28.1 第1课时 正弦函数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦锐角正弦函数，引导学生理解锐角正弦定义及固定比值特性，通过“绿化荒山铺设水管”情境导入，关联30°、45°直角三角形边长计算旧知，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 以现实问题驱动探究，通过特殊角到一般角的推理抽象出正弦定义，培养数学思维与推理能力，例题结合坐标系、网格等情境，强化数学语言表达与应用意识，完整的自主学习与检测设计，助力学生提升运算能力与创新意识。

第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦函数 学习目标： 1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)． 2．能根据正弦概念正确进行计算． 重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)． 难点：能根据正弦概念正确进行计算． 自主学习 1、 知识链接 1．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求c． 2．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求c． 合作探究 1、 要点探究 探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值 合作探究 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB． 【方法归纳】 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于． 思考1：Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 【方法归纳】 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于． 思考2： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ 【方法归纳】 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A，即 【典例精析】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求 sin A 和sin B 的值． 练一练 1．如图，判断对错： sin A = （ ） sin A = （ ） sin B = （ ） sin A = 0.6 （ ） sin B = 0.8 （ ） 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sin A的值为 （ ） A． B． C． D． 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值． 【方法总结】 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解． 练一练 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( ) A． B． C． D． 探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积． 提示：已知 sin A 及∠A的对边 BC的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出 sin B及 Rt△ABC的面积． 练一练 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，BC=6，则AB的长为 ( ) A. 4 B．6 C．8 D．10 2．在△ABC中，∠C=90°，如果 sin A = ，AB=6， 那么BC= ． 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24 cm，sin A=，求这个三角形的周长． 【方法总结】 已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题． 二、课堂小结 当堂检测 1．在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将( ) A． 扩大为原来的2倍 B．不变 C． 缩小为原来的 D． 无法确定 2．如图， 在△ABC中，∠B=90°，则sin A的值为 ( ) A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC的值为 ． 4． 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，BD是 ⊙A 的一条弦， 则 sin∠OBD =______． 5．如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sin A =，求△ABC 的面积． 6． 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB． (1) sin B 可以由哪两条线段之比表示? (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sin B 的值． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1．解：c=2． 2．解：c=． 课堂探究 一、要点探究 探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值 合作探究 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC =2×35=70 (m)．故需要准备 70 m 长的水管． 思考1 解：因为∠A=45°，∠C=90°， 所以AC=BC．由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，所以．因此 思考2 解：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'．所以，即． 典例精析 例1 解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得因此如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此 练一练 1． √ × × √ √ 2． C 例2 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．在Rt△APO中，由勾股定理得因此 练一练 D 例3 解：∵∠C=90°，，∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9． ∴∴ ∴ 练一练 1． D 2． 2 例4 解：由sin A=，设BC=7x cm，则AB=25x cm．在 Rt△ABC中，由勾股定理得，即 24x = 24，解得 x = 1 cm．故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm．所以 △ABC 的周长为BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm)． 当堂检测 1. B 2．A 3． 4． 5． 解：作BD⊥AC于点D，∵ sin A =，∴． ∴又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6． ∴S△ABC=AC×BD÷2=12． 6． 解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°．∴∠ACD = ∠B=90°-∠A． ∴ （2）在Rt△ACD中，由 (1)知， 学科网（北京）股份有限公司 $