27.2.3 相似三角形应用举例（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦“相似三角形应用举例”核心知识点，通过乐山大佛、红杉树等实际景观图片导入，引发“如何测量不可直接度量的高度、宽度”问题，以泰勒斯测量金字塔高度为例搭建学习支架，衔接相似三角形判定与性质的实际应用。 此资料以情境化教学为特色，通过测量旗杆高度（物高与影长比例）、河宽（构造相似三角形）、遮挡物问题（盲区分析）等实例，发展学生抽象能力与空间观念（数学眼光），培养推理意识（数学思维），增强应用意识（数学语言）。课后知识思维导图助力梳理，实例丰富易操作，既帮助学生建立知识联系，又提升教师教学效率。

九年级下册教案 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 教学内容 27.2.3 相似三角形应用举例 课时 1 核心素养目标 1. 能根据实物抽象出几何图形，选择合适的度量方法，建立量感，发展学生的抽象能力与空间观念. 2. 探索客观事物的本质属性，进一步了解数学建模思想，建立数学与实际生活的逻辑联系. 3. 能够将实际问题转化为数学模型，感悟数学模型的普适性，运用相似三角形的知识解决实际生活中的问题，增强学生的应用意识. 知识目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 教学重点 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 教学难点 会利用相似三角形的性质解决简单的问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、创设情境 导入新知 图片引入 乐山大佛 世界上最高的树 —— 红杉 台湾最高的楼 世界上最宽的河 ——台北101大楼 ——亚马逊河 师生活动：怎样丈量这些景观（长宽高）呢？ 学生观察图片，独立思考积极讨论. 教师顺势引出相似的应用——利用相似三角形的判定与性质可以解决一些求不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离的问题. 二、探究新知 知识点一：利用相似三角形测量高度 合作探究 传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路， 把BO看作三角形的边，它在哪个三角形里？ 预设：在△ABO中. △ABO与△DEF相似吗？如果相似请证明，并完成计算. 学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范证明过程. 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ . ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 归纳： 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 练习1.如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求 AB 长的等式是 ( ) 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的小阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米 师生活动：学生独立思考完成计算，教师巡视；学生共同作答. 想一想：还有其他的测量方法吗？ 师生活动：学生独立思考，积极发言，教师引导学生利用平面镜反射光线，构造相似的三角形，如图. 归纳： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决. 试一试 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 师生活动：学生思考后独立完成计算，教师巡视，选学生作答，其他同学判断正误. 知识点二：利用相似三角形测量宽度 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ. 师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路， 途中以后相似的三角形吗？ 预设：△PQR∽△PST. 请证明△PQR∽△PST，并完成计算. 学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范证明过程. 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD = 80 m， DC = 30 m，EC = 24 m，求两岸间的大致距离 AB． 师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板书，教师总结解题方法. 归纳 测量河宽等不易直接测量的距离，常构造相似三角形求解. 知识点三：利用相似解决有遮挡物问题 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了? 师生活动：教师引导学生分析解题思路， 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就看不到 C 点了. 学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范证明过程. 三、当堂练习 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 2. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 . 3.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD = 5 m，AD = 15 m，ED = 3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. 4.如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度． 设计意图：通过精美的图片，吸引学生的课堂注意力；感受所学知识在生产实际中的作用，激发学习兴趣. 设计意图：从测量数目这些较小的物体探究，降低探索难度；初步引导学生利用相似三角形的判定与性质进行思考. 设计意图：运用古代数学家的实例，引发学生的学习兴趣. 设计意图：锻炼学生的抽象能力，能够探索客观事物的本质属性，进一步了解数学建模思想. 设计意图：锻炼证明能力发展抽象能力；通过解决实际问题，帮助学生理解“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理. 设计意图：通过练习1、2，巩固学生对“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理的理解与掌握. 设计意图：培养学生的思维能力和综合应用能力，可利用跨学科思想讨论问题；锻炼证明能力和类比推理能力，感受数学的魅力. 设计意图：进一步巩固利用“镜子的反射原理”构造相似三角形测量高度的方法，锻炼学生的计算能力和应用能力. 设计意图：锻炼学生的计算能力和推理能力，通过解决实际问题，帮助学生理解“构造相似三角形计算河宽”的原理. 设计意图：锻炼学生的发展性思维和应用能力，提高解决问题的能力. 设计意图：锻炼学生的应用解题能力，进一步培养抽象能力；发展综合应用能力. 设计意图：题1、2考查学生的对“利用相似三角形测量高度”的掌握. 设计意图：考查学生对“利用相似三角形测量宽度”的掌握，发展空间观念. 设计意图：考查学生“利用相似解决有遮挡物问题”的能力，锻炼运算能力和应用能力. 板书设计 27.2.3 相似三角形应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $