第20章 综合与实践：利用勾股定理绘制图案（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案围绕勾股定理在图案绘制中的应用展开，通过欣赏配套课件视频中的图形导入，引导学生观察特点，结合“勾股树”绘制步骤及几何画板演示，搭建从具体图案到抽象原理的学习支架。 特色在于将勾股定理与图案创作结合，通过实践绘制提升几何直观和空间观念（数学眼光），探究过程培养推理意识（数学思维），当堂反馈题从基础关系到生长规律，发展应用意识（数学语言），配套视频和几何画板增强学习体验。

第20章 勾股定理 数学活动 利用勾股定理绘制图案 【素养目标】 1.理解勾股定理在图案绘制中的应用原理.(重点) 2.掌握利用勾股定理创作图案的方法。(难点) 3.提升数学审美与实践创新素养。 【情境导入】 欣赏配套课件视频中的图形，思考一下它有什么特点 【合作探究】 探究1：利用勾股定理绘制图案 探究 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案，下图中的图案均与勾股定理有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的“无限” 之美，这些图案是如何利用勾股定理绘制的呢？ 问题1: 图(1)是如何绘制的呢？ 图(1)形如一棵树，有人称之为“勾股树”，绘制这个图案，需要先画一个如图(2)所示的图形 再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个小正方形的上方，分别作出两个形状与图 (2) 相同的图形，如图 (3) 所示。如此重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图(1)的“勾股树”。 像上面这样，按照相同的方法画图，并在新生成的图形上多次重复这个过程，就形成一幅无限生长的树形图案。 观看配套课件几何画板文件：“勾股树” 探究点2: 图案的绘制逻辑 问题2: 你知道下图是如何利用勾股定理绘制的吗？ 当堂反馈 1. 如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则 ___________ (用含有 和 的式子表示三者之间的等量关系). 2. 如图以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作半圆等边三角形，这三个图形中面积关系满足_____________. 3. 如图所示， 分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为 ，直角三角形面积为 ，请判断 的关系并说明理由。 4. 有一个边长为 1 的正方形，经过 1 次 “生长” 后， 在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过 1 次这样的“生长”后，如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2 所示的“枝繁叶茂的勾股树”请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和。 参考答案 探究1：利用勾股定理绘制图案 问题2: 解：第1个直角三角形两直角边长分别是1和1, 以第 1个直角三角形的斜边作为直角边， 另一条外侧的直角边为 1，画出第 2 个直角三角形； 以第 2 个直角三角形的斜边作为直角边， 另一条外侧的直角边为 1, 画出第 3 个直角三角形， 第 1 个三角形的斜边长 , 第 2 个三角形的斜边长是 , 第 3 个三角形的斜边长是 , 第 个三角形的斜边长是 . 以此类推即可完成构图。 当堂反馈 1. 2. . 3. 解： . 理由如下： 4. 解：由勾股定理知：“生长”1 次，“生长” 出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和等于第一次“生长”出的四个正方形的面积和等于第一次 “生长” 出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为 3 ; 经过 次 “生长” 后形成的图形中所有正方形的面积和是 ; 经过2025 次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $