28.2.1 解直角三角形（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“解直角三角形”，引导学生掌握直角三角形五个元素（三边、两锐角）的联系及求解方法。通过知识链接回顾勾股定理、锐角互余及三角函数关系，搭建学习支架，衔接锐角三角函数知识，为新知学习奠定基础。 资料以合作探究为主线，设已知两边、一边一锐角、三角函数值三类探究点，结合典例与分层练习，培养学生几何直观与推理能力。融入菱形等实际问题，提升模型意识与应用意识，助力学生用数学思维解决问题，发展运算能力与创新意识。

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 学习目标： 1. 了解并掌握解直角三角形的概念. 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3. 学会解直角三角形. 重点：理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 难点：学会解直角三角形. 自主学习 1、 知识链接 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°. (1) 三边之间的关系：a2+b2=_____； (2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3) 边角之间的关系：sin A=_____，cos A=_____，tan A=_____. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：已知两边解直角三角形 合作探究 在图中的Rt△ABC中， (1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ (2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 【归纳总结】 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【典例精析】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC =， ，解这个直角三角形. 练一练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，解此直角三角形. 探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形 【典例精析】 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). 练一练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14. 根据条件解直角三角形. 2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 探究点3：已知一锐角三角函数值解直角三角形 【典例精析】 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cos A =，BC = 5， 试求AB的长. 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A =，BC=6，则AB的长为 （ ） A．4 B．6 C．8 D．10 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sin B＝ ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 【典例精析】 例4 在△ABC中，AB=，AC=13，cos B=，求BC的长. 二、课堂小结 当堂检测 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=a·tan A B. b=c·sin A C. b=c·cos A D. a=c·cos A 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是 ( ) A. B. 4 C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC = (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cos B=，则 AC 的长为 . 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， 角平分线，解这个直角三角形. 6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC的长. 参考答案 自主学习 一、知识链接 （1）c2 90° 课堂探究 一、要点探究 探究点1：已知两边解直角三角形 合作探究 解：（1） （2） 【典例精析】 例1 解 练一练 解：根据勾股定理 探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形 【典例精析】 例2 解： 练一练 1.解：∵∴∵ ∴ 2. 解：如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°， 在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，∴BD=CD=2.∴ 【典例精析】 例3 解：设 ∴ AB的长为 练一练 1.D 2.C 【典例精析】 例4 解：∵cos B =，∴∠B=45°.当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5. ∴BC=BD - CD=12-5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.∴ BC的长为7或17. 当堂检测 1. C 2. D 3. 24 4. 3.75 5.解：∵∵ AD平分∠BAC， 6. 解：过点 A作 AD⊥BC于点D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sin C · AC= 2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD= ∴BC=CD+BD= 学科网（北京）股份有限公司 $