专题03 中考数学配方法的十种应用 -2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题03 中考数学配方法的十种应用 类型一 判断代数式的正负 1．（2025春•临川区月考）不论x，y为何实数，x2+y2﹣4x﹣2y+8的值总是（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【分析】利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：x2+y2﹣4x﹣2y+8 ＝x2﹣4x+4+y2﹣2y+1+3 ＝（x﹣2）2+（y﹣1）2+3， ∵（x﹣2）2≥0，（y﹣1）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y﹣1）2+3≥3， ∴x2+y2﹣4x﹣2y+8的值总是正数， 故选：A． 【点睛】本题考查的是配方法，正确完全平方公式、正确理解偶次方的非负性是解题的关键． 2．已知x为任意有理数，则多项式﹣1+xx2的值为（　　） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0 【分析】把多项式变形为﹣（）2后，再根据平方数非负数，所以原多项式小于等于0，即不可能为正数． 【解答】解：﹣1+xx2＝﹣（）2． ∵（）2≥0， ∴﹣（）2≤0， 即﹣1+xx2≤0， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式变形就可以很直观明了地得到答案． 3．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（　　） A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数 C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关 【分析】利用配方法将2x2+4x+5进行配方，再利用非负数的性质得出答案． 【解答】解：∵2x2+4x+5＝2（x2+2x+1）﹣2+5＝2（x+1）2+3≥3， ∴原式一定为正数． 故选：A． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型二 比较大小 4．（2025春•招远市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 【分析】求出M﹣N的结果，再判断即可． 【解答】解：根据题意，可知M﹣N＝m2﹣2m﹣6m+25＝m2﹣8m+16+9＝（m﹣4）2+9＞0， 所以M＞N． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 5．（2024秋•巴东县期末）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 【分析】利用作差法即可得出答案． 【解答】解：M﹣N＝（4a2﹣4a+3）﹣（3a2﹣1） ＝4a2﹣4a+3﹣3a2+1 ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2， ∵（a﹣2）2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2025秋•遂平县期末）已知实数a、b满足等式x＝a2+b2+20，y＝a（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y 【分析】计算x﹣y的值，利用配方和非负数的和不小于0，综合得结论． 【解答】解：∵x﹣y ＝a2+b2+20﹣a（2b﹣a） ＝a2+b2+20﹣2ab+a2 ＝（a﹣b）2+a2+20． 又∵（a﹣b）2≥0，a2≥0， ∴（a﹣b）2+a2+20＞0． 即x＞y． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数大小的比较、配方法和非负数和的应用等知识点．计算x﹣y的值并判断结果的正负是解决本题的关键．比较两个数的大小可以通过减法．当两个数相减大于0时，被减数大于减数；当两个数相减等于0时，被减数等于减数；当两个数相减小于0时，被减数小于减数． 类型三 配方变形及求字母的值 7．（2025秋•绵阳期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝﹣5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5 【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x+9＝4+9， （x﹣3）2＝13． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是关键． 8．（2024秋•川汇区期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x+b）2﹣1，则a+b的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据完全平方公式把原式变形，再根据题意求出a、b，计算即可． 【解答】解：x2﹣4x+a ＝x2﹣4x+4﹣4+a ＝（x﹣2）2+a﹣4， 由题意得：b＝﹣2，a﹣4＝﹣1， 解得：a＝3，b＝﹣2， 则a+b＝3﹣2＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 类型四 配方法求字母的值 9．（2025秋•龙海区期中）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣6y＝2+m，2y2+4xy+13＝2﹣m，则m的值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【分析】将两个方程相加消去m，并通过配方法得到关于x和y的完全平方形式，从而求出x和y的值，再代入原方程求解m，通过相加消元并配成完全平方． 【解答】解：两式相加可得：x2﹣2xy﹣6y+2y2+4xy+13＝4， 整理可得：x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0， ∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0， ∵（x+y）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴x+y＝0且y﹣3＝0， 解得：x＝﹣3，y＝3， ∴（﹣3）2﹣2×（﹣3）×3﹣6×3＝2+m， 解得：m＝7， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用，完全平方公式的应用，利用非负性求出变量值，是解决此类问题的常用方法． 10．（2025春•东台市期中）阅读下面材料： 在第九章的学习中，我们认识了完全平方公式，即（a±b）2＝a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式． 把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫做配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆用，即a2±2ab+b2＝（a+b）2． 例如：对于x2﹣2x+4配方 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3 ②选取二次项和常数项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x或x2﹣2x+4＝x2+4x+4﹣6x＝（x+2）2﹣6x ③选取一次项和常数项配方：x2﹣2x+4（）2 根据上述材料，解决下列问题： （1）把4x2+1配成一个完全平方式，请你添加一单项式，使它成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是　4x （只需添加一个你认为正确的结论）； （2）写出x2+4x+9的两种不同配方形式； （3）若4x2+y2﹣4x+6y+10＝0，求x、y的值． 【分析】（1）将4x2+1写成（2x）2+12可知需配上2•（2x）•1即4x； （2）可分别选取二次项和一次项、选取二次项和常数项配方； （3）将10拆成1+9后4x2﹣4x+1、y2+6y+9构成完全平方式，根据非负数性质可得x、y的值． 【解答】解：（1）4x2+1＝（2x）2+2•（2x）•1+12＝（2x+1）2， 故添加的单项式可以为：4x； （2）①选取二次项和一次项配方：x2+4x+9＝x2+4x+4+5＝（x+2）2+5； ②选取二次项和常数项配方：x2+4x+9＝x2+6x+9﹣2x＝（x+3）2﹣2x； （3）由题意得：（2x﹣1）2+（y+3）2＝0， ∴2x﹣1＝0，y+3＝0， 解得：x，y＝﹣3． 故答案为：（1）4x． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的构成特点是解题的关键． 类型五 用配方法求代数式的最值 11．（2024秋•海安市月考）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m的最小值等于 　12　 ． 【分析】把m﹣n2＝2，变形为n2＝m﹣2，代入原式，根据配方法、偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：∵m﹣n2＝2， ∴n2＝m﹣2， 则原式化为：m2+2（m﹣2）+4m＝m2+6m﹣4＝（m+3）2﹣13， ∵m＝n2+2≥2， ∴代数式m2+2n2+4m的最小值等于25﹣13＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键． 12．（2025秋•海州区期中）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值为 　　 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，即可求得n＝﹣m2﹣2m+3，然后代入所求的代数式，利用配方法m+n的最大值． 【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根， ∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0， ∴m2+2m+n﹣3＝0， ∴n＝﹣m2﹣2m+3， ∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m）2， ∴m+n的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，注意配方法在解题过程中的应用． 13．（2024•东莞市三模）已知x＝m是一元二次方程x2+3x﹣n＝0的一个根，则m+n的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．﹣4 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝m代入方程x2+3x﹣n＝0中得：m2+3m﹣n＝0，从而可得：n＝m2+3m，进而可得m+n＝m2+4m，然后利用配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：将x＝m代入一元二次方程x2+3x﹣n＝0，得： m2+3m﹣n＝0， ∴n＝m2+3m， 则m+n＝m2+3m+m＝m2+4m， 设m+n＝y，则： y＝m2+4m， 变形，得：y＝（m+2）2﹣4． ∴当m＝﹣2时，y可以取得最小值﹣4， ∴m+n的最小值为﹣4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意配方法在解题过程中的应用． 14．（2024秋•罗庄区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7x（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）． 但小明在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式． x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1） 教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣3﹣1）＝2（x+1）2﹣8． 因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣8≥﹣8 所以当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①x2﹣10x+9；②x2﹣8xy+7y2； （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0中a，b的值． 【分析】（1）先利用配方法，然后再利用平方差公式进行计算即可； （2）先对式子进行配方法，然后利用平方的非负性解题即可； （3）先对方程左边的式子运用完全平方公式进行变形，然后利用平方的非负性得到关于a，b的方程进而可求解． 【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣10x+25）﹣16 ＝（x﹣5）2﹣42 ＝（x﹣5﹣4）（x﹣5+4） ＝（x﹣1）（x﹣9）； ②原式＝（x2﹣8xy+16y2）﹣9y2 ＝（x﹣4y）2﹣（3y）2 ＝（x﹣4y﹣3y）（x﹣4y+3y） ＝（x﹣y）（x﹣7y）； （2）由题意得，﹣2x2﹣8x+3 ＝﹣2（x+2）2+11， ∵﹣2（x+2）2≤0， ∴﹣2（x+2）2+11≤11， ∴当x＝﹣2时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值11． （3）a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）＝0， 配方得（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0， 解得a＝1，b＝1． 【点睛】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，平方的非负性，掌握配方法是解题的关键． 15．（2025秋•淮滨县期末）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6． ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣　2　 ）2+　1　 ； （2）代数式﹣x2﹣2x+2025有最 　大　 （填“大”或“小”）值为 　2026　 ； （3）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）将原式配方即可； （2）将原式配方即可判断； （3）设矩形花圃的宽为xm，则长为（40﹣2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，即可求最大面积． 【解答】解：（1）x2﹣4x+56＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 故答案为：2，1； （2）∵﹣x2﹣2x+2025＝﹣（x2+2x+！）+2026＝﹣（x+1）2+2026， 又∵（x+1）2≥0， ∴﹣（x+1）2≤0， ∴﹣（x+1）2+2026≤2026， ∴﹣x2﹣2x+2025的最大值为2025， 故答案为：大，2026； （3）设矩形花圃的宽为xm，则长为（40﹣2x）m， ∴矩形的面积S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x）＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，S有最大值200（m2），此时，40﹣2x＝20（m）， ∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键． 16．（2025秋•隆昌市期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10＝（a2+6a）+10 ＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1． ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）+1≥1． 