第19章 二次根式 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件系统梳理了二次根式的概念、性质、运算及应用，通过知识要点清单将二次根式的定义、性质（如(√a)²=a、√a²=|a|）、最简二次根式条件、加减乘除法则等核心内容串联，结合考点分类例题构建知识网络。 其亮点在于融合分类讨论、整体思想等解题策略，如例8分情况化简根式培养推理意识，例5用二次根式解决纸盒侧面积问题发展模型意识。设计基础练一练、综合例题、思想方法拓展的分层练习，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

小结与复习 第十九章 二次根式 人教版 七年级(上) 1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即 a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 知识要点 2．二次根式的性质： 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根式． (1)被开方数中不含_______； (2)被开方数中不含能__________的因数或因式． 开得尽方 分母 知识要点 4．二次根式的乘除法则： 乘法： ＝______(a≥0，b≥0)； 除法： ＝____ (a≥0，b＞0) 被开方数相同 最简二次根式 5．二次根式的加减： 类似合并同类项 逆用也适用. 可以先将二次根式化成_____________， 再将________________的二次根式进行合并． 知识要点 4 注意平方差公式与完全平方公式的运用！ 6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 知识要点 解：(1) 由题意得 例1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围： (3) ∵ (a + 3)2≥0，∴ a 为全体实数. (4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1. 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 考点讲练 【方法总结】求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ① 被开方数大于或等于零； ② 被开方数的分母中有字母时， 要保证分母不为零. 1.下列各式： 中，一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 【练一练】 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 考点讲练 2. 求下列二次根式中字母的取值范围： 解得 -5≤x＜3. 解：(1) 由题意得 ∴ x = 4. (2) 由题意得 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 考点讲练 例2 若 求 的值. 解：∵ ∴ x - 1 = 0，3x + y - 1 = 0，解得 x = 1，y = -2. 则 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0. 考点二 二次根式的性质 考点讲练 初中阶段主要涉及三种非负式： ≥0，| a |≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一. 【方法总结】 考点二 二次根式的性质 考点讲练 例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简： b a 0 解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0， ∴ ∴ 原式= - a - (-a ) + b = b. 解析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 考点二 二次根式的性质 考点讲练 4. 若 1< a < 3，化简 的结果 是 . 2 3.若实数 a，b 满足 则 . 1 5. 将下列各数写成一个非负数的平方的形式： 【练一练】 考点二 二次根式的性质 考点讲练 考点三 二次根式的运算及应用 例4 计算： 解： 考点讲练 二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算. 【方法总结】 考点三 二次根式的运算及应用 考点讲练 例5 把两张面积都为 18 的正方形纸片各剪去一个面积为 2 的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）． 解： 考点三 二次根式的运算及应用 考点讲练 8. 计算： 解：(1) 原式 (2) 原式 6.下列运算正确的是 （　　） C 7. 若等腰三角形底边长为 ，底边的高为 ，则三角形的面积为 . 【练一练】 考点三 二次根式的运算及应用 考点讲练 9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中 v 是车速(单位：千米/时)，d 是汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f 是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20 米，f =1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度． 解：根据题意得 (千米/时)． 答：肇事汽车在出事前的速度是 千米/时． 考点三 二次根式的运算及应用 考点讲练 例6 先化简，再求值： ，其中 . 解： 当 时，原式 解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可. 考点四 二次根式的化简求值 考点讲练 例7 有这样一道题：“计算 的值，其中x=2026”.小卿把“x=2026”错抄成“x=2062” ，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？ 解：∵ ∴ 无论 x 取何值，原式的值都为 -2. 考点四 二次根式的化简求值 考点讲练 10. 先化简，再求值： ，其中 解：原式 当 时，原式 考点四 二次根式的化简求值 考点讲练 考点五 本章解题思想方法 分类讨论思想 例8 已知 a 是实数，求 的值. 解： 分三种情况讨论： 当 a≤-2 时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]= -a-2+a-1= -3； 当 -2＜a≤1 时，原式= (a + 2) + (a - 1) = 2a + 1； 当 a＞1 时，原式= (a + 2) - (a - 1) = 3. 考点讲练 整体思想 例9 已知 ，求 的值. 解：∵ ∴ 考点讲练 例10 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索： 设 (其中 a、b、m、n 均为整数)，则有 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 类比思想 考点讲练 (1) 当 a、b、m、n 均为正整数时，若 ，用含 m、n 的式子分别表示 a，b，得 a = ；b = ； (2) 利用所探索的结论，用完全平方式表示出： (3) 请化简： m2 + 3n2 2mn 解： 考点讲练 加、减、乘、除运算 二次根式 性质 最简二次根式 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) $