26.2 第1课时 实际问题中的反比例函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过拉面小哥视频情境导入，从面团体积与面条长度、粗细关系引出函数关系，衔接反比例函数图象和性质，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以煤气储存室、卸货等生活化实例为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过解决“至少卸货量”等问题发展数学思维，用函数关系式表达实际问题体现数学语言。典例与练习结合，助学生掌握建模过程，提升应用意识，也为教师提供完整教学资源。

新知一览 反比例函数 实际问题与反比例函数 反比例函数 反比例函数的图象和性质 反比例函数 实际问题中的反比例函数 其他学科中的反比例函数 反比例函数的图象和性质的综合应用 26.2 实际问题与反比例函数 第二十六章 反比例函数 第1课时 实际问题中的反比例函数 优翼九下数学教学课件（RJ） 情境引入 请欣赏成都拉面小哥的“魔性”舞姿. 点击视频开始播放 → 导入新课 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？ 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？ 实际问题与反比例函数 例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 典例精析 新课讲授 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工 队施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 答：施工时应向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司 临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地， 储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? ≈ 666.67 (m²). 答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为约 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y xy = 6，且 x，y 均大于 0 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 升(1 升＝1 立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： (2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：把 d = 1 代入解析式，得 S = 3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S = 0.6 代入解析式，得 d = 5. 所以漏斗的深为 5 dm. d 例 2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度 = 货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，若全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t = 5 代入 ，得 方法总结：在函数相关的实际问题中，若要求“至多”、“至少”，可以利用函数的增减性来解决 . 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =12×5 = 60，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆 这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了 8 天后剩余的垃圾有 1200－8×60 = 720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6 = 120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是 120÷12 = 10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆). 例 3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6 = 480 (千米). 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt = 480， 整理得 (t ＞0). 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边长为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C xy = 2，xy = 4，且 x，y 均大于 0 当堂练习 2. 体积为 20 cm3 的滴胶做成圆柱体模型，圆柱的高 度 y (单位：cm) 与底面积S (单位：cm2)的函数关系 为 ，若要使做出来的圆柱体粗 1 cm2，则圆柱的高度是 cm. 20 3. A、B 两市相距 720 千米，一列火车从 A 市去 B 市. (1) 火车的速度 v (km/h) 和行驶的时间 t (h)之间 的函数关系是__________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于 ____________． 240 km/h 4. 某户现在有若干度电，现在知道：按每天用6度电计算，五个月(按150天计算) 刚好用完. 若每天的耗电量为 x 度，则这些电能维持 y 天. (1) y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：电的总量为 6×150 = 900 (度)， 根据题意有 (x＞0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 300 900 1 x y O 3 (3) 若每天节约 1 度，则这些电能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 1 度电， ∴ 每天的用电量为 6－1=5 (度)， ∴ 这些电能维持 180 天． 5. 小强家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： (2) 若小强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. (3) 如果小强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式，得 解得 t = 12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数解析式； 50 24 x(m) y(天) O 解： (x＞0). (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50 = 1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15) = 40 (天). 50 24 x(m) y(天) O (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少米？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 50 24 x(m) y(天) O 实际问题中的反比例函数 一般过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意点： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 课堂小结 $