28.1 第2课时 余弦函数和正切函数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦锐角三角函数中的余弦、正切概念及运算，通过自主学习中含30°、45°角的直角三角形边长计算问题，复习旧知搭建学习支架，引导学生从已学直角三角形性质过渡到新知识探究。 资料以合作探究为核心，通过相似三角形证明余弦、正切比值为常数，培养推理意识，结合坐标、圆等情境设计练习与典例，发展几何直观与应用意识，分层检测题助力巩固，适合学生自主学习与教师教学评估，有效提升运算能力与数学思维。

第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第2课时 余弦函数和正切函数 学习目标： 1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念． 2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算． 重点：1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念． 2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算． 难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算． 自主学习 1、 知识链接 1. 在Rt△ABC中，b=，∠C=90°，∠A=30°，求c． 2. 在Rt△ABC中，b=1，∠C=90°，∠A=45°，求c． 合作探究 1、 要点探究 探究点1：余弦 合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则成立吗？为什么？ 【归纳总结】 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos α = sin (90°－α)， 从而有sin α = cos (90°－α)． 练一练 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos A＝ ． 2．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5， α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值． 探究点2：正切 合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则成立吗？为什么？ 【归纳总结】 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图，在直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切， 记作 tan A， 即 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数． 想一想 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 练一练 1． 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，求则OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值=______． 2．如图，△ABC中一边 BC 与以AC为直径的⊙O相切与C，若BC=4，AB=5，则tanA= ． 【典例精析】 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A，cos A，tan A的值． 练一练 1．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13． sin A=______，cos A=______，tan A=____， sin B=______，cos B=______，tan B=____． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3． sin A=_______，cos A=_______，tan A=_____， sin B=_______，cos B=_______，tan B=_____． 【方法总结】 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值． 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sin A =，求 cos A、tan B 的值． 【方法总结】 在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其他的所有锐角三角函数值． 练一练 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tan A=， 求sin A，cos A 的值． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A=，则下列结论正确的是 （ ） A．cos A= B．tan A= C．cos A= D．tan A= 二、课堂小结 当堂检测 1． 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是 ( ) A. B. C. D． 2．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( ) A． tan70°＜cos70°＜sin70° B． cos70°＜tan70°＜sin70° C． sin70°＜cos70°＜tan70° D． cos70°＜sin70°＜tan70° 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A =，求 sin A、tan A 的值． 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D．若 AD = 6，CD = 8． 求 tan B 的值． 5． 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6． 求cos B 及tan B 的值． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1．解：c=2． 2．解：c=． 课堂探究 一、要点探究 探究点1：余弦 合作探究 解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而 sin B = sin E，因此 练一练 1． 3. 解： 由题意设斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为＜5x， ∴ sin α= cos α= 探究点2：正切 合作探究 解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴ Rt△ABC∽ Rt△DEF．∴∴ 想一想 解：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数． 练一练 1． 2． 典例精析 例1 解：由勾股定理得 ∴ 练一练 1． 2． 例2 解：在Rt△ABC中，∵∴ 又∵∴ 练一练 1．解：∵∴ ∴∴ 2．D 当堂检测 1．A 2．D 3．解：在Rt△ABC中，由设 AC = 15k，则 AB = 17k． ∴ ∴ 4．解：∵CD⊥AB，∴ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°，∴∠B = ∠ACD，∴ tan∠B = tan∠ACD = 5．解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．∵ AB = AC， BC=6，∴ BD = CD = 3， ∴ 在 Rt△ABD 中，∴ tan B = 学科网（北京）股份有限公司 $