27.3 第2课时 平面直角坐标系中的位似（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中的位似变换，通过复习位似图形概念、判定及画法，以“位似能否用坐标关系表示”的问题衔接旧知，搭建从图形直观到坐标规律的学习支架。 其亮点在于通过合作探究（如线段AB缩小、△AOC放大）引导学生观察坐标变化，归纳规律，培养几何直观与空间观念。典例精析和对比练习（如与平移、旋转等变换比较）强化推理意识，课堂小结系统梳理知识，帮助学生用数学语言表达变换关系，既提升学生探究能力，也为教师提供高效教学资源。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 相似三角形的性质 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 第2课时 平面直角坐标系中的位似 27.3 位 似 第二十七章 相 似 优翼九下数学教学课件（RJ） 复习引入 1. 两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都经 过同一个点，我们就把这两个图形叫做 ， 这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 2. 如何判断两个多边形是不是位似多边形? 位似图形 位似中心 相似比 (或位似比) 平行或者在一条直线上 导入新课 3 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (含中心对称). 那么，对于位似，是否也可以用两个图形上对应点的坐标之间的关系来表示呢？ 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩 小，观察对应点之间坐标的变化. 合作探究 新课讲授 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )， B' ( ， )； A" ( ， )， B" ( ， ). 2 1 2 0 －2 －1 －2 0 2. △AOC 三个顶点坐标分别为 A(4，4)，O(0，0)， C(5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化. A' C' A" C" o -8 8 2 4 4 6 -2 -4 -4 x y A 2 8 10 C -2 -6 -8 -10 -6 6 如图，把 △AOC 放大后 点 A，C 的对应点为 A' ( ， )， C' ( ， )； A" ( ， )， C" ( ， ). 8 8 10 0 －8 －8 －10 0 问题 1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形，可以作出几个？ 问题 2 如果所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作出两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，其 对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 k 倍． 归纳： 位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)， B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则 端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) 练一练 D x y A B C D O 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三 个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 1 : 3 例 1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)， B (－2，0)，O (0，0). 以 原点 O 为位似中心，画出 一个位似三角形使它与 △ABO 的相似比为 . 典例精析 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O －2 提示：画三角形关键是确 定它各顶点的坐标. 根据 前面的归纳可知，点 A 的 对应点 A′ 的坐标为 ， ，即(－3，6)，类似地，可以确定其 他顶点的坐标. 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0). A′ B′ 顺次连接点 A′，B′，O，所得的△A′B′O 就是要画的一个图形. 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O －2 还有其他画法吗？自己试一试. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 练一练 15 O C 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面直 角坐标系中描点 O (0， 0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，顺次连接 O，A'，B'，C'. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' C' －2 2 16 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ； 在平面直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2， －2)，顺次连接点 O， A″，B″，C″. O C y A B 2 4 6 －2 －4 4 6 x －2 2 －4 C″ B″ A″ 平面直角坐标系中的图形变换 至此，我们已经学习了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的边长均为 1 个单位长度） (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 在点C的左侧，以 C点 为位似中 心，将△ABC 放大为原来的 2 倍； (4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针 旋转180°． x y A B C O 练一练 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 当堂练习 2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位 似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则点 E 坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) A 3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 . (－2a，－2b) 22 4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积 是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 5. 如图，已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍． C 2 4 6 －4 x y A B 2 －2 B' A' C' A" B" C" O 解：如图所示，△ABC 和△A′B′C′ 即为所求． 6. 在 8×12 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). x y A B C (1) 以点 M 为位似中心，2 为位似比，画出 △ABC 的 位似图形 △A′B′C′； M A′ B′ C′ 解：如图所示. (2) 写出 △A′B′C′ 的各 顶点坐标. 解：A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4). O 7. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)， 点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得△A1O1B1， 则点 A1 的坐标为 ， △A1O1B1的面积为 ； (2，4) 8 (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180° 后得 △A2O2B2，则点 A2 的 坐标为 ； (－3，－4) 4 x y A B 4 3 O (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的 坐标为 ； (4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B4 在 x 轴负 半轴上，则点 A4 的坐标为 ，△A4O4B4的 面积为 . (3，－4) (－6，－8) 32 4 x y A B 4 3 O 8. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和 点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正 方形的位似中心的坐标是___________________． (1，0) 或 (－5，－2) 【分析】此时两个正方形位似，但未指明对应的点，因此需要分类讨论 拓展提升 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 课堂小结 $