因此，该式有最小值1． ②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝0，a2+2a（b+c）+（b+c）2＝0，可得（a+b+c）2＝0． （1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a（x+h）2+k的形式； （2）若p＝﹣x2+2x+5，求p的最大值； （3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状并说明理由． 【解答】（1）（x+4）2+4 （2）P的最小值是5 （3）△ABC是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，根据非负性可得a＝b＝c，由此即可求解． 【详解】（1）解：x2+8x+20 ＝（x2+8x）+20 ＝x2+8x+16﹣16+20 ＝（x+4）2+4； （2）解：p＝x2+2x+6 ∴p＝（x+1）2+5 ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+5≥5 ∴P＝（x+1）2+5≥5 所以，P的最小值是5； （3）解：△ABC是等边三角形： ∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0 ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； 类型六 配方法在多元二次方程中的应用 17．（2025春•宝塔区期末）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【分析】将已知三个等式相加，进行配方可得结论． 【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由是： ∵a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18， ∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17， ∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0， ∴a＝3，b＝2，c＝2， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题． 18．（2024•阜阳一模）已知实数x，y，z且满足，x≥0，y≥0．下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2y+z B．y＝2x+z C．z＝2y+x D．4xy＝x2+x2 【分析】根据，x≥0，y≥0．x≥0，灵活变形，即可得到x、y、z的关系． 【解答】解：∵， ∴4yz＝x2﹣4y2﹣z2， ∴4y2+4yz+z2＝x2， ∴（2y+z）2＝x2， ∵x≥0，y≥0．x≥0， ∴x＝2y+z， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出x、y、z的关系． 19．（2025秋•福清市期末）小李同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路： ∵x﹣y＝4， ∴x＝y+4， 则xy＝（y+4）y＝y2+4y＝（y+2）2﹣4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． 结合以上小李同学的思路探究：若x+3y＝6，则下列关于式子6﹣xy的说法正确的是（　　） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值﹣6 D．有最大值6 【分析】根据所给求最值的方式，将xy变形为﹣3（y﹣1）2+3，，据此再进行计算即可． 【解答】解：∵x+3y＝6， ∴x＝﹣3y+6， 则xy＝（﹣3y+6）y＝﹣3y2+6y＝﹣3（y﹣1）2+3， ∵（y﹣1）2≥0， ∴﹣3（y﹣1）2+3≤3， ∴6﹣xy的最小值为6﹣3＝3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，理解题中所给求最值的方式并能用恰当的代数式表示出xy是解题的关键． 20．（1）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　3　 ． （2）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　2或3　 ． 【分析】（1）根据等式的性质求得x和y，然后根据x≤y及偶次幂的非负性求解； （2）由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可． 【解答】解：（1）∵3x﹣y＝3a2﹣6a+9①，x+y＝a2+6a﹣9②， ∴①+②，得：4x＝4a2，即x＝a2， 把x＝a2代入②，得：a2+y＝a2+6a﹣9， 解得：y＝6a﹣9， 又∵x≤y， ∴a2≤6a﹣9， ∴a2﹣6a+9≤0， ∴（a﹣3）2≤0， 又∵（a﹣3）2≥0， ∴a﹣3＝0，即a＝3， 故答案为：3； （2）∵a﹣b＝2， ∴a＝b+2， ∴ab+2b﹣c2+2c ＝b（b+2）+2b﹣c2+2c ＝b2+4b﹣（c2﹣2c） ＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3 ＝0， ∵b≥0，﹣2≤c＜1， ∴4≤（b+2）2≤12， ∵a是整数， ∴b＝0或1， ∴a＝2或3． 故答案为：2或3． 【点睛】此题考查解一元一次不等式和配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 21．（2025春•泸定县期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．已知74是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式　52+72 ；若S＝x2+9y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），且S为“完美数”，则k＝　5　 ．当S取最小值时，x＝　﹣1　 ．y＝　　 ． 【分析】运用完全平方公式及偶次幂的非负性质并根据题中的新定义确定出所求即可． 【解答】解：用完全平方公式及偶次幂的非负性质并根据题中的新定义可知： 74＝25+49＝52+72， ∴74写成a2+b2（a，b为整数）的形式为52+72； ∵S＝x2+9y2+2x﹣12y+k＝（x+1）2+（3y﹣2）2+k﹣5，且为“完美数”， ∴k﹣5＝0， ∴k＝5； 当x+1＝0，3y﹣2＝0时，S取最小值， ∴x＝﹣1，， 故答案为：52+32；5；﹣1；． 【点睛】此题考查了完全平方公式及偶次幂的非负性质，弄清题中的新定义是解本题的关键． 类型七 用配方法分解因式 22．阅读材料： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 这种解法就叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）4x4+y4； （2）x2﹣2ax﹣b2+2ab； （3）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 【分析】（1）添加4x2y2，同时减去4x2y2，则可构建完全平方公式，然后利用平方差公式分解因式； （2）先分组，然后用提公因式法分解因式； （3）先展开，再把4mn分成2个2mn，这样构建两个完全平方公式，然后利用平方差公式分解因式． 【解答】解：（1）原式＝4x4+4x2y2+y4﹣4x2y2 ＝（2x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（2x2+y2﹣2xy）（2x2+y2+2xy）； （2）原式＝x2﹣b2﹣2ax+2ab ＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b） ＝（x﹣b）（x+b﹣2a）； （3）原式＝m2n2﹣m2﹣n2+1+4mn． ＝m2n2+2mn+1﹣（m2﹣2mn+n2） ＝（mn+1）2﹣（m﹣n）2 ＝（mn+1+m﹣n）（mn+1﹣m+n）． 【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法：灵活运用完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键． 类型八 用配方法化简二次根式 23．（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 【分析】（1）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简即可； （2）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简，最后分母有理化即可． 【解答】解：（1）①∵3+1＝4，3×1＝3，即，， ∴； ②∵15+4＝19，15×4＝60，即，， ∴； （2）原式 ＝1． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和分母有理化． 类型九 配方法与根的判别式综合运用 24．（2025•黄州区模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　．　 【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比． 【解答】解：∵方程有实根， ∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0， 化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0， ∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0， ∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力． 25．（2025秋•茂名期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 　①④　 ； ①x2+2x﹣3＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2+1＝0 ④x（x﹣1）＝2（x﹣1） （2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b． 【分析】（1）根据美好方程的定义，看出，当a+b+c＝0时，方程有一个根为x＝1，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当a+b+c＝0时，方程有一个根为x＝1，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【解答】（1）解：方程x2+2x﹣3＝0，1+2﹣3＝0，方程①是美好方程； 方程x2﹣3x＝0，1﹣3＝﹣2≠0，方程②不是美好方程； 方程x2+1＝0，1+1＝2≠0，方程③不是美好方程； 方程x（x﹣1）＝2（x﹣1），整理，得x2﹣3x+2＝0，1﹣3+2＝0，方程④是美好方程； 故答案为：①④； （2）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0， ∴a+b+c＝0， ∴﹣b＝a+c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴美好方程ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）证明：方法1∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0， ∴c2﹣2ac+a2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0， ∴c2+2ac+a2﹣4ab﹣4bc+4b2＝0， ∴（c+a）2﹣2（a+c）⋅（2b）+（2b）2＝0， ∴（c+a﹣2b）2＝0， 故c+a﹣2b＝0， 故a+c＝2b． 方法2 将x＝1代入美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0，得： 左边＝（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b），右边＝0， ∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴x＝1是美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0的一个根， ∴方程的另一个根也是x＝1， ∴， ∴a﹣b＝b﹣c， ∴a+c＝2b． 【点睛】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式，正确理解美好方程的定义是解题的关键． 类型八　配方法解方程 26．（2025秋•无锡期中）用配方法解方程y2﹣6y+7＝0，得（y+m）2＝n，则（　　） A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣7 【分析】此题只需通过配方将y2﹣6y+7＝0化为（y﹣3）2＝2的形式，再与（y+m）2＝n对照即可求得m、n的值． 【解答】解：由于y2﹣6y+7＝0可化为（y﹣3）2＝2， 则可得：m＝﹣3，n＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解决此题的关键是通过配方，将方程化为完全平方的形式进行解题． 27．（2025秋•丰润区期末）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，．⑤ （1）小聪的解答过程是从第　③　 步开始出现错误的，错误的原因是　配方时方程右边没有加1　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解． 【解答】解：（1）小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1； 故答案为：③；配方时方程右边没有加1； （2）原方程移项得2x2﹣4x＝5， 二次项系数化为1得， 配方得，即， 开方得， 所以，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 中考数学配方法的十种应用 类型一 判断代数式的正负 1．（2025春•临川区月考）不论x，y为何实数，x2+y2﹣4x﹣2y+8的值总是（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 2．已知x为任意有理数，则多项式﹣1+xx2的值为（　　） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0 3．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（　　） A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数 C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关 类型二 比较大小 4．（2025春•招远市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 5．（2024秋•巴东县期末）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 6．（2025秋•遂平期末）已知实数a、b满足等式x＝a2+b2+20，y＝a（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y 类型三 配方变形及求字母的值 7．（2025秋•绵阳期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝﹣5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5 8．（2024秋•川汇区期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x+b）2﹣1，则a+b的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 类型四 配方法求字母的值 9．（2025秋•龙海区期中）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣6y＝2+m，2y2+4xy+13＝2﹣m，则m的值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 10．