第19章 综合与实践：纸张规格的奥秘（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件围绕“纸张规格的奥秘”，系统梳理二次根式在实际中的应用，通过情境导入、数据计算、折叠推导等环节，构建“观察生活现象-探究长宽比值-证明折叠规律”的知识网络，串联起√2:1比值的发现与应用。 其亮点在于以生活纸张为载体，引导学生用数学眼光观察现实，通过测量书本长宽、折叠实验等活动发展推理能力，如推导折叠后长方形比值不变的证明过程，结合分层练习（基础计算、实际估算），帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

综合与实践： 纸张规格的奥秘 第十九章 二次根式 人教版 八年级(下) 1. 探究纸张长与宽比值规律及折叠后长方形特征. (重点) 2. 推导折叠后长方形长与宽比值并证明.(难点) 3.经历观察、计算、分析、归纳等活动过程，培养探究能力和逻辑思维能力. 4.通过数学活动，感受数学与生活的紧密联系，培养应用意识与创新思维. 素养目标 观察：打印机里的纸张是多大的呢？教科书与课外读物的长与宽是固定的吗，它们之间有什么关系呢？ 情境导入 情境导入 例1 在探索纸张规格的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到 A1，A2，A3，A4，A5，B1，B2，B3，B4，B5 纸的长和宽的数据如下表所示，试猜想 A 型纸和 B 型纸的长与宽的比. A 型 宽×长 A5 148×210 A4 210×297 A3 297×420 A2 420×594 A1 594×841 B 型 宽×长 B5 182×257 B4 257×364 B3 364×515 B2 515×728 B1 728×1030 探究1：计算纸张长与宽的比值 新知探究 A 型 宽×长 A5 148×210 A4 210×297 A3 297×420 A2 420×594 A1 594×841 B 型 宽×长 B5 182×257 B4 257×364 B3 364×515 B2 515×728 B1 728×1030 解：420÷297≈1.414，594÷420≈1.414，······， 所以 A 型纸的长与宽的比约为 ：1. 515÷364≈1.415，728÷515≈1.414，······， 所以B 型纸的长与宽的比值约为 ：1. 探究1：计算纸张长与宽的比值 新知探究 操作2：测量教科书与课外读物的长与宽，看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系. 探究1：计算纸张长与宽的比值 新知探究 归纳总结：发现各规格纸张长与宽比值接近 ，同一类型 (A 型、B 型) 纸张，长与宽比值基本一致，且相邻规格纸张，大规格长、宽分别是小规格宽、长的一定倍数 (如 A4 长 297 是 A5 宽 148 的约 2 倍，A4 宽 210 等于 A5 长)，测量书本等纸张，验证多数符合此规律. 探究1：计算纸张长与宽的比值 新知探究 探究2：沿中点连线折叠后长方形长与宽比值 A B C D E F 解： ，所以长方形 ABFE 仍为长与宽比值为 的长方形，即沿长边中点连线折叠，长与宽的比值不变. 例2 已知长方形 ABCD 长与宽的比值为 ， 设AB＝a，AD＝ a，E、F 分别是 AD、BC 的中点，求长方形ABFE 的长 (AB＝a)、宽 (AE＝ a) 比值，判断是否为 . 新知探究 探究点3：折叠两次后长方形长与宽的比值 例3 设原长方形 ABCD 的长 AD＝ x，宽 AB＝x，按下图折叠，折痕分别为 AE，EI，推导长方形 GHID的长、宽，计算比值，判断是否为 . 解：由折叠可知，AB＝AG＝x， 所以 GD＝AD－AG＝AD－AB＝ x－x. 所以 DI＝CD－IC ＝x－(x－x)＝2x－x. 所以 所以长方形GHID的长、宽比值还是. E 新知探究 纸张规格奥秘 生活联系：书本等纸张验证 比值计算，多数为 折叠探究 中点连线折叠，比值不变 图③方式折叠，比值不变 当堂反馈 1. 如图，把两个边长为 1 的小正方形沿对角线剪开，所得的 4 个直角三角形拼成一个面积为 2 的大正方形. 以一个小正方形为例，可以得到一般结论：正方形的对角线与边长的比为 . A B C D 当堂反馈 2.按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中 A0 纸的面积为 1 平方米，将 A0 纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将 A1 纸沿长边对折、剪开，便成 A2 纸；将 A2 纸沿长边对折、剪开，便成 A3 纸；将 A3 纸沿长边对折、剪开，便成 A4 纸，···，现将一张 A4 纸按下图所示的方式进行两次折叠(折痕分别是 AB 和 AE )，观察发现点 B 恰好与点 C 重合，求 A4 纸的长、宽的比. 当堂反馈 解：设 A4 纸的长为 m，宽为 n. 第一次折叠形成一个正方形，所以 AB＝n； 第二次折叠得到 AB＝AC＝m. ∴n＝m. ∴. ∴A4 纸的长宽的比为 1. 当堂反馈 3. 已知 A0 纸的长、宽之比是 ∶1，面积为 1 平方米.估算A0纸的长与宽分别是多少毫米？ (结果取整数， ≈1.414，≈8.4083，≈8.1) 解：因为 A0 纸的长、宽之比是∶1，设 A0 纸的宽为 x 毫米，长为 x 毫米. 因为 A0 纸的面积1 平方米1000 000 平方毫米， 所以 x·x1000 000，解得 x≈841. 所以 ×841≈1 189. 答：A0 纸的长是 1 189 毫米，宽是 841 毫米. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $