27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“相似三角形的判定”第1课时，核心内容包括平行线分线段成比例基本事实、推论及相似三角形判定引理。通过复习相似多边形定义与相似比，以问题“△ABC与△A′B′C′相似需满足什么条件”衔接旧知，搭建学习支架。 其亮点在于以合作探究引导学生动手画平行线、度量线段、归纳比例关系，培养几何直观与抽象能力（数学眼光）。通过严谨证明相似三角形引理，发展推理意识（数学思维），结合“A型”“X型”模型及菱形、平行四边形实例，强化模型意识与应用意识（数学语言）。学生能在探究中理解知识，教师可借助系统小结提升教学效率。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 三边成比例的两个三角形相似 平行线分线段成比例 相似三角形的性质 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似 27.2.1 相似三角形的判定 第二十七章 相 似 第1课时 平行线分线段成比例 优翼九下数学教学课件（RJ） 复习引入 1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对 应边的比叫做 . 2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相等 成比例 相似比 A B C A′ B′ C′ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC 与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 3 平行线分线段成比例的基本事实 如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2 都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度. 合作探究 A C E B D F l4 l5 l1 l2 l3 (1) 计算 的值，它们相等吗？ 新课讲授 A C E B D F l4 l5 l1 l2 l3 (2) 任意平移 l5，重复上述操作，度量 AB，BC，DE，EF，同（1）中计算，它们还相等吗？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 归纳： 若 l3∥l4∥l5，则 ， ， ， A B C D E F l4 l5 l3 l2 l1 如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. D 练一练 A C E B D F l2 l1 l3 如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？ 平行线分线段成比例的推论 观察与思考 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 若把直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段. 若把图中的部分线条擦去，得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 若把直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段. 若把图中的部分线条擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 如图，DE∥BC， ，则 ； 若 FG∥BC， ，则 . 练一练 A B C E D F G 例 如图，在△ABC中，EF∥BC. (1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7， FC = 4，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解：∵ EF∥BC，∴ ∴ ， 解得 AF = 4. (2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长是多少？ 解：∵ EF∥BC，∴ ∴ ， 解得 AC = . ∴ FC = AC－AF = A B C E F 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则 AC = ；若 FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . A B C E D F G 练一练 7.5 6 由 ,可得到 CE 的长 可以通过 ，得到 AG 的长 如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. 问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？ 问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长， 它们的边长是否对应成比例？ B C A D E 判定相似三角形的引理 合作探究 我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽ △ABC，但要用相似的定义去证明它，我们 需要证明什么？ 问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要 DE∥BC，这个结论恒成立. B C A D E 想一想： 由所学的定理，我们可以证出哪些结论？还需证明什么？ 而除了 DE 外，其他的线段都在 △ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明 三角形相似，可以怎样做呢？ 由所学的定理可得 ，需要证明的是 可以将 DE 平移到 BC 边上去 B C A D E 证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A. ∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. C A B D E F 如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC. ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ ， ， 且四边形 DEFB 为平行四边形． ∴ DE = BF. ∴△ADE∽△ABC. ∴ 19 由此我们得到判定三角形相似的一个定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是_____. 1. 如图，已知 AB∥EF∥CD，则图中共 有___对相似三角形. 3 练一练 C D A B E F O 相似具有传递性 4︰3 3. 若 △ABC 的三条边长分别为 3 cm，5 cm，6 cm， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为 12 cm， 则 △A′B′C′ 的最大边长是_______. 24 cm 1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为 1 : 2，若 BC = 1，则 EF 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B C A E F D B 当堂练习 2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm， BE = 6 cm， BC = 4 cm，则 EF 的长为 ( ) A A B C E F A. 1 cm B. cm C. 2 cm D. 3 cm 3. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，则△_____∽△_____， 对应边的比例关系为 ＝ ＝ ADE ABC ____ ____． B C A D E 4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1 : 4；△A1B1C1 ∽△A2B2C2，相似比是 1 : 5．则 △ABC __ △A2B2C2 ， 其相似比为 . ∽ 1 : 20 5. 如图，在□ ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3， EF = 4，求 CD 的长． 解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， D A C B E F ∴ ，即 ， ∴△DEF ∽ △DAB. 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 6. 如图，已知菱形 ABCD 在 △AEF 内，且点 B，D 分别在 AE，AF 上，AE = 5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴ CD∥AB. ∴ 设菱形的边长为 x cm， 则 CD =AD = x cm，DF = (4－x) cm， ∴ ，解得 x = ∴菱形的边长为 cm. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. ◑判定相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. ◑基本事实 平行线 分线段成比例 课堂小结 29 29 $