20.1 第1课时 勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦勾股定理的探索、证明及应用，通过复习直角三角形角的关系引出边的特殊关系，搭建从已知到未知的学习支架，衔接新知探究。 其亮点在于融合《周髀算经》历史背景与赵爽拼图证明，通过割补拼法、网格面积探究培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。结合分类讨论、方程思想应用，帮助学生形成逻辑思维，提升解决问题能力，教师可高效开展定理教学与素养培养。

20.1 勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理 第二十章 勾股定理 人教版八年级(下) 1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点) 2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点) 3. 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点) 素养目标 思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢? 复习导入 在《周牌算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为 ， ， ， 且它们的数量关系是 ， 从边的角度看， 这个直角三角形的三边满足： . 问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 探究点1：勾股定理的认识与证明 3 4 5 9 16 25 9＋16＝25 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 新知探究 问题2：(1) 如图，每个小方格的面积均为 1，求正方形 A1，B1，C1 ， A2，B2，C2 ，A3，B3，C3 的面积. 这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？ 探究点1：勾股定理的认识与证明 A1 B1 C1 B2 A2 C2 B3 A3 C3 新知探究 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 A1 的面积＝1，B1 的面积＝4，C1 的面积＝5； A2 的面积＝4，B2 的面积＝9，C2 的面积＝13； A3 的面积＝9，B3 的面积＝25，C3 的面积＝34. 探究点1：勾股定理的认识与证明 A1 B1 C1 B2 A2 C2 B3 A3 C3 新知探究 (2) 它们之间的面积有什么关系？ A1 的面积＋B1 的面积＝C1 的面积； A2 的面积＋B2 的面积＝C2 的面积； A3 的面积＋B3 的面积＝C3 的面积. (3) 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 【归纳总结】 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2. 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 a b b c a b c a 证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 所以可以得到等式： . 证明：整个图形可以看作是边长为 的大正方形，它的面积为 ； 例1 请你补全下列证明勾股定理的一种方法. 已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB 的对边分别为 a，b，c. 求证：a2＋b2＝c2. 也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为 的小正方形组成， 其面积为 . 化简，得 . c c2 b－a a2+b2=c2 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 几何语言： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴a2 + b2 = c2. a b c 公式变形： 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的. 在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 探究点1：勾股定理的认识与证明 新知探究 例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长. 解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB²＝AC²＋BC²＝8²＋6²＝100， B 6 8 A C E D F 15 17 所以 AB＝10. (2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE²＋EF²＝DF²， 从而 DE²＝DF²－EF²＝17²－15²＝64， 所以 DE＝8. (1) (2) 探究点2：利用勾股定理进行计算 新知探究 【练一练】1. 求下列图中未知数 x，y 的值： 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15. 解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5. 新知探究 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ； (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 【练一练】2.在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. 解： (1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52， 解得 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152， 解得 归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. (2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a. 新知探究 【练一练】3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当 AB 为斜边时，如图①， 当 BC 为斜边时，如图②， 4 3 A C B 4 3 C A B 图① 图② 归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 新知探究 勾股定理 三边关系 勾股定理 a2 + b2 = c2 特例猜想 网格验证 拼图证明 符号语言： 在Rt△ABC 中， ∠C = 90°， ______________ a b c 新知探究 1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9， 则AC的长为(　B　) A. 10 B. 12 C. 13 D. 24 2. 长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线 长是(　C　) A. 6 B. 7 C. D. 8 B C 当堂反馈 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 第3题图 (1)若a＝3，b＝4，则c＝ ⁠； (2)若a＝8，c＝17，则b＝ ⁠； (3)若a＝b＝1，则c＝ ⁠. 5　 15　 　 当堂反馈 4. [教材变式]如图，以Rt△ABC的三边为边，分别 向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若 S2＝4，S3＝9，则S1＝ ⁠. 第4题图 13　 当堂反馈 5. 如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的一个 正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，a＞b.利用等面积法验证勾股定理. 解：∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S小三角形＋S小正方形 ＝4× ab＋(a－b)2， ∴c2＝4× ab＋(a－b)2. 整理，得2ab＋a2－2ab＋b2＝c2. ∴c2＝a2＋b2. 当堂反馈 6. 求图中的Rt△ABC的面积. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得(x＋4)2＝36＋ x2， 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得(x＋4)2＝36＋x2， 解得x＝ . 所以S△ABC＝ ×6× ＝7.5. 解得x＝ . 所以S△ABC＝ ×6× ＝7.5. 当堂反馈 $