23.1 一次函数的概念（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案围绕“一次函数的概念”展开，通过复习函数定义导入，结合登山气温变化、铁块质量计算等实际问题进行合作探究，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解一次函数意义及与正比例函数的联系。 以实际情境为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过典例精析和分层练习培养推理能力，强化模型意识，当堂反馈设计助力巩固知识，有效提升学生用数学语言表达和解决问题的能力。

第二十三章 一次函数 23.1 一次函数的概念 【素养目标】 1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式. 2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系. 3.会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题. 重点：一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式. 难点：从实际生活问题中建立一次函数模型. 【复习导入】 问题：什么是函数？ 【合作探究】 探究点：一次函数的概念 问题1：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温. 问题2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ （1） 铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm）的变化而变化. （2） 每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. （3） 一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化， （4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm）随x的变化而变化. 概念引入：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. [练一练] 1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (4) y＝－； (5) y＝ ； (6) y＝8x2＋x(1－8x). [归纳总结] 1. 判定一个函数是一次函数的条件： 2. 判定一个函数是正比例函数的条件： [典例精析] 例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2. (1) 当 m 为何值时，这个函数是一次函数? (2) 当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? [练一练] 2. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求 x＝2.5 时，y 的值． 例2 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm. （1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ [练一练] 3. 汽车油箱中原有油 50 升，如果汽车每行驶 50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的油量 y (单位：升)随行驶路程 x (单位：千米) 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？ 当堂反馈 1.下列函数中不是一次函数的是（　　） A.y＝x B.y＝2x－1 C.y＝ D.y＝1－0.5x 2.以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　） A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝ 3.某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共1000元，另外每册收取材料费4元，则总收费y与制作纪念册的册数x的函数关系式为　 　，该函数　 　（填“是”或“不是”）一次函数. 4.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系； （2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系； （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池内有水ym3. 5.[高频易错]已知关于x的函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3. （1）m取何值时，该函数是关于x的一次函数？ （2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？ 参考答案 【复习导入】 在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 【合作探究】 探究点：一次函数的概念 问题1：y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即y＝－6×2＋5＝－7（℃）. 问题2：在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为（1）m＝7.9V；（2）h＝0.5n；（3）m＝h－105；（4）y＝－5x＋50. 上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. [练一练]解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． [归纳总结] 1.① k 是常数，k ≠ 0；② x 的次数是 1. 2. ① k 是常数，k ≠ 0；② x 的次数是 1.③ b = 0. [典例精析] 例1 解：(1) 由题意可得 m－1≠0，解得 m≠1. 即 m≠1 时，这个函数是一次函数. (2) 由题意可得m－ 1≠0，1－m2 = 0，解得 m = －1. 即 m =－1 时，这个函数是正比例函数. [练一练]2.解：(1) 设 y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3.∴ y＝3(x－3). ∴ y＝3x－9，y 是 x 的一次函数． (2) 当 x＝2.5 时，y＝3×2.5－ 9＝－1.5． 例2 解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm. 因此，y关于x的函数解析式为y＝2x＋12. （2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22. 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm. [练一练] 3. 解：剩余油量 y 与行驶路程 x 的函数关系式为 y＝50－ 自变量 x 的取值范围是 0≤x≤. 函数 y＝50－ 是 x 的一次函数. 当堂反馈 1.　C　 2.　C　 3.　y＝4x＋1000　；　是　 4.解：（1）由题意，得y＝60x，y是x的一次函数，也是正比例函数. （2）由题意，得y＝πx2，y不是x的一次函数，也不是正比例函数. （3）由题意，得y＝5x＋15，y是x的一次函数，不是正比例函数. 5.解：（1）∵函数y＝（m＋1）x｜m｜＋n－3是关于x的一次函数，∴｜m｜＝1，m＋1≠0. ∴m＝1.∴当m＝1时，该函数是关于x的一次函数. （2）由（1）知m＝1，∵该函数是关于x的正比例函数，∴n－3＝0.∴n＝3.∴当m＝1，n＝3时，该函数是关于x的正比例函数. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $