数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项）求利 考点一 裂项相消法 例1. (2026陕西商洛模拟预测)已知正项等比数列0，满足4=1，且20,4,34成等差数列，正项数列， 的前”项和为 Ta Tn=anbn (①)求a,的通项公式 11 (2)证明：b,44中 2n+3 bm+b,Sa5 1 (3)i记数列22m-2n+Va的前n项和为s.,证明：b 4（2n+12"· 【答案】(1)，=4 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】1)设数列a,的公比为9(9>0) 因为20,4,30成等差数列，所以24=3a,+20 5 即2g2-3g-20=0,解得g=4或2（舍去)， 所以2.4 (2)由7=a,b,得=46.7=4b, b4-4" 两式相减，得b1=4b1-4-b,所以b,4”-1, 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 4-_1+4-+ 1 则= 44=4 -11、1,1 4“-1 44×4”-444"*▣1 2n+3 2n+3 (3)因为2(2n-1)(2n+1)Va,(2n-1(2n+1)2” 1 (2n-1）2(2n+12”, boa tbb 所以bbn 4+12+2 1 1.5 1 42n+l2+4>42n+l2 例2.(2026-山东东营模拟预测)记数列a,的前n项和为S,已知4=2，S,=0-2 (①)求a,的通项公式： 包设久a+可，证明：数别6的前项和<. a 【答案】)%，=2” (2)证明见解析 【详解】(1)当”=1时，S=a=4,-2 因为9=2 所以94 当”≥2时， S=an-2 S-=an-2 两式相减得， a=S.-3=a-a,所以0=2a, 又因为4，=20，所以数列a是以2为首项，2为公比的等比数列， 故数列Q,的通项公式为，=2 2 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 (2)因为-a,+1a+,所以么2+1l川2+12+121， a 11 所以=么+6+…+b, 2+, 因%0，所似工-古对行 例3.(2026山东泰安模拟预测)已知数列a,、(h,的前n项和分别为5。、又，4=10， n-n+13,=2n+2n,{b为等比数列且4=1，T=28. ()求2、6 an (2)求数列2nn+1)b1的前n项和An: 【答案】①)，=4n+6neN),6,=3 =1- 1 (2)1 （n+13 S4-S=2, 【详解】(1)由nS1-(n+Sn=2n2+2n得，即n+1n :三=10。是以10为首项，2为公差的等差数列， 又1 :=10+2n-1=2n+8,S,=2m2+81, n n≥2时，0，=S,-S=2m+8m-[2m-2+8n-1]=4n+6 m=1时，4=10=4×1+6 ,符合上式， 综上， a=4n+6n∈N) 求6方法一： 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 设6公比为9，由3，=287，得3+g7=287, 1+q3=289=3.bn=bq01=3- 求6，}方法二 .61-9)_286(1-g） 若g=1,则7，=6=27≠2879≠1.1-9 1-9 1+q3=28.q=3.bn=bq=3- 0，=2n+3 (2)由)知，2n+14n+3 a 2n+33(n+l-n3n+1n 1 (拆项方法二)：2n(n+1bnn+13nn+13nn+13nn+1)3=3(n+13”, 1 1.(1 1) 1 1 1 变式1，(2026广西北海一横)已知等差数列a的前n项和为5，且，=15，a,+a,+a,=27,数列b,的前 n项和为，满足3江=的.-3n∈N 山求数列a和的通项公式 +bont andne ，求数列c}的前n项和2. 【答案】4，=2n+1∈N)b,=34aeN) a24,+1216-y 6n+95 【详解】（1)设等差数列a的首项为“，公差为4， 由9=15 得：8=3a+=15,化简得4+d=5 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 由4+a+a,=27得.3a+91=27 得： 化简得4+3d=9 联立方程解得：d=2,4=3 因此等差数列通项为：a,=2n+1n∈N) 对于数列3，已知3江=-3， 当”=1时，36=4-34=3 ,得 当”≥2时，37=46-3 两式相减得 3b.=4bn-4b-1 即6=4h 因此，是首项为3、公比为4的等比数列， 通项为： bn=3.4"-(n∈N) 2)由9 1+bb andn 可得： Q-21+24 aa州 1 1 1(11 又aa1(2k+1)(2k+3)22k+12k+3, 每含d5传》a14小g0…. 仅6b=3:434)=9.4=}16 这是首项为36、公比为16的等比数列， 。91616”-1)1216”-1) b 则后 416-1 5 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 所以、 n 1216-1) 6n+9 5 变式2.(25-26高三上安徽合肥月考》已知数列a的前n项和为S,2a,=S,+nn∈N),设4，=a,+1 )证明：数列b,是等比数列： Tn2-Tnet ②没数列么lg的前n项和为7，若数列一2-可的前n项和为P,求证：R<专 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】(1)由2a,=S.+m到，得2a4=S+n+1*neN), 利-(9，得0=2a,+1, bu-4+1_2a,+1+1=2 故b,an+1a+1,所以数列{b.}是等比数列： 2an=Sn+n→2a1=41+1→a=1→b,=1+1=2 (2)由 由（)可知数列b是以2为首项，2为公比的等比数列，所以=2：2=2， 因为么-1og,h=2-l0g,2=n-2° 所以=引-2+2x2+3x2++n:2 2T=122+2×2+3×24+…+n…2(***) *到-，得7=1-2+2+2'++2-n-2 21-21-n-2→7=n-l2+2: -T 1-2 T2-T_(n+123-n-2*2_1 故(I-27m,-2n-2n+1-2n2n+1-2m, 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 11 11 1 1 11 则 =227*2232++n-20+-2-8+1-2四8 变式3.( 2026甘肃兰州一模)已知数列a中，4=1，当n≥2时，4，为1+少(meN)的展开式第3项的二项 式系数， (I)求数列a 的通项公式： 1 ②设数列满足久，数列6的前n项和为，求证：1≤7<3。 1,n=1 【答案】)”， nn-1 2,n≥2 2 (2)证明见解析 【详解】)由题意，m≥2时“：为0+meN)的展开式第3项的二项式系数， 1,n=1 所以a=Cg,且g=1 an=n(n-1 2 ,n22: 1,n=1 2)曲(1)61 2 当n≥2时， 因为T=1满足上式，所以T,=3-m对n∈N恒成立， 易知T。=3-在n∈N上单调递增， 2,n→+o320,所以1红3 > 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(2026广东佛山一模)已知数列0的前”项和为5，且满足S。=2a。-1. (①求数列a的通项公式： =2n-1 (2)已知 a。，求数列b}的前n项和为I. 【答案】(0%，=2 a26-2- 【详解11)（1)9=2a-10. 当”=1时，4=24-1，解符4=， 当1≥2时，8=2a.-1②. 式子0②得2=2a-2a,故0.=2a， m=2, 因为a=1≠0，所以a,≠0，所以a 所以a,是以1为首项，2为公比的等比数列，所以“，=2 2a,。==-2-”无=95g412g0 x-g-s-e D.®4：=+2g得 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 =1+2 1- a- 2 例2.(25-26高三下河北邯郸月考)已知数列0满足4+24，+2a,++2a,= (①求数列a,的通项公式： (2)求数列a 的前n项和S】 2n-1 【答案】(1)0n= 2n-1 (2)5,=6-2n+3 2 【详解】()由题意，当n=1时，4=1 a1+2a2+…+2"-an=n2 ①， 当n≥2时，4+24++2a=-@. ①.②得24.=2n-1,即a,-20 2-. 当71时211-4，故数列红的适项公式为息 2n-1 21Γ 135 (2)Sn=a1+a2+…+an 2n-1 20+2+2+…+ 2-1③， +…232 2-1 2④， 化简得25，=3-20+3 2”，即S,=6-2n+3 2-1. 9 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 1 1 1 例3.(25-26高三下·福建厦门月考)设数列a,满足42，a=24,+2，nN )证明：数列2a为等差数列： 2若数列a的前”项和为，求证：7<2： ③)设么=(2n+0,求数列b的最大项 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 21 3)8 11 【详解】（1)由，1=20，+2可得，2.a,1=2a.+1,即2a1-2”a,=1 又24=1，因此2a是以1为公差，1为首项的等差数列 n (2)由(1)得，2”a,=1+(n-1×1=n,a,=2, 设其前n顶和为2，则7=1兮+2×写 1 X2京+…+n 1 2n =+2…a-小x+ 1 1 2n+1, 111 11 所以2T。= 222+2++ 21+1, 即1元=2(1-2口 -n 1 21-1-m1 =1-(n+2 2n+1, 1 2 所以五=2-a+2. 又nN,所以n+2 2>0,因此7<2 3)由2)得2”，所以"2+ 2” ，b1-n+2n+3到 20+1 所4-6=a+2+-22+.2n+3a433-13n-到 2+1 241 2n41 10数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项）求和 考点一 裂项相消法 例1.(2026陕西商洛模拟预测)已知正项等比数列{an}满足a=1,且20,4,3a2成等差数列，正项数列{b,}的 前项和为Tn,Tn=abn (1)求{an}的通项公式 6>t (2)证明：6之44 2n+3 (3)记数列 的前项和为Sn,证明： b+bS>5-。1 2(2n-1(2n+1)Van b,4(2n+1)2 例2.(2026山东东营·模拟预测)记数列an}的前n项和为Sn,己知a=2,Sn=an1-2. (1)求{an}的通项公式： ②设。a,+la+可，证明：数列a的前n项和工<兮 an 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 例3.(2026山东泰安模拟预测)已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,a,=10, nSn1-(n+1Sn=2n2+2n,{bn}为等比数列且b=1,T。=28T3: (1)求an、bn; (2)求数列 a。 2nn+1)bn+1 的前n项和A 变式1.(2026广西北海一模)己知等差数列an}的前n项和为Sn,且S,=15,a2+a4+a。=27,数列{bn}的前n 项和为Tn,满足3Tn=4bn-3,n∈N. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： 2记c,=+bb,求数列c,的前n项和Q. aant 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 变式2.(25-26高三上安徽合肥月考)己知数列{an}的前n项和为Sn,2an=Sn+nn∈N),设b,=a,+1 (1)证明：数列{b}是等比数列： (2)设数列{b,·log,bn}的前n项和为Tn,若数列 T2-T1 (Tn1-2)(Tn+2-2) 的前项和为B,求证：R<日 变式3.(2026甘肃兰州一模)己知数列{an}中，a=1,当n≥2时，a,为(1+x)”(n∈N)的展开式第3项的二项 式系数 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设数列{b.}满足b.=一 ,数列6，的前项和为，求证：1≤，<3 a 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(2026广东佛山一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1. (1)求数列{an}的通项公式： 2)已知6，=2n-1 a,，求数列{b,}的前项和为工 例2.(25-26高三下河北邯郸月考)已知数列an}满足a1+2a2+22a,+…+2-a,=n2. (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 例3.(2526商三下相建门月考)设数列a满是4宁4+2，aeN 1 (1)证明：数列{2”·an}为等差数列； (2)若数列{an}的前n项和为n,求证：T,<2; (3)设b,=2n+1a。,求数列{bn}的最大项 变式1.(25-26高三下广东深圳月考)己知数列{an}和bn}满足：a1=元，a1=3a,-4n,bn=4”(an-2n-1),其 中入，μ为实数，u≠0，n为正整数， (1)试判断数列{b}是否为等比数列，并说明理由； (②)若=2，求数列{nbn}的前n项和Sn. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 变式2.(2026广西模拟预测)已知公比q≠1的等比数列{a,},其前n项和为Sn,且a=1,2S。=S1+S+2, (I)求{an}的通项公式： (②)求2a1+5a2+8a,+…+(3n-1an. 变式3.(2026：陕西检林一极)已如数列a,的前n项和S=r+3训，等比数列么满定么=4，么=4 (I)求{an}和bn}的通项公式： (2)求数列{a,bn}的前n项和Tn. 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 考点三 分组（并项）求和 例1.(2026辽宁大连·一模)在数列{an}中，a1=2,an1=3an-2 (1)求证：数列{a,-}为等比数列： (2)设bn=an+n,求数列{bn}的前项和Sn. 例2.(2026云南昭通二模)已知点P(1,1在函数f(x=a-1的图象上，记数列{an}的前n项和为Sn,且 S,=f(n). (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b.=log,a,求数列{《-1)”b,}的前2026项和. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 例3.(2026河北保定.一模)已知等差数列{an}满足an+an=2n+1. (I)求{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足b,=(-1)”·a2+2,求{bn}的前2n项和T2n及其最小值. 变式1.(2026吉林长春·二模)在数列{an}中，a1=2,an+1=3an-2. (I)求证：数列a.-1为等比数列： (2)设bn=nan,，求数列{bn}的前n项和Sn. 8 数列：裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和专项训练 变式2.(2026湖北孝感·二模)已知数列an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N,向量pn=(4,-2n-1, 9n=(Sn,an),有Pn·qn=1.数列{bn}满足b,= an+1,n为奇数 3a,n为偶数，其前硕和为T. (1)求数列an}的通项公式： (2)若T,-Sn>元n对任意n∈N恒成立，求实数的取值范围. 变式3.2026，广东广州校)已知数列a的首项4=号，且满足。 =0+ ans 2an ①)证明：数列- 为等比数列； a. 1 (2)若数列 一+n的前项和Sn小于120，求的最大值. a。 0