10.1二元一次方程（巩固练习） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 10.1二元一次方程 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列等式中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝1 B．y＝3x﹣1 C． D．x2+x﹣3＝0 【例2】把方程写成用含的式子表示y的形式为（    ） A． B． C． D． 【例3】把改写：用含的式子表示，得 ；用含的式子表示，得 ． 【例4】若是二元一次方程，则 ． 【例5】已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【例6】七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本共花60元，每支钢笔的价格为5元，每本笔记本的价格为3元．设买钢笔x支、笔记本y本． （1）列出关于x、y的方程； （2）用列表格的方式，列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况． 【举一反三】 【变式1】下面4组数值中，二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2 【变式3】若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【变式4】当m取每一个不同值时，关于x、y的二元一次方程都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，这个公共解是 ． 【变式5】若方程是二元一次方程，试求的值． 【变式6】已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程． （1）k为何值时，方程为一元一次方程？ （2）k为何值时，方程为二元一次方程？ 【巩固练习】 1.下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x﹣2y＝z B．x+y＝2 C．+4y＝6 D．x2﹣x＝0 2.若3xm﹣2﹣2y＝1是二元一次方程，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3.已知方程是关于x的二元一次方程，则m的值是（ ） A．0 B．1 C．1 D．0或1 4.若是方程的解，则的值是（  ） A． B． C． D． 5.小明计划用21元钱购买、两种笔记本，种每个3元，种每个2元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 6.若一个二元一次方程的解是，则这个方程可以是 ． 7.下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 8.已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 9.现有1元的人民币x张，5元的人民币y张，共120元，这个关系用方程可以表示为 　 　． 10.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的数值相等，那么的值为 ． 11.哪些是二元一次方程？为什么？ （1） x2＋y＝20； （2）2x＋5＝10； （3）2a＋3b＝1； （4）x2＋2x＋1＝0； （5）2x＋y＋z＝1. 12.若方程组是二元一次方程组，求a的值． 13.若是方程的解，求的值． 14.已知是关于x，y的二元一次方程的解． （1） ． （2） （用含m的代数式表示）． 15.【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列等式中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝1 B．y＝3x﹣1 C． D．x2+x﹣3＝0 【答案】B 【例2】把方程写成用含的式子表示y的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【例3】把改写：用含的式子表示，得 ；用含的式子表示，得 ． 【答案】 【例4】若是二元一次方程，则 ． 【答案】1 【例5】已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【答案】由题意可得：且，且， 解得． 【例6】七年级（1）班为了奖励优秀学生，购买钢笔和笔记本共花60元，每支钢笔的价格为5元，每本笔记本的价格为3元．设买钢笔x支、笔记本y本． （1）列出关于x、y的方程； （2）用列表格的方式，列出所买的钢笔支数、笔记本本数的所有可能情况． 【答案】解：（1）根据题意，得5x+3y＝60； （2）满足条件的x、y的值如下表所示： 【举一反三】 【变式1】下面4组数值中，二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式2】已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2 【答案】A 【变式3】若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【变式4】当m取每一个不同值时，关于x、y的二元一次方程都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，这个公共解是 ． 【答案】x＝，y＝ 【变式5】若方程是二元一次方程，试求的值． 【答案】∵方程是二元一次方程， ∴，，n＋1＝1， ∴m＝−3，n＝0． 【变式6】已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程． （1）k为何值时，方程为一元一次方程？ （2）k为何值时，方程为二元一次方程？ 【答案】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴ 或 ∴解得k=-2或k=6． ∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程． （2）解：∵方程是二元一次方程， ∴ ∴解得k≠-2且k≠6． ∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程． 【巩固练习】 1.下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x﹣2y＝z B．x+y＝2 C．+4y＝6 D．x2﹣x＝0 【答案】B 2.若3xm﹣2﹣2y＝1是二元一次方程，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 3.已知方程是关于x的二元一次方程，则m的值是（ ） A．0 B．1 C．1 D．0或1 【答案】B 4.若是方程的解，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 5.小明计划用21元钱购买、两种笔记本，种每个3元，种每个2元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 6.若一个二元一次方程的解是，则这个方程可以是 ． 【答案】x+y=1（答案不唯一） 7.下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 【答案】③ 8.已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】10 9.现有1元的人民币x张，5元的人民币y张，共120元，这个关系用方程可以表示为 　 　． 【答案】x+5y＝120 10.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的数值相等，那么的值为 ． 【答案】4 11.哪些是二元一次方程？为什么？ （2） x2＋y＝20； （2）2x＋5＝10； （3）2a＋3b＝1； （4）x2＋2x＋1＝0； （5）2x＋y＋z＝1. 【答案】(3)是二元一次方程，理由是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 12.若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】∵方程组是二元一次方程组， ∴ 且a﹣3≠0， ∴a=﹣3． 13.若是方程的解，求的值． 【答案】∵是方程的解， ∴， ∴． 14.已知是关于x，y的二元一次方程的解． （1） ． （2） （用含m的代数式表示）． 【答案】 （1）将代入方程 得 ∴方程变形得 故答案为：； （2）由①得 ∴ 故答案为： 15.【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】 （1）∵, ∴, ∵均为正整数, ∴，； （2）解：∵， ∵, ， 又∵ ∴, ∴, ∵二元一次方程有且只有一个正整数解， ∴； 设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意， 可得即， ∵均为正整数, 设（k为正整数），则 ， ， ， 不能为整数， 故原方程无正整数解． ∴吴老师的判断正确． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $