20.1 第1课时 勾股定理（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该教案聚焦勾股定理的认识、证明与简单计算，通过《周髀算经》商高典故及方格纸面积探究活动导入，关联八年级三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于融合数学史与动手实践，借助赵爽拼图割补证明勾股定理，培养几何直观与空间观念（数学眼光），引导学生经历“猜想 - 验证 - 推理”过程发展推理意识（数学思维），例题与变式练习强化应用意识（数学语言），助力学生掌握数形结合方法，提升教师教学效率。

20.1　勾股定理及其应用 第1课时　勾股定理 1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理. 2.描述勾股定理，并能应用它进行简单的计算. 3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力. 重点：运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算. 难点：“数形结合”思想方法的理解和应用. 知识链接：在八年级上学期我们学习了三角形，回忆一下相关知识. 创设情境——见配套课件 探究点一：勾股定理的认识与证明 　　在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 　　商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，直角三角形的三边长分别为3，4，5，分別以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9＋16＝25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 满足 问题2：（教材P23探究） （1）如图，每个小方格的面积均为1，求正方形A1，B1，C1，A2，B2，A3，B3，C3的面积. 提示：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积. A1的面积＝1，B1的面积＝4，C1的面积＝5； A2的面积＝4，B2的面积＝9，C2的面积＝13； A3的面积＝9，B3的面积＝25，C3的面积＝34. （2）它们的面积之间有什么关系？ A1的面积＋B1的面积＝C1的面积； A2的面积＋B2的面积＝C2的面积； A3的面积＋B3的面积＝C3的面积. （3）以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，然后类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 归纳总结：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 阅读教材P24，25，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为　勾股定理　，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试. 请你补全下列证明勾股定理的一种方法. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c. 求证：a2＋b2＝c2. 证明：整个图形可以看作是边长为　c　的大正方形，它的面积为　c2　；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为　b－a　的小正方形组成，其面积为　4×ab＋（b－a）2　.所以可以得到等式：　4×ab＋（b－a）2＝c2　.化简，得　a2＋b2＝c2　. 探究点二：利用勾股定理进行计算 （教材P25例1）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB＝10. （2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝DF2－EF2＝172－152＝64，所以DE＝8. 【对应训练】教材P25练习. 1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，则AC的长为（　B　） A.10 B.12 C.13 D.24 2.长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线长是（　C　） A.6 B.7 C. D.8 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. （1）若a＝3，b＝4，则c＝　5　；（2）若a＝8，c＝17，则b＝　15　；（3）若a＝b＝1，则c＝　　. 第3题图 第4题图 4.[教材变式]如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，S3＝9，则S1＝　13　. 5.如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，a＞b.利用等面积法验证勾股定理. 解：∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S小三角形＋S小正方形＝4×ab＋（a－b）2， ∴c2＝4×ab＋（a－b）2. 整理，得2ab＋a2－2ab＋b2＝c2.∴c2＝a2＋b2. 6.求图中的Rt△ABC的面积. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得（x＋4）2＝36＋x2， 解得x＝.所以S△ABC＝×6×＝7.5. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $