题号猜押04 天津卷10～13题复数、二项式定理、直线与圆、概率统计7大考点（填空题）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 10~13题复数、二项式定理、直线与圆、概念统计（填空题） 溯源：近5年真题显示，复数（T10附近）：每年一题，考查复数代数形式的乘除运算及模的计算。二项式定理：每年一题，求指定项的系数（含常数项），近5年每年必考。直线与圆：考查直线与圆的位置关系（切线、弦长），常结合圆锥曲线或基本不等式。概率与分布：题型丰富，包括古典概型、条件概率、全概率公式、独立重复试验期望等． 预测：2026年将延续复数与二项式定理延续“送分题”定位，保持基础运算考查；直线与圆可能结合抛物线或双曲线命制综合小题；概率题延续“实际问题背景+双空填空”形式，可能考查正态分布或离散型随机变量分布列。 备考核心：复数重点训练分母实数化与模的运算，确保零失分；二项式定理熟练运用通项公式求指定项，区分二次项系数与项系数；直线与圆掌握圆心到直线距离公式与几何意义；概率统计重点突破条件概率、全概率公式及分布列期望，强化读题建模能力。 考点1 复数 1．（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 2．（2026·天津南开·一模）是虚数单位，，则______. 3．（2026·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______. 4．（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 5．（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 考点2 求二项式系数 1．（2026·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 2．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 3．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 4．（2026·天津宁河·一模）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 5．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 考点3 二项式求常数项 1．（2026·天津红桥·一模）二项式的展开式的常数项___________． 2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 3．（2026·天津河西·一模）在的展开式中，常数项为______． 4．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为______. 5．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 考点4 直线与圆相切 1．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 2．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为_______． 3．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为________． 4．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 5．（25-26高三上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 考点5 直线与圆相交 1．（2026·天津南开·一模）过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 2．（2026·天津河西·一模）直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 3．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 4．（2025·天津·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是__________. 5．（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 考点6 条件概率、贝叶斯概率、全概率的应用 1．（2026·天津河东·一模）某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 2．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为______；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为______. 3．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为________；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为________． 4．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为__________；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为__________. 5．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______. 考点7 随机变量的分布 1．（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 2．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 3．（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 4．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 5．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 1．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 2．（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 3．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为______. 4．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 5．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 6．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为___________． 7．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率______；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率______. 8．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________. 9．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____． 10．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则_______________. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 10~13题复数、二项式定理、直线与圆、概念统计（填空题） 参考答案 押题预测 考点1 复数 1． 【答案】 【详解】因为，所以. 2．【答案】 【详解】因为， 所以. 3．【答案】2 【详解】由，得，分子分母同乘得：， 故复数的虚部为. 4．【答案】/ 【详解】因为，所以. 5． 【答案】 【详解】，故. 考点2 求二项式系数 1． 【答案】 【详解】展开式的通项, 令得, 所以的系数为. 2． 【答案】45 【详解】根据二项式定理， 的展开式为 . 要在 的展开式中得到 项，需分两种情况计算： 1. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分 的系数为 . 2. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分的系数为. 综上所述， 的系数为 . 3． 【答案】60 【详解】由二项式定理，展开式的通项为. 令，解得，将代入通项，得的系数为. 4． 【答案】/ 【详解】二项式的展开式第项为， 令得，，即的系数为. 5． 【答案】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 考点3 二项式求常数项 1． 【答案】120 【详解】的通项是 令，解得 所以常数项为 2．【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 3． 【答案】 【详解】由题设，， 令，则常数项为. 4．【答案】 【分析】首先根据二项式系数的性质求，再根据通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 5． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式，令的次数为，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为． 故答案为：. 考点4 直线与圆相切 1．【答案】 【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可. 【详解】设圆心，， 由题意得，解得或0（舍去）， 则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 2． 【答案】 【分析】先求得圆面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得. 【详解】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： 3． 【答案】 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由以及圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线的方程为，联立可得， 因为直线与抛物线相切，可得①， 又直线与圆相切，得，整理得②， 联立①②，得，或． 当时，得，不符合题意；当时，得（负值舍去）， 故直线的方程为． 故答案为：． 4． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 5． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出点坐标及直线的方程，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得， 抛物线方程为，设点，由，得，解得，， 点，而，直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得. 故答案为：3    考点5 直线与圆相交 1．【答案】 【详解】联立，解得或， 所以交点坐标为或， 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 综上所述，弦长为 2． 【答案】1或 【详解】由，得，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，又， ，解得. 3． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设到直线的距离为， 则有， 即，解得， 故实数的取值范围为. 4．【答案】 【分析】由，可得出圆心到直线的距离满足，由此可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，如图， 圆心到直线的距离为， 由于， ，即，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为： 5． 【答案】 【详解】由题意得圆心坐标为，则，，则，准线方程为 不妨取，因为该圆与抛物线交于，两点，则， 联立，解得或（舍去）， 则根据对称性有，解得， 则圆，则. 考点6 条件概率、贝叶斯概率、全概率的应用 1．【答案】 / / 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 2．【答案】 【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件， 则，，所以； ②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件， 则. 故答案为：①；②. 3． 【答案】 【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解. 【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为. 设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件, 事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况， 所以， 根据条件概率计算公式, 故答案为：；. 4．【答案】 /0.25 /0.125 【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案. 【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为； 记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”， 则，， 所以所求概率. 故答案为：； 5．【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件， 则， 因为， ， 解得，或， 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件， 当时，，， ， 当时， 则， 综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：. 考点7 随机变量的分布 1． 【答案】 / 【分析】第一空：利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；第二空先求出的可能取值为，再求出的每个取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 2． 【答案】 / 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 3． 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 4． 【答案】 【分析】利用二项分布期望公式可得；利用二项分布概率公式求出、，设乙队总得分为，利用独立事件概率公式求出、，则可求出. 【详解】由题意可得，则； ，， 设乙队总得分为，则 ， ， 则. 5． 【答案】 ； 58 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 通关特训 1． 【答案】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 2． 【答案】20 【详解】因为的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 3．【答案】405 【分析】利用二项式定理直接列式求解. 【详解】的展开式常数项为. 故答案为：405 4． 【答案】 【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得. 【详解】抛物线的准线为， 因为点在上，所以，得， 所以抛物线的焦点为， 线段的中点坐标为，， 所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则，. 5． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 6． 【答案】 【分析】根据题意可得：，，联立方程利用韦达定理求，进而得出圆心及半径即可求解． 【详解】由题意知，焦点，则抛物线， 直线，设，， 联立消去y并整理得，则，所以 所以． 则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：． 7．【答案】 【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为， 记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3” 三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故； 事件A的总情况数为 ， 记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”， 则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3， 可由如下步骤实线事件AB， 第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况， 第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况， 第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况， 由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为， 所以 故答案为：， 8．【答案】/ 【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 9． 【答案】 0.82 0.398 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 10．【答案】 /0.25 【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解. （2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次， 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布， 即，则； 正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为， 事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为. 则，，则. 故答案为：；. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 10~13题复数、二项式定理、直线与圆、概念统计（填空题） 溯源：近5年真题显示，复数（T10附近）：每年一题，考查复数代数形式的乘除运算及模的计算。二项式定理：每年一题，求指定项的系数（含常数项），近5年每年必考。直线与圆：考查直线与圆的位置关系（切线、弦长），常结合圆锥曲线或基本不等式。概率与分布：题型丰富，包括古典概型、条件概率、全概率公式、独立重复试验期望等． 预测：2026年将延续复数与二项式定理延续“送分题”定位，保持基础运算考查；直线与圆可能结合抛物线或双曲线命制综合小题；概率题延续“实际问题背景+双空填空”形式，可能考查正态分布或离散型随机变量分布列。 备考核心：复数重点训练分母实数化与模的运算，确保零失分；二项式定理熟练运用通项公式求指定项，区分二次项系数与项系数；直线与圆掌握圆心到直线距离公式与几何意义；概率统计重点突破条件概率、全概率公式及分布列期望，强化读题建模能力。 考点1 复数 1．（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 2．（2026·天津南开·一模）是虚数单位，，则______. 【答案】 【详解】因为， 所以. 3．（2026·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______. 【答案】2 【详解】由，得，分子分母同乘得：， 故复数的虚部为. 4．（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以. 5．（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 【答案】 【详解】，故. 考点2 求二项式系数 1．（2026·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项, 令得, 所以的系数为. 2．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 【答案】45 【详解】根据二项式定理， 的展开式为 . 要在 的展开式中得到 项，需分两种情况计算： 1. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分 的系数为 . 2. 取 与 中的 项相乘： 中 项的系数为 ， 此部分的系数为. 综上所述， 的系数为 . 3．（2026·天津·一模）在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】60 【详解】由二项式定理，展开式的通项为. 令，解得，将代入通项，得的系数为. 4．（2026·天津宁河·一模）在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】/ 【详解】二项式的展开式第项为， 令得，，即的系数为. 5．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 考点3 二项式求常数项 1．（2026·天津红桥·一模）二项式的展开式的常数项___________． 【答案】120 【详解】的通项是 令，解得 所以常数项为 2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 3．（2026·天津河西·一模）在的展开式中，常数项为______． 【答案】 【详解】由题设，， 令，则常数项为. 4．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为______. 【答案】 【分析】首先根据二项式系数的性质求，再根据通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 二项展开式的通项公式， 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 5．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式，令的次数为，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为． 故答案为：. 考点4 直线与圆相切 1．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可. 【详解】设圆心，， 由题意得，解得或0（舍去）， 则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 2．（2025·天津·一模）已知圆的方程为．当圆的面积最小时，直线与圆相切，则的值为_______． 【答案】 【分析】先求得圆面积最小时圆的半径，然后根据点到直线的距离等于半径列方程求得. 【详解】依题意，圆的方程为， 所以，所以圆心为，半径为， 所以当时，半径最小，圆的面积最小，且半径的最小值为， 此时圆心到直线的距离为 或（舍去）. 故答案为： 3．（2025·天津·二模）已知圆，抛物线，斜率大于的直线与圆和抛物线都相切，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，由以及圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线的方程为，联立可得， 因为直线与抛物线相切，可得①， 又直线与圆相切，得，整理得②， 联立①②，得，或． 当时，得，不符合题意；当时，得（负值舍去）， 故直线的方程为． 故答案为：． 4．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则_____________． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 5．（25-26高三上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出点坐标及直线的方程，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得， 抛物线方程为，设点，由，得，解得，， 点，而，直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得. 故答案为：3    考点5 直线与圆相交 1．（2026·天津南开·一模）过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【详解】联立，解得或， 所以交点坐标为或， 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 综上所述，弦长为 2．（2026·天津河西·一模）直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 【答案】1或 【详解】由，得，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，又， ，解得. 3．（2026·天津和平·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设到直线的距离为，由题意可得，再利用点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设到直线的距离为， 则有， 即，解得， 故实数的取值范围为. 4．（2025·天津·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由，可得出圆心到直线的距离满足，由此可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，如图， 圆心到直线的距离为， 由于， ，即，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为： 5．（2026·天津·一模）已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得圆心坐标为，则，，则，准线方程为 不妨取，因为该圆与抛物线交于，两点，则， 联立，解得或（舍去）， 则根据对称性有，解得， 则圆，则. 考点6 条件概率、贝叶斯概率、全概率的应用 1．（2026·天津河东·一模）某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 / / 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 2．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为______；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为______. 【答案】 【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件， 则，，所以； ②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件， 则. 故答案为：①；②. 3．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为________；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为________． 【答案】 【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解. 【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为. 设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件, 事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况， 所以， 根据条件概率计算公式, 故答案为：；. 4．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为__________；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为__________. 【答案】 /0.25 /0.125 【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案. 【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为； 记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”， 则，， 所以所求概率. 故答案为：； 5．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______. 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件， 则， 因为， ， 解得，或， 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件， 当时，，， ， 当时， 则， 综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：. 考点7 随机变量的分布 1．（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【答案】 / 【分析】第一空：利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；第二空先求出的可能取值为，再求出的每个取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 2．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 / 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 3．（2026·天津·一模）现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望______________． 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用二项分布概率公式求解第一空，利用二项分布期望公式求解第二空即可. 【详解】由题意得每名学生被要求用英语回答问题的概率均为， 则用汉语回答的概率为，可得， 由二项分布概率公式得， ， 则至少有2人用英语回答问题的概率为， 由二项分布期望公式得. 4．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 【答案】 【分析】利用二项分布期望公式可得；利用二项分布概率公式求出、，设乙队总得分为，利用独立事件概率公式求出、，则可求出. 【详解】由题意可得，则； ，， 设乙队总得分为，则 ， ， 则. 5．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 【答案】 ； 58 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 1．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 2．（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 【答案】20 【详解】因为的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 3．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为______. 【答案】405 【分析】利用二项式定理直接列式求解. 【详解】的展开式常数项为. 故答案为：405 4．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 【答案】 【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得. 【详解】抛物线的准线为， 因为点在上，所以，得， 所以抛物线的焦点为， 线段的中点坐标为，， 所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则，. 5．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 6．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得：，，联立方程利用韦达定理求，进而得出圆心及半径即可求解． 【详解】由题意知，焦点，则抛物线， 直线，设，， 联立消去y并整理得，则，所以 所以． 则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：． 7．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率______；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率______. 【答案】 【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为， 记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3” 三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故； 事件A的总情况数为 ， 记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”， 则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3， 可由如下步骤实线事件AB， 第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况， 第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况， 第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况， 由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为， 所以 故答案为：， 8．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________. 【答案】/ 【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 9．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____． 【答案】 0.82 0.398 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 10．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则_______________. 【答案】 /0.25 【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解. （2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次， 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布， 即，则； 正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为， 事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为. 则，，则. 故答案为：；. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $