 6m C. m D. m 2. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40° 方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ． 3.如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上. 航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 ． 4.如图，海上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离为 ．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93) 5.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.01米，，）. 6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i. 2.坡度与坡角的关系：，即坡度等于坡角的正切值. 课堂探究 一、要点探究 探究点1：解与方位角有关的问题 【典例精析】 例1 解：如图 ，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66 n mile． 【典例精析】 例2 解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA= 90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12（海里）.∴AF=AC · cos30°= 6(海里)，6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 练一练 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即PC＋PC＝200，解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 探究点2：解与坡度有关的问题 练一练 1. 30 2. 1:1 3. 【典例精析】 例3 解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此 α≈26.57°.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，因此从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． 【典例精析】 例4 解：（1）斜坡CD的坡度i = tan α = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°. （2）分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.在Rt△ABE中，在Rt△DCF中，同理可得 =69+6+57.5=132.5 (m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. 练一练 点B和点C的水平距离为米. 当堂检测 1. B 2. 90° 3. 15分钟 4. 33.5海里 5. 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 在Rt△ADE中，(米).在Rt△BCF中，同理可得(米)．因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．答： 路基下底的宽约为22.93米． 6. 解：过点A作AE垂直于BD,垂足为E.∵点A处在B点的北偏东60°方向上，在D点的北偏东30°方向上，∴∠ABE=30°，∠ADE=60°，∴∠BAD=∠ADE -∠ABE=30°= ∠ABE，∴BD=AD=1200米，∴DE=ADcos60°=600（米），AE=600≈1039.2＞800米. ∴不会遭到破坏. 学科网（北京）股份有限公司 $