（2025春•东台市期中）阅读下面材料： 在第九章的学习中，我们认识了完全平方公式，即（a±b）2＝a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式． 把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫做配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆用，即a2±2ab+b2＝（a+b）2． 例如：对于x2﹣2x+4配方 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3 ②选取二次项和常数项配方：x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x或x2﹣2x+4＝x2+4x+4﹣6x＝（x+2）2﹣6x ③选取一次项和常数项配方：x2﹣2x+4（）2 根据上述材料，解决下列问题： （1）把4x2+1配成一个完全平方式，请你添加一单项式，使它成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是　 （只需添加一个你认为正确的结论）； （2）写出x2+4x+9的两种不同配方形式； （3）若4x2+y2﹣4x+6y+10＝0，求x、y的值． 类型五 用配方法求代数式的最值 11．（2024秋•海安市月考）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m的最小值等于 　　 ． 12．（2025秋•海州区期中）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值为 　 ． 13．（2024•东莞市三模）已知x＝m是一元二次方程x2+3x﹣n＝0的一个根，则m+n的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．﹣4 14．（2024秋•罗庄区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7x（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）． 但小明在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式． x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1） 教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣3﹣1）＝2（x+1）2﹣8． 因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣8≥﹣8 所以当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①x2﹣10x+9；②x2﹣8xy+7y2； （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+3有最大值？并求出这个最大值． （3）利用配方法，尝试求出等式a2+2b2﹣2ab﹣2b+1＝0中a，b的值． 15．（2025秋•淮滨县期末）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6． ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣　 　 ）2+　 　 ； （2）代数式﹣x2﹣2x+2025有最 　 　 （填“大”或“小”）值为 　 　 ； （3）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 16．（2025秋•隆昌市期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10＝（a2+6a）+10 ＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1． ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）+1≥1． 因此，该式有最小值1． ②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝0，a2+2a（b+c）+（b+c）2＝0，可得（a+b+c）2＝0． （1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a（x+h）2+k的形式； （2）若p＝﹣x2+2x+5，求p的最大值； （3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状并说明理由． 类型六 配方法在多元二次方程中的应用 17．（2025春•宝塔区期末）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 18．（2024•阜阳一模）已知实数x，y，z且满足，x≥0，y≥0．下列结论一定正确的是（　　） A．x＝2y+z B．y＝2x+z C．z＝2y+x D．4xy＝x2+x2 19．（2025秋•福清市期末）小李同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路： ∵x﹣y＝4，∴x＝y+4， 则xy＝（y+4）y＝y2+4y＝（y+2）2﹣4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． 结合以上小李同学的思路探究：若x+3y＝6，则下列关于式子6﹣xy的说法正确的是（　　） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值﹣6 D．有最大值6 20．（1）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　 　 ． （2）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　 　 ． 21．（2025春•泸定县期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．已知74是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式　 ；若S＝x2+9y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），且S为“完美数”，则k＝　 　 ．当S取最小值时，x＝　 　 ．y＝　 　 ． 类型七 用配方法分解因式 22．阅读材料： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 这种解法就叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）4x4+y4； （2）x2﹣2ax﹣b2+2ab； （3）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 类型八 用配方法化简二次根式 23．（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 类型九 配方法与根的判别式综合运用 24．（2025•黄州区模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　 　 25．（2025秋•茂名期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 　 　 ； ①x2+2x﹣3＝0②x2﹣3x＝0③x2+1＝0④x（x﹣1）＝2（x﹣1） （2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b． 类型八　配方法解方程 26．（2025秋•无锡期中）用配方法解方程y2﹣6y+7＝0，得（y+m）2＝n，则（　　） A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣7 27．（2025秋•丰润区期末）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，．⑤ （1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $