专题三 高频易错题（第二章 不等式与不等式组）26个题型讲练+培优检测 共67题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册专项复习培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册同步培优讲义【高频易错题】 专题三 高频易错题『第二章 不等式与不等式组』 （第二章 不等式与不等式组） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 精讲精练 2 题型讲练一 不等式的解集 2 题型讲练二 不等式的性质 2 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 3 题型讲练四 在数轴上表示不等式的解集 3 题型讲练五 求一元一次不等式的整数解 4 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 5 题型讲练七 解≥a型的不等式 5 题型讲练八 列一元次不等式 6 题型讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 7 题型讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 8 题型讲练十一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 9 题型讲练十二 根据两条直线的交点求不等式的解集 10 题型讲练十三 求不等式组的解集 11 题型讲练十四 解特殊不等式组 11 题型讲练十五 求一元一次不等式组的整数解 13 题型讲练十六 由一元一次不等式组的解集求参数 13 题型讲练十七 由不等式组解集的情况求参数 14 题型讲练十八 不等式组和方程组结合的问题 14 题型讲练十九 列一元一次不等式组 15 题型讲练二十 不等式组的行程问题 15 题型讲练二十一 不等式组的工程问题 17 题型讲练二十二 不等式组的经济问题 18 题型讲练二十三 不等式组的分配问题 19 题型讲练二十四 不等式组的方案选择问题 20 题型讲练二十五 不等式组的阶梯收费问题 21 题型讲练二十六 一元一次不等式组的其他应用 22 培优检测 能力提升 23 题型讲练一 不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？ 题型讲练二 不等式的性质 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 【典例分析】已知一次函数的图像过，两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求当时，的取值范围． 【变式训练】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为________． 题型讲练四 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）如图，在中，，，为上一点，过点作，交于点．请判断的形状，并说明理由． 题型讲练五 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）解方程组、解不等式，找出满足条件的正整数解． (1) 解方程组：； (2)根据条件，求正整数x． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽___________盒． 【变式训练】．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 题型讲练七 解≥a型的不等式 【典例分析】（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 题型讲练八 列一元次不等式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 题型讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】某商店销售、两种型号的打印机，销售3台型和2台型打印机的利润和为560元，销售1台型和4台型打印机的利润和为720元． (1)求每台型和型打印机的销售利润； (2)商店计划购进、两种型号的打印机共120台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这120台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 题型讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【变式训练】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 题型讲练十一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【变式训练】．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 题型讲练十二 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例分析】（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于点直线分别与x轴交于点C，与直线交于点D，已知关于x的不等式的解集是． (1)分别求出k，b，m的值； (2)求． 【变式训练】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 题型讲练十三 求不等式组的解集 【典例分析】解下列不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 【变式训练】（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 题型讲练十四 解特殊不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【变式训练】阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 题型讲练十五 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆江北·期末）解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 题型讲练十六 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，求的取值范围． 题型讲练十七 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【变式训练】若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数的图像经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型讲练十八 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 题型讲练十九 列一元一次不等式组 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 题型讲练二十 不等式组的行程问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 题型讲练二十一 不等式组的工程问题 【典例分析】（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【变式训练】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 题型讲练二十二 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 题型讲练二十三 不等式组的分配问题 【典例分析】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【变式训练】（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 题型讲练二十四 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下： 供货公司 西湖龙井供货价 （元/千克） 杭州藕粉供货价 （元/千克） 额外优惠条件 甲公司 20 10 若总进货量恰为150千克，且杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍，总进货费用减免80元 乙公司 18 12 无额外优惠，货源稳定 (1)该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？ (2)试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由． 题型讲练二十五 不等式组的阶梯收费问题 【典例分析】（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型讲练二十六 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26九年级下·山东东营·开学考试）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ (3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川达州·期中）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于x的方程的解是 D．不等式的解集为 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 7．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 10．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 13．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解， ． 又， ．即． 又， ．① 同理得：．② 由得， 的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题：已知，且，，则的取值范围． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册同步培优讲义【高频易错题】 专题三 高频易错题『第二章 不等式与不等式组』 （第二章 不等式与不等式组） 【北师大版八下●新教材】 优选题型 精讲精练 2 题型讲练一 不等式的解集 2 题型讲练二 不等式的性质 3 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 5 题型讲练四 在数轴上表示不等式的解集 6 题型讲练五 求一元一次不等式的整数解 8 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 9 题型讲练七 解≥a型的不等式 10 题型讲练八 列一元次不等式 12 题型讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 14 题型讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 16 题型讲练十一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 18 题型讲练十二 根据两条直线的交点求不等式的解集 21 题型讲练十三 求不等式组的解集 24 题型讲练十四 解特殊不等式组 26 题型讲练十五 求一元一次不等式组的整数解 29 题型讲练十六 由一元一次不等式组的解集求参数 30 题型讲练十七 由不等式组解集的情况求参数 32 题型讲练十八 不等式组和方程组结合的问题 34 题型讲练十九 列一元一次不等式组 35 题型讲练二十 不等式组的行程问题 37 题型讲练二十一 不等式组的工程问题 40 题型讲练二十二 不等式组的经济问题 42 题型讲练二十三 不等式组的分配问题 44 题型讲练二十四 不等式组的方案选择问题 47 题型讲练二十五 不等式组的阶梯收费问题 50 题型讲练二十六 一元一次不等式组的其他应用 52 培优检测 能力提升 54 题型讲练一 不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【思路引导】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【规范解答】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？ 【答案】第34个图形所用的“★”超过100个 【思路引导】本题主要考查图形规律，不等式的运用，理解图示，找出数量关系是关键． 根据题意得到第一个图有“★”的数量是个，结合题意列不等式求解即可． 【规范解答】解：第一个图有“★”的数量是个， 第二个图有“★”的数量是个， 第三个图有“★”的数量是个， 第四个图有“★”的数量是个， ， ∴第个图有“★”的数量是个， ∴， 解得，， ∴第34个图形所用的“★”超过100个． 题型讲练二 不等式的性质 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【规范解答】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 19．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查多项式乘法，整式的加减，掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将、展开并作差，根据差的符号判断大小； （2）令，再将，转化为整式运算，然后作差判断符号，得出结论． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ． 答：． （2）解：设， 则，， ，， ， ， ． 答：． 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 【典例分析】已知一次函数的图像过，两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设一次函数的解析式为，将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）根据（1）所得的一次函数的解析式列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵该一次函数的图像过，两点 ∴， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：一次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：， ∴的取值范围是． 【变式训练】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为________． 【答案】且 【思路引导】先根据平行于轴的直线的性质，求出点、点的坐标，得到长度的表达式，再结合不等式恒成立的条件分类讨论，转化为关于的不等式，求解得到的取值范围． 【规范解答】解：过点作平行于轴的直线为． 将代入，得． 将代入，得． ∴． 由题意，时，恒成立， 即，化简得． 情况1：当时，，不等式恒成立． 情况2：当时，， 不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得， 对于在范围内恒成立， ∵，越大，越大，当时，取得最大值， ∴，解得． 对于在范围内恒成立，解得． 又∵是一次函数，， ∴的取值范围为且． 题型讲练四 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，画图见解析 【思路引导】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法，画出图示即可求得 【规范解答】解：去分母得：， ， ， 把解集在数轴上表示如图所示． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）如图，在中，，，为上一点，过点作，交于点．请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；见解析（2）为等边三角形．理由见解析 【思路引导】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为求出解集，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据等腰三角形的性质结合，可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，，即可判断的形状． 【规范解答】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 解集在数轴上表示如图． （2）为等边三角形．理由如下： ，， ． ， ，， 为等边三角形． 【考点剖析】本题考查了解一元一次不等式，等边三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 题型讲练五 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）解方程组、解不等式，找出满足条件的正整数解． (1)解方程组：； (2)根据条件，求正整数x． 【答案】(1) (2)，正整数解为1 【思路引导】（1）利用加减消元法求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后结合“正整数”的定义获得答案即可． 【规范解答】（1）解：， 由，得， 解得， 把代入②中，得， 解得， ∴该方程组的解为； （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∴正整数x为1． 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【思路引导】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽___________盒． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【规范解答】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 【变式训练】．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 题型讲练七 解≥a型的不等式 【典例分析】（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【规范解答】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 题型讲练八 列一元次不等式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【答案】(1)． (2)． 【思路引导】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子． 【规范解答】（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为； 则：． （2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元； 则：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【规范解答】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 题型讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】某商店销售、两种型号的打印机，销售3台型和2台型打印机的利润和为560元，销售1台型和4台型打印机的利润和为720元． (1)求每台型和型打印机的销售利润； (2)商店计划购进、两种型号的打印机共120台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这120台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每台型打印机的利润为80元，每台型打印机的利润为160元 (2)当商店购进型号的打印机40台，型号的打印机80台时，才能使销售总利润最大． 【思路引导】（1）设每台型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）该商店购进种型号的打印机台，先求出关于的关系式，根据一次函数增减性可知随的增大而减小，再结合的取值范围求解即可． 【规范解答】（1）解：设每台型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台型打印机的利润为80元，每台型打印机的利润为160元； （2）解：该商店购进种型号的打印机台，则购进种型号的打印机台， 由题意得：， ， 随的增大而减小， ，且, ， 是正整数， 时，最大， （台， 答：当商店购进型号的打印机40台，型号的打印机80台时，才能使销售总利润最大； 【变式训练】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】(1) 每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2) 购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【思路引导】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 题型讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【规范解答】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 题型讲练十一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【思路引导】（1）联立解析式求出交点坐标，通过交点坐标确定不等式的解集； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴， 由图形可知，当时，； （2）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 【考点剖析】掌握数形结合的思想． 【变式训练】．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 题型讲练十二 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例分析】（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于点直线分别与x轴交于点C，与直线交于点D，已知关于x的不等式的解集是． (1)分别求出k，b，m的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式的解集是得到点D的横坐标为，再将代入，得：，将代入求得即可； （2）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点， ∴， 解得：， ∴， ∵关于x的不等式的解集是， ∴点D的横坐标为， 将代入，得：， ∴， 将代入， 解得：； （2）如图，过点D作于H， 则 对于，令，得：， ∴点C的坐标为， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【思路引导】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【规范解答】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 题型讲练十三 求不等式组的解集 【典例分析】解下列不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【思路引导】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【变式训练】（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式及不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式及不等式组的步骤． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【规范解答】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得． 故不等式组的解集为． 题型讲练十四 解特殊不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【规范解答】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 【变式训练】阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【规范解答】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 题型讲练十五 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：7，8，9 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 所以该不等式组所有整数解为：7，8，9． 【变式训练】（25-26九年级上·重庆江北·期末）解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为、 【思路引导】分别求两个不等式的解集，然后求公共解，确定负整数解． 【规范解答】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 负整数解为、． 【考点剖析】注意负整数解的定义． 题型讲练十六 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，； (2)一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点，理由见解析； (3)的取值范围是或． 【思路引导】本题主要考查了画函数图像，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，解题时熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）当时，，然后通过画图像的方法即可画出图像，再结合图像可得横纵坐标都为整数的点的个数； （）由一次函数得，，当时，即时，，进而求解； （）根据题意，分当时，当时两种情形列出不等式组即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 列表： 描点： 连线：如图， ∴横纵坐标都为整数的点共有个， 故答案为：； （2）解：一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点，理由， 由一次函数得，， ∴当时，即时，， ∴一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点； （3）解：当时，随的增大而增大， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 当时，随的增大而减小， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 综上可得：的取值范围是或． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法与解集的确定，掌握根据方程组的解的符号和不等式组的解集列不等式是解题的关键． 先解二元一次方程组，根据解为正数得到的初步范围，再解不等式组，结合解集条件得到的另一范围，最后取两个范围的交集． 【规范解答】解：解方程组 得 方程组的解均为正数， ，即． 解不等式，得， 解不等式，得． 不等式组的解集为， ，解得． ， 的取值范围为． 题型讲练十七 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【思路引导】先根据正比例函数的定义得到a的取值限制，再解一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，最后找出范围内满足条件的整数a并计算其和即可． 【规范解答】解：为正比例函数 根据正比例函数的定义，可得，即 解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有三个整数解， 三个整数解为 可得 三边同乘3得，移项并合并同类项得 结合，可得 该范围内的整数为 所有满足条件的整数的值之和为 【变式训练】若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数的图像经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式组，正确理解不等式整数解的含义是关键．先根据一次函数经过的象限得到m的取值范围，再解不等式组，根据整数解个数得到另一范围，取交集后即可解答． 【规范解答】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 解得， 解不等式组， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且只有4个整数解， 4个整数解为1，2，3，4， 可得， 解得， 结合， 得m的取值范围是， 符合条件的整数m为，，，共3个． 故选：C． 题型讲练十八 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． 得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可． 【规范解答】解：得：， 解得：， 将代入①得：， 根据题意得：， 解得：． 【变式训练】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 【规范解答】（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 题型讲练十九 列一元一次不等式组 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【规范解答】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【思路引导】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【规范解答】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 题型讲练二十 不等式组的行程问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【思路引导】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【思路引导】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 题型讲练二十一 不等式组的工程问题 【典例分析】（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【规范解答】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 题型讲练二十二 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)3600元 (2)购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【思路引导】本题考查的是一次函数的应用． （1）设甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的解析式为，再利用待定系数法求解即可． （2）先求解，设售完后可获得利润为元，得到，再利用函数性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数， 设其解析式为（）， 将点，代入， 得， 解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【规范解答】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 题型讲练二十三 不等式组的分配问题 【典例分析】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 【变式训练】（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【思路引导】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【规范解答】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 题型讲练二十四 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 (2)购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【规范解答】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下： 供货公司 西湖龙井供货价 （元/千克） 杭州藕粉供货价 （元/千克） 额外优惠条件 甲公司 20 10 若总进货量恰为150千克，且杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍，总进货费用减免80元 乙公司 18 12 无额外优惠，货源稳定 (1)该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？ (2)试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由． 【答案】(1)购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克 (2)当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和不等式是解题的关键． （1）设购进西湖龙井千克，杭州藕粉千克，根据一共购进150千克花费2000元建立方程组求解即可； （2）设购进西湖龙井千克，则购进杭州藕粉千克，根据杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍以及购进的重量非负列出不等式组求出x的取值范围，再用含x的式子分别表示出两家公司的费用，再建立不等式和方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设购进西湖龙井千克，杭州藕粉千克， 由题意得 解得 答：购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克． （2）解：当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算，理由如下： 设购进西湖龙井千克，则购进杭州藕粉千克， 由题意得 ∴， 甲公司成本：元， 乙公司成本：元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 答：当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算． 题型讲练二十五 不等式组的阶梯收费问题 【典例分析】（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【规范解答】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【思路引导】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型讲练二十六 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26九年级下·山东东营·开学考试）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ (3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) 购进A种纪念品每件100元，购进B种纪念品每件50元 (2) 该商店共有4种进货方案 (3) 当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，获利最大，最大利润是2500元 【思路引导】（1）关系式为：A种纪念品8件需要钱数种纪念品3件钱数，A种纪念品5件需要钱数种纪念品6件需要钱数； （2）关系式为：用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，得出不等式组求出即可， （3）列出一次函数解析式，利用一次函数的增减性和自变量的取值范围即可得解． 【规范解答】（1）解：设该商店购进一件A种纪念品需要元，购进一件B种纪念品需要元， 根据题意得方程组得：， 解方程组得：， ∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元； （2）解：设该商店购进A种纪念品个，则购进B种纪念品有个， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴可取的值为50，51，52，53． 故共有4种进货方案； （3）解：设利润为，则， ∵， ∴随增大而减小， 由（2）知，， 且 为整数， ∴选择购A种50件，B种50件．总利润（元）， ∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 【答案】(1) 每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； (2) w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组，不等式和函数关系式． （1）设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据已知条件列出二元一次方程组求解每箱百香果和金桔的售价； （2）设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，根据百香果的箱数不少于金桔的箱数求出m的取值范围，然后列出获利的函数关系式，根据一次函数性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； （2）解：设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，获利为元， 则， 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小． 又， 当时，最大． 答：w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【规范解答】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据宽和长的关系表示出长，再结合长方形周长公式和篱笆长度的限制列出不等式即可． 【规范解答】解：∵设试验田的宽为，宽比长少， ∴试验田的长为， ∵篱笆总长度是长方形的周长，要求篱笆总长度不超过， 长方形周长宽长，“不超过”用“”表示， ∴可列不等式为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将代入不等式求出的取值范围，即可判断. 【规范解答】解：∵是不等式的一个解， ∴，即：， 故选：D ． 4．（24-25八年级下·四川达州·期中）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于x的方程的解是 D．不等式的解集为 【答案】D 【思路引导】根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【思路引导】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【规范解答】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】根据不等式组有解的条件计算即可得出结果． 【规范解答】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 7．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 【答案】 【思路引导】先求出点的坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【规范解答】解：点在函数的图象上， ，解得， ， 由函数图象可知，当时，函数的值小于的值， 即不等式的解集为． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【答案】10 【思路引导】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【规范解答】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【答案】33 【思路引导】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【规范解答】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． 10．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 【答案】1 【思路引导】先解一元一次不等式组，根据至少有2个整数解确定a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为自然数筛选出符合条件的整数a，统计个数即可． 【规范解答】解：由题意得，， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 由题意得，， 得： 解得， 将代入得：， 方程组的解为自然数，a为整数，若为负因数，则n为负数，不是自然数， ∴是8的正因数， 又∵8的正因数为， ∴对应整数a的值为， ∵， ∴， 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，均为自然数，符合； 综上所述，满足条件的整数a只有1个． 【考点剖析】本题融合不等式组整数解与方程组自然数解，通过解集范围限定、因数分析与逐值验证，考查了分类讨论、转化化归思想及对自然数概念的精准把握． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【思路引导】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【规范解答】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【规范解答】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 13．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解， ． 又， ．即． 又， ．① 同理得：．② 由得， 的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题：已知，且，，则的取值范围． 【答案】 【思路引导】仿照题干所给的方法计算即可得出结果． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， 由得， ∴的取值范围为． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【思路引导】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【规范解答】（1）解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； （2）解：由题意，令，解得． 又， 当时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $