28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“解直角三角形的简单应用”，通过知识链接回顾解直角三角形的定义及依据，结合缆车行驶、航天对接等实际问题案例，搭建从理论到应用的学习支架，衔接锐角三角函数与实际问题解决的脉络。 以真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过构造直角三角形培养推理与运算能力的数学思维，用数学语言表达问题转化过程体现模型意识，习题设计层次分明，助力学生提升应用能力与创新意识。

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第1课时 解直角三角形的简单应用 学习目标： 1. 巩固解直角三角形相关知识. 2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 重点：1.巩固解直角三角形相关知识. 2.能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 难点：能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 自主学习 1、 知识链接 1.什么叫解直角三角形？ 2.解直角三角形的依据是什么？ 合作探究 1、 要点探究 探究点1：利用解直角三角形解决简单实际问题 合作探究 1.棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗? 2.棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ 【典例精析】 例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，（1）从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？（2）最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果保留整数）？ 【方法归纳】 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； 2. 根据条件的特点，解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 练一练 “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？ 【典例精析】 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 ：DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度. 练一练 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） 二、课堂小结 当堂检测 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是 ( ) A.12米 B. 米 C. 24米 D. 米 2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有 ( ) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点B到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面BC的夹角为45°，则这棵大树高是 米. 4.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 （ ） A. 100米 B.米 C.米 D. 50米 5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高； (2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2.解直角三角形的依据： (1) 三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系：sin A＝，cos A＝ ， tan A＝. 课堂探究 一、要点探究 探究点1：已知两边解直角三角形 合作探究 1. 解：如图，BD=ABsin30°=100m. 2.解：棋棋需要231s才能到达目的地. 【典例精析】 例1 解：从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在点Q处. 设∠POQ= α，∵FQ是☉O的切线，∴△FOQ是直角三角形. 的长为 练一练 解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是看C点，AB就是“楼”的高度，在Rt△OCB中，∠OOB=（km）. ∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即19 000m. 这是不存在的. 【典例精析】 例2 解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，∴AC=AB cos∠CAB=1.5m， ∴ CD=AD－AC=1.5m，∴ CE=CD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. 练一练 解：作AG⊥CD于点G，则AG = BD = 6米，DG = AB = 1.5米. ∴(米).∴CD=CG+DG= (+1.5) (米)， ∴(米). 当堂检测 1. B 2. D 3. 4. B 5. 解：（1）过点 E 作 EF⊥AB 于 F，则FE=BC=15m. ∴ 即南楼的影子在北楼上的高度为 （2）BC至少为 学科网（北京）股份有限公司 $