20.1 第1课时 勾股定理（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“勾股定理”，引导学生认识定理、探索证明过程并应用计算。课堂导入从直角三角形角的关系出发，提出边的特殊关系问题，搭建旧知到新知的学习支架，自然过渡到定理探究。 资料以合作探究为核心，通过拼图活动（如赵爽弦图）和分割、补形等证明方法，培养学生几何直观与空间观念，发展推理能力。典例精析、分层练一练及当堂反馈设计，强化模型意识与应用意识，助力学生掌握定理并提升运算能力，适合课堂教学与自主学习。

第20章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理 【素养目标】 1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点) 2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点) 3.通 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点) 【复习导入】 思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 【合作探究】 探究点1：勾股定理的认识与证明 在《周牌算经》的开篇，商高(约公元前 11 世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积。 商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分别为 3, 4, 5, 分别以这三边为边向外作正方形， 所得正方形的面积分别为_________，_________， 且它们的数量关系是__________________， 从边的角度看， 这个直角三角形的三边满足： ____________________________________________. 问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 问题2: (1)如图，每个小方格的面积均为1, 求正方形 的面积。 这两幅图中 , 的面积都好求，该怎样求 的面积呢？ 方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形。 方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。 方法三：将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色(或绿色)可拼成一个小正方形。 (2) 它们之间的面积有什么关系？ (3) 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形， 类似地作出三个正方形， 这三个正方形的面积有什么关系？ 由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 【归纳总结】 可以发现， 以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和， 等于以斜边为边的正方形的面积。 由此我们猜想： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 , 斜边长为 ， 那么 . 证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图， 再用所拼的图形证明命题吧。 【典例精析】 例1 请你补全下列证明勾股定理的一种方法。 已知：在中，， ， ， 的对边分别为 . 求证： . 证明： 整个图形可以看作是边长为 ______ 的大正方形， 它的面积为 ______ ；也可以看作由四个全等的直角三角 形和一个边长为 ______ 的小正方形组成， 其面积为 ____________ . 所以可以得到等式： ________________________ . 化简，得 __________________ . 勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 ， 斜边长为 ，那么 . 几何语言： 在Rt 中， , . 公式变形： 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是 以此图为原型设计的。在西方，人们称勾股定理为毕达 哥拉斯定理。 探究点2：利用勾股定理进行计算 例2 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长。 【练一练】 1. 求下列图中未知数 的值： 【练一练】 2.在 Rt 中， . (1) 若 ， ，求 ； (2) 若 ， ，求 ， . 3.在Rt 中， ，求 的长。 当堂反馈 1. 在 中， ， ， ，则 的长为 ( ) A. 10 B. 12 C. 13 D. 24 2. 长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线长是( ) A. 6 B. 7 C. D. 8 3. 如图，在Rt 中， . (1)若 ，则 _____； (2)若 ，则 _____； (3)若 ，则 _____. 4. [教材变式]如图，以Rt 的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为 ， ， ，若 ，则 . 5. 如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为 , 斜边长为 . 利用等面积法验证勾股定理。 6. 求图中的Rt 的面积。 参考答案 探究点1：勾股定理的认识与证明 例1 证明： ; ， . . 探究点2：利用勾股定理进行计算 例2 解：(1)在 中，根据勾股定理， ，所以 . (2) 在 Rt 中，根据勾股定理， ， 从而 ，所以 . 【练一练】 1. 左图： 解： 由勾股定理可得 , 解得 . 右图 解： 由勾股定理可得解得 . 2. 解： (1) 设 ，根据勾股定理建立方程得 ，解得 , . (2) . 因此设 ，根据勾股定理建立 方程得 ，解得 . 3. 解： 本题斜边不确定， 需分类讨论： 当 为斜边时，如图①, ; 当 为斜边时，如图②, . 当堂反馈 1. B. 2. C. 3. (1) ; (2) 15 ; (3) . 4. . 5. 解 .整理，得 . . 6. 解：在Rt 中，由勾股定理得 , 解得 . 所以 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $