21.3.3 第1课时 正方形的定义与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“正方形的定义与性质”，通过复习矩形、菱形的形成过程导入，引导学生探究正方形定义，构建平行四边形、矩形、菱形与正方形间的知识脉络，搭建学习支架。 资料以探究式学习为主，通过观察、动手折纸等活动培养几何直观与空间观念，性质证明环节强化推理意识，典例及变式题分层设计提升分析解决问题能力，助力学生用数学思维理解特殊平行四边形关系，发展应用意识与创新意识。

第21章 四边形 21.3.3　正方形 第1课时　正方形的定义与性质 【素养目标】 1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系. 2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力. 3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力. 重点：正方形性质的理解及其应用. 难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系. 【复习导入】 前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？ 菱形是由什么图形怎样变化而来？ 【合作探究】 探究点1: 正方形的定义 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 归纳总结： 知识要点： 正方形的定义： 探究点2: 正方形的性质 归纳总结：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 探究：从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。 证一证： 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 思考：请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 对称性： . 对称轴： . 归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质： 典例精析 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证： △ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形. 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 变式题1：四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 变式题2 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF. 归纳：在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导. 练一练 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 3.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2， 求该正方形的周长与面积． 当堂反馈 1.▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝BC且AB⊥BC，则▱ABCD是(　　) A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.一般平行四边形 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)∠ABO＝　　°，∠AOB＝　　°； (2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝　　，对角线BD的长为　　； (3)图中共有　　个等腰直角三角形. 3.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为　 　. 第3题图 4.如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE，DE. (1)求证：AE＝DE； (2)求∠AED的度数. 参考答案 【合作探究】 探究点2: 正方形的性质 证一证： 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 典例精析 例1 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC = BD，AC⊥BD， ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°， AO = BO = CO = DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 例2 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°－75° = 15°. 变式题1： 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 变式题2 （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC，∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC －∠PBC =∠DCB －∠PCB，即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． （2）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD，即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP －∠DAC = 15°，∠BAP =∠DAB－∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． 例3 解:连接 PC，AC. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC. ∴ AP = PC. 又∵ PE⊥BC，PF⊥DC， ∴ 四边形 PECF 是矩形. ∴ PC = EF. ∴ AP = EF. 练一练1. B 2. D 3.解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 该正方形的周长为 4AD＝8，面积为 AD2＝8. 当堂反馈 1.　B 2.(1)　45　，　90　(2)　3　，　3　；(3)　8　 3.　22.5°　. 4.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵△BCE是等边三角形， ∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°. ∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB. ∴∠ABE＝∠DCE. 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(SAS). ∴AE＝DE. (2)解：由(1)得∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°. 又AB＝BC＝BE， ∴∠BEA＝∠BAE＝(180°－∠ABE)＝75°. 同理∠CED＝75°. 又∠BEC＝60°， ∴∠AED＝360°－∠AEB－∠BEC－∠CED＝150°. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $