19.1 第2课时 二次根式的性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“二次根式的性质”，引导学生理解双重非负性及√a²=a(a≥0)、√a²=|a|等核心性质。课堂以“数字猜猜猜”游戏导入，通过猜二次根式的值激活旧知，为性质探究搭建认知支架。 资料突出探究式学习特色，以问题链引导学生推导性质，培养推理意识。结合数轴、三角形边长等情境化例题，助力学生用数学语言表达现实问题，对比表格明晰概念差异，有效提升数学思维与应用能力。

第19章 二次根式 19.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质 【素养目标】 1. 理解二次根式的三个性质和.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简。(重点) 2. 通过对 的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论 , 感受数学知识的内在联系。(难点) 3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐。 【情境导入】 数字猜猜猜 游戏规则：老师在心里想一个二次根式，比如 ，提示信息：这个二次根式的值是一个整数，大家来猜一猜 可能是哪些数。 如： 这个二次根式的值是 2 , 同学们猜 是多少？ 如： 这个二次根式的值是 4 , 同学们猜 是多少？ 如： 这个二次根式的值是 0.3 , 同学们猜 是多少？ 【合作探究】 探究点1: 问题1: 当 时， 表示什么含义？其数值有什么特点？ 【归纳小结】 二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根。对于任意一个二次根式 ，我们知道： (1) 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 ； (2) 表示一个数或式的算术平方根，可知 . 二次根式 的双重非负性 二次根式的被开方数或式非负，二次根式的值非负 问题2: 我们还学过哪些非负数？ 【典例精析】 例1 已知实数 满足 , 则_____， _____. 【练一练】 1. 已知 ，则 的值为________. 2. 若 ，则 的值为_________. 探究点2: 问题3: 根据算术平方根的意义填空： 【知识要点】 一般地， . 注意：不要忽略 这一限制条件。 这是使二次根式 有意义的前提条件。 可以是数，也可以是式。 例2 计算： (1) ; (2) . 【练一练】 3. 计算： (1) ; (2) . 探究点3: 问题4: 填空： 【拓展】当 时， ； 【知识要点】 一般地，根据算术平方根的意义： 即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身。 【思考】 当为任意实数时， 都有意义。如果上式中的为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 问题5: 填空： 【知识要点】 问题6: 如果 是任意实数，那么如何化简 ? 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 例3 化简： ; (2) . 【练一练】 4. 计算： (1) ; (2) . 例4 实数 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： . 例5 已知 是 的三边长，化简： 议一议：如何区别 与 ? 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 意义 当堂反馈 1. 化简 的结果是( ) A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9 2. 用一个的值说明“ ”是错误的，则的值可以是( ) A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 3. 若 ，则 . 4. (1)若 ，则的取值范围是 ; ( 2 )若 ，则的可能取值为 (请写出一个符合条件的无理数). 5. 计算： (1) ; (2) ; (3) (4) . 6. 已知实数在数轴上的对应点如图所示， 化简： . 参考答案 探究点1: 问题1: 当 时， 表示 的算术平方根，因此 ; 当 时， 表示 0 的算术平方根，因此 ; 所以当 时， , 即当 是非负数时， 也是非负数。 问题2: 答： 一个数的绝对值； 一个数的偶次幂。 例1 分析： , . . 【练一练】 1. 2 2. 3 探究点2: 问题3: 分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数。 因此， . 同理， 分别是 ，的算术平方根。 因此， . 例2 解： (1) . (2) . 【练一练】 3. 解： (1) ; (2) . (3) . 探究点3: 问题4: 【拓展】当 时， ； 问题5：填空： 猜想： 当 时， 证明： ，则 . 问题6: 例3 解： ;(2) . 【练一练】 4. 解： (1) ;(2) ; (3) ; (4) . 例4 解： 由数轴可知 , 原式 例5 议一议： 从运算顺序看 先开方，后平方 先平方， 后开方 从取值范围看 取任何实数 从运算结果看 | a | 意义 表示一个非负数 的算术平方根的平方 表示一个实数 的平方的算术平方根 当堂反馈 1. B. 2. C. 3. 5. 4. (1) ; (2) — (答案不唯一) 5. (1) 原式 (2)原式 . (3)原式 . (4) 原式 . 6. 解： 由数轴可得 ，故原式 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $