期中复习课件02：长方体（一）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

长方体（一） 五年级下册数学（北师大版） 期中复习课件 1.7.2013 同学们好！今天我们来复习五年级下册数学中一个非常重要的单元——《长方体（一）》。这个单元我们学习了很多关于长方体和正方体的知识，比如它们的特征、棱长、表面积等等。这节课，我们将一起梳理核心考点，通过例题和练习来巩固所学，希望大家都能有所收获！ ‹#› 目录 核心考点梳理 全面回顾长方体（一）的7个核心知识点，夯实基础，建立完整的知识框架。 经典例题讲解 深入剖析7个典型例题及变式训练，掌握解题技巧，实现举一反三的学习效果。 当堂巩固练习 通过精选习题进行限时训练，及时检验学习成果，查漏补缺，巩固所学重点知识。 课堂小结 总结本课重点内容与易错点，回顾核心考点，帮助大家构建系统的知识体系。 1.7.2013 本次复习课我们将分为四个部分。首先，我们会系统梳理本单元的七个核心考点。接着，通过经典例题和变式训练来加深理解。然后，我们会进行当堂巩固练习，检验学习效果。最后，进行课堂小结。让我们开始吧！ ‹#› 考点一：长方体和正方体的认识及特征 定义辨析 长方体：由6个长方形（特殊有2个相对面是正方形）围成，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 正方体：长、宽、高都相等的长方体（特殊），6个面都是完全相同的正方形，12条棱长度均相等。 各部分名称与数量 面：围成立体图形的平面部分，两者均有6个面。 棱：面与面相交的线段，两者均有12条棱。 顶点：棱与棱相交的点，两者均有8个顶点。 核心特征对比 面的特征：长方体“相对的面”完全相同；正方体“所有的面”完全相同（6个正方形）。 棱的特征：长方体“相对的棱”长度相等；正方体“所有的棱”长度相等（12条棱等长）。 1.7.2013 我们首先来看第一个考点：长方体和正方体的认识。大家还记得吗？长方体和正方体都有6个面，12条棱和8个顶点。它们的区别在于，长方体相对的面和棱才相等，而正方体的所有面和所有棱都是完全相同的。可以说，正方体是一种特殊的长方体。 ‹#› 考点二：长方体和正方体有关棱长的应用 棱长总和计算公式 长方体：棱长总和 =4 × (长 + 宽 + 高) 正方体：棱长总和 =12 × 棱长(12条棱长度相等) 核心逻辑：找准棱的分组特征，长方体按“长、宽、高”分组，正方体所有棱统一。 核心应用场景 ① 框架用料：制作铁丝/木条框架，求材料长度即求棱长总和。 ② 逆向求参数：已知总长求单棱，如：高 = (总长÷4) - 长 - 宽。 解题技巧：遇到实际问题先画图分析，区分是长方体还是正方体模型。 易错警示 计算长方体棱长总和时，切记要先计算“长+宽+高”的和，再乘以4；不要忘记乘4或误将长宽高直接相加。 1.7.2013 接下来是第二个考点，关于棱长的应用。计算棱长总和是一个非常重要的知识点。长方体的棱长总和是4倍的长、宽、高之和，而正方体因为12条棱都相等，所以是12乘以棱长。这个知识点在解决实际问题时很有用，比如计算制作一个框架需要多少材料。 ‹#› 考点三：长方体和正方体的展开图 核心概念与判断技巧 ▌ 展开图概念 将立体图形的表面沿棱剪开，展开成的平面图形。解题关键在于快速识别相对的面。 ▌ 快速判断“能不能折成正方体” ①排除法：出现“田”字格或“凹”字形，一定不能折成。 ②找相对面：相对的面在展开图中“不相邻”，可利用“相间”或“Z端”规律判断。 四大类型归纳 (共11种) 记忆口诀 一线不过四，田凹应弃之；相间、Z端是对面，间二、拐角是邻面。 1.长方体展开图的类型 (1)常见形式：“1-4-1”型（1个面、4个面、1个面依次排列）、“2-3-1”型（2个面、3个面、1个面排列）、“2-2-2”型（2个面、2个面、2个面并列）、“3-3”型（3个面、3个面并列）。 2.正方体展开图的类型 (1)“1-4-1”型（6种）：中间4个正方形，上下各1个正方形。  (2)“2-3-1”型（3种）：中间3个正方形，上2下1或上1下2。  (3)“2-2-2”型（1种）：2个正方形并列，共3组。  (4)“3-3”型（1种）：3个正方形并列，共2组。 1.7.2013 第三个考点是展开图。把一个正方体或长方体展开，会得到一个平面图形。正方体的展开图有11种基本类型，我们可以把它们归纳成“1-4-1”、“2-3-1”等几种类型。判断一个图形能不能折成正方体，最简单的方法就是看有没有出现“田”字格或者“凹”字形，如果有，就一定不行。 ‹#› 考点四：长方体和正方体表面积的计算 表面积的定义 长方体或正方体6个面的总面积，称为它的表面积。计算时要确保包含所有外表面，缺一不可。 核心理解：“表面积”即“表面”的“面积”之和，是二维平面面积在三维立体上的叠加。 核心计算公式 长方体：S = 2 × (ab + ah + bh) 正方体：S = 6a²(a为棱长) 公式记忆：长方体算“三对”面，正方体直接乘6，切记不要漏掉任何一个面。 易错提醒 计算时要注意单位统一（如：长用米，宽高也要用米）；解决实际问题时，要根据题意判断是否需要计算完整的6个面（如鱼缸、无盖盒子等）。 1.7.2013 第四个考点是表面积的计算。表面积就是一个立体图形所有面的面积总和。长方体的表面积是2倍的（长乘宽加长乘高加宽乘高），而正方体因为6个面都一样，所以直接用6乘以一个面的面积就可以了。计算时一定要注意单位哦。 ‹#› 考点五：长方体和正方体表面积的应用 完整表面积 📦 适用场景：封闭礼盒、魔方包装纸等。 🧮 计算方法：直接使用长方体/正方体的表面积公式，计算6个面的总面积。 无盖容器 🐟 适用场景：玻璃鱼缸、无盖水桶、水池。 🧮 计算方法：只需计算5个面。公式 = 侧面积 + 1个底面积。 粉刷墙壁 🏫 适用场景：教室/房间墙面翻新。 🧮 计算方法：算5个面（地面不刷），并扣除门窗、黑板等不需要粉刷的面积。 💡 解题核心秘籍：先根据实际生活场景进行“面的取舍”，判断需要计算哪几个面，再代入公式计算。切忌不看题意直接套用完整表面积公式。 1.7.2013 第五个考点是表面积的实际应用。这是考试的重点和难点。我们要学会根据实际情况判断需要计算哪些面。比如做一个无盖的鱼缸，就只需要算5个面；粉刷墙壁，地面不用刷，还要减去门窗的面积。解题的关键就是先想清楚“要算哪几个面”。 ‹#› 考点六：露在外面的面 核心概念定义 将正方体或长方体堆放在一起时，未被遮挡的面称为“露在外面的面”。计算总面积时，需先准确数出面的数量，再结合单个面的面积求解。 关键特征：只统计空间中向外暴露的面，被贴合、重叠的面不计入总数。 核心计算方法 观察法：直接从正面、侧面、上面数出露在外面的面数，再乘以单个面面积。 规律法：通过观察堆叠方式，总结出通用的计数公式，快速代入计算。 必背公式：平放一排n个=3n+2；竖直叠放n个=4n+1。 解题技巧总结 遇到复杂堆叠时，优先使用“分层数”或“分方向数”确保不重不漏；对于规则的一排或一列堆叠，直接套用3n+2或4n+1公式可大幅提升解题速度。 1.7.2013 第六个考点是“露在外面的面”。当我们把小正方体堆在一起时，有些面会被挡住，有些面会露出来。计算这些面的面积时，我们可以直接去数，也可以找规律。比如把正方体排成一排，露在外面的面就是3n+2个。记住这些规律可以帮助我们快速解题。 ‹#› 考点七：组合体的表面积 组合体的定义 由两个或多个长方体、正方体等基本立体图形，通过拼接或堆叠的方式组合在一起，形成的新的立体图形。 核心特征：构成组合体的基础是我们熟悉的基本立体图形。 表面积计算方法 计算步骤： ① 分别计算各基本图形的表面积；② 确定重叠面的面积；③ 总和减去2×重叠面面积。 计算口诀：先算各面总面积，重叠部分要减双。 核心公式 组合体的表面积 = 各部分表面积之和 -2 × 重叠面面积（因为两个物体拼接时，接触的地方会各遮住一个面）。 1.7.2013 最后一个考点是组合体的表面积。当两个物体粘在一起时，它们接触的地方就会有两个面被遮住，不再属于表面积的一部分。所以，计算组合体的表面积，就是把两个物体的表面积加起来，再减去2倍的重叠面面积。这个思路非常重要。 ‹#› 例题讲解：长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体和正方体都有 ( ) 个面，( ) 个顶点。 解题思路 ● 长方体有6个面，相对的面完全相同。 ● 正方体有6个面，所有面都完全相同。 ● 二者都属于立体图形，均有8个顶点。 参考答案 6 ， 8 核心结论：长方体和正方体是最基础的立体图形，牢记“6个面、8个顶点”是解决此类基础填空题的关键。 1.7.2013 好了，知识点梳理完了，我们来看例题。第一题，非常基础，问长方体和正方体都有几个面，几个顶点。大家回忆一下，我们刚讲过，它们都有6个面和8个顶点。所以答案就是6和8。这个题目是送分题，大家一定要记住哦。 ‹#› 变式训练1 题目：长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点，而且正方体的每条棱长都( )。 解析思路 这是对长方体和正方体基本特征的全面考察，需要熟记二者的共性与区别。 共性：都有6个面，12条棱，8个顶点。 特性：正方体是特殊的长方体，其特殊性在于12条棱的长度都相等。 最终答案：6，12，8，相等 1.7.2013 我们来做一个变式训练。这道题把面、棱、顶点都问到了，还特别提到了正方体棱长的特点。 答案依次是6个面，12条棱，8个顶点，正方体的每条棱长都相等。这些都是最基本的概念，必须牢记。 ‹#› 变式训练2 在实践活动中，同学们需要制作一个长方体结构的诗词灯笼。下列选项提供的材料正好能拼成长方体的是（ ）。 A. B. C. D. 本题正确答案 B 解析：长方体有12条棱，分为3组，每组4条长度相等。选项B提供了8根6cm和4根9cm的材料，可分成2组4根6cm和1组4根9cm，正好构成长方体的长宽高。 1.7.2013 再来看一道选择题。这道题考察的是长方体的棱的特征。长方体的12条棱，必须能分成3组，每组4条长度都一样。我们看选项，只有B选项，8根6厘米和4根9厘米，可以分成两组4根6厘米和一组4根9厘米，符合长方体的要求。所以选B。 ‹#› 例题讲解：长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】用一根长（ ）的铁丝正好可以做一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。 A．17厘米 B．68厘米 C．160厘米 D．184厘米 解题步骤 1. 明确问题：求铁丝长度即求长方体的棱长总和。 2. 套用公式：棱长总和 = 4 × (长 + 宽 + 高)。 3. 代入计算：4 × (8+5+4) = 4×17 = 68 (厘米)。 答案解析 最终计算结果为 68 厘米，对应选项 B。 注：选项A是长宽高的和，选项C是底面积的2倍，选项D是表面积，均为常见易错点。 核心结论：解决长方体框架类问题，核心是利用公式“棱长总和 = 4 × (长 + 宽 + 高)”进行计算。 1.7.2013 来看第二个例题，这是一道关于棱长总和的应用题。题目问用多长的铁丝做一个长方体框架，其实就是求这个长方体的棱长总和。我们套用公式：4乘以（长+宽+高），也就是4乘以17，等于68厘米。所以答案选B。 ‹#› 变式训练1 题目：用彩带捆扎一种礼盒（如图），接头处要用掉彩带25cm，那么捆扎这个礼盒至少需要多少厘米的彩带？ 解析思路 1. 观察图形：彩带围绕了礼盒的2条长、2条宽、4条高。 2. 计算逻辑：总长度 = 2长 + 2宽 + 4高 + 接头损耗(25cm)。 3. 代入数值：10×2 + 15×2 + 8×4 + 25 = 20 + 30 + 32 + 25 =107 (cm)。 最终答案：107厘米 1.7.2013 这道变式训练稍微复杂一点。捆扎礼盒的彩带，我们需要仔细看它绕了几条长、几条宽、几条高。 从图上可以看出，是2条长，2条宽，4条高，最后还要加上接头处的25厘米。 把这些都加起来，20+30+32+25，等于107厘米。 ‹#› 变式训练2 题目：用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是( )cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是( )cm。 解析思路 ①正方体：棱长总和60cm，共有12条棱。棱长 = 60 ÷ 12 =5 (cm)。 ②长方体：棱长总和60cm，长+宽+高 = 60 ÷ 4 = 15 (cm)。 已知长、宽均为3.6cm，所以高 = 15 - 3.6 - 3.6 =7.8 (cm)。 最终答案：5 cm ， 7.8 cm 1.7.2013 这道题是棱长总和公式的逆应用。第一问，用60厘米的铁丝做正方体框架，棱长就是60除以12，等于5厘米。 第二问，同样长的铁丝做长方体框架，长和宽的和是7.2厘米，那么高就是15减去7.2，等于7.8厘米。 ‹#› 例题讲解：长方体和正方体的展开图 【例题3】下列四个平面图形中，不能折叠成长方体或正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 解题思路 1. 正方体展开图有11种基本类型（如“1-4-1”、“2-3-1”型）。 2. 长方体展开图要求相对的面大小完全相同。 3. 选项A的结构不符合任何标准类型，折叠时会重叠，无法闭合。 参考答案 答案：A 核心结论：判断能否折叠成正方体，需熟记11种基本展开类型，重点检查“相对面”的分布规律，避免出现重叠面。 1.7.2013 第三个例题，考察展开图。我们需要判断哪个图形不能折成立方体。大家仔细观察，选项B、C、D都符合我们之前讲的展开图类型，比如“1-4-1”型。而选项A，它的结构有问题，无法折叠成一个封闭的正方体。所以答案是A。 ‹#› 变式训练1 笑笑需要将一个平面展开图折叠成一个正方体（如图）。涂色的5个面是展开图的一部分，添上①～④中的（ ）号面能折叠成一个正方体。 A．① B．② C．③ D．④ 观察展开图结构： 这是典型的“1-4-1”型展开图，中间4个面已具备，上方1个面存在，需补全下方的1个面。 本题正确答案 B 解析：这是一个“1-4-1”型的展开图。中间一行已经有4个面了，上面有1个面，所以缺少的是下面的那个面。观察展开图的位置关系，缺少的位置正好对应②号面。 1.7.2013 这道题是让我们补全正方体的展开图。这是一个典型的“1-4-1”型，中间4个，上面1个，很明显缺的是下面的那个面。所以我们应该选择②号面，答案是B。 ‹#› 变式训练2 题目：一个正方体展开图，问“2”的对面是“( )”，“5”的对面是“( )”。 解析思路 在“1-4-1”型展开图中，中间一行隔一个的面是相对面。所以“2”的对面是“4”。 展开图中上下两个面互为相对面。所以“5”的对面是“6”。 最终答案：4 ， 6 1.7.2013 找相对面是展开图的另一个重要考点。在这个“1-4-1”型的展开图里，我们可以看到，“2”和“4”中间隔了一个“3”，所以它们是相对面。“5”和“6”分别在上下两端，所以它们也是相对面。 ‹#› 例题讲解：长方体和正方体表面积的计算 【例题4】计算下列立体图形的表面积： （1）棱长为 5dm 的正方体； （2）长 1.2m、宽 0.5m、高 0.8m 的长方体。 解题步骤 1. 正方体：公式 6×棱长²，代入得 6×5×5 = 150 (dm²)。 2. 长方体：公式 2×(长×宽+长×高+宽×高)，代入得 2×(1.2×0.5+1.2×0.8+0.5×0.8) = 3.92 (m²)。 计算结果 （1）正方体表面积：150 平方分米 (dm²) （2）长方体表面积：3.92 平方米 (m²) 核心结论：牢记公式是基础（正方体 6a² / 长方体 2(ab+ah+bh)），计算时要注意运算顺序，并时刻关注单位是否统一。 1.7.2013 第四个例题，直接计算表面积。第一问是正方体，直接用公式6乘以棱长的平方，得到150平方分米。第二问是长方体，用公式2乘以（长乘宽加长乘高加宽乘高），算出来是3.92平方米。计算时注意单位和运算顺序。 ‹#› 变式训练1 题目：下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。 解析思路 ① 从展开图中确定长方体的长、宽、高分别为：8cm、6cm、3cm ② 套用长方体表面积公式：S = 2 × (ab + ah + bh) ③ 代入数值计算：2 × (8×6 + 8×3 + 6×3) = 2 × (48+24+18) = 2 × 90 =180 (cm²) 最终答案：180 平方厘米 (cm²) 1.7.2013 这道题给了我们一个长方体的展开图，让我们求表面积。首先要从图里找出长、宽、高，分别是8cm，6cm，3cm。然后代入表面积公式，2乘以（48+24+18），等于180平方厘米。 ‹#› 变式训练2 题目：把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，原来正方体的表面积是( )平方厘米。 解析思路 1. 把一个正方体锯成两个长方体，表面积会增加2个正方形的面。 2. 增加的总面积是32平方厘米，因此一个面的面积 = 32 ÷ 2 =16 (平方厘米)。 3. 正方体有6个面，所以表面积 = 6 × 16 =96 (平方厘米)。 最终答案：96 平方厘米 1.7.2013 这道题很巧妙。把正方体锯开，增加了两个面，这两个面的面积总和是32平方厘米，所以一个面就是16平方厘米。原来的正方体有6个这样的面，所以表面积就是6乘以16，等于96平方厘米。 ‹#› 例题讲解：长方体和正方体表面积的应用 【例题5】一个长方体游泳池，长150米、宽60米、深4米。若这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，请问贴瓷砖的总面积是多少平方米？ 解题思路分析 1. 面数分析：游泳池无顶面，需计算5个面的面积和（底面+前后面+左右面）。 2. 计算逻辑：分别计算底面、前后侧面积、左右侧面积，最后求和得到总面积。 分步计算过程 底面积：150 × 60 =9000(m²) 前后面积：2 × (150 × 4) =1200(m²) 左右面积：2 × (60 × 4) =480(m²) 最终答案：贴瓷砖的总面积为10680平方米 (9000 + 1200 + 480 = 10680) 1.7.2013 第五个例题是表面积的实际应用。游泳池贴瓷砖，上面是开口的，所以只算5个面。我们分别算出底面、前后两个面、左右两个面的面积，然后加起来。底面积是9000，前后是1200，左右是480，总和是10680平方米。 ‹#› 变式训练1 题目：“五育并举，德育为先”某小学进行“手拉手”活动。老师想把一个空教室布置成一个教育基地。笑笑量了一下，找到一些数学信息：教室长10米、宽9米、高为3米，门窗面积为11.6平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷多少平方米的面积？ 解析思路 粉刷面积 = 屋顶面积 + 四壁面积 - 门窗面积。 ① 屋顶面积：长×宽 = 10 × 9 =90(平方米)。 ② 四壁面积：(长×高 + 宽×高) × 2 = (10×3 + 9×3) × 2 =114(平方米)。 ③ 总面积：90 + 114 - 11.6 =192.4(平方米)。 最终答案：192.4 平方米 1.7.2013 这道题和游泳池类似，但更复杂一点。粉刷教室，地面不用刷，所以算屋顶和四壁。屋顶面积是长乘宽，四壁面积是2倍的（长乘高加宽乘高）。最后，别忘了减去门窗的面积。算出来是192.4平方米。 ‹#› 变式训练2 题目：有两根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。（1）围成的正方体的棱长是多少厘米？（2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 解析思路 （1）先求铁丝总长度（即长方体棱长总和）：(9+6+6)×4 =84(厘米)。正方体棱长 = 84 ÷ 12 =7(厘米)。 （2）求正方体表面积：6 × 7 × 7 =294(平方厘米)。 最终答案：（1）7厘米；（2）294平方厘米 1.7.2013 这道题结合了棱长和表面积。首先，通过长方体求出铁丝的总长度，也就是84厘米。然后用这根铁丝做正方体，棱长就是84除以12，等于7厘米。最后，计算正方体的表面积，6乘以7的平方，等于294平方厘米。 ‹#› 例题讲解：露在外面的面 【例题6】堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，请问有多少个面露在外面？露在外面的总面积是多少平方厘米？ 解题步骤 ① 数面：正面3个 + 右面4个 + 上面4个 =11 个 ② 算面积：单个面(2×2=4cm²) × 11 =44 cm² 最终答案 露在外面的面：11个 露在外面的面积：44平方厘米 核心结论：计算露在外面的面时，分别从正面、右面、上面三个方向数面再求和，最后乘以单个面的面积即可得到总面积。 1.7.2013 第六个例题，计算露在外面的面。我们可以从不同方向去数。从正面看有3个，右面看有4个，上面看有4个，一共11个面。每个面的面积是4平方厘米，所以总面积就是11乘以4，等于44平方厘米。 ‹#› 变式训练1 题目：将6个棱长为2dm的小正方体摆放在地上（如图）。露在外面的面有( )个，露在外面的面积是( )dm²。 解析思路 方法：直接观察数数。从图中数，能看到的面一共有19个。 计算：单个面面积 = 2 × 2 =4 (dm²)，总面积 = 19 × 4 =76 (dm²)。 最终答案：19 个 ， 76 dm² 1.7.2013 这道题摆放方式不一样，不能直接用公式，最好的方法是仔细去数。大家看图，一个一个地数，能看到的面一共有19个。每个面面积是4平方分米，所以总面积是19乘以4，等于76平方分米。 ‹#› 变式训练2 题目：将几个棱长为5分米的正方体纸箱摆放在墙角处（如图），露在外面的面面积是( )分米²，在此基础上要把它堆成一个大正方体，至少还要( )个这样的正方体纸箱。 解析思路 ① 露在外面的面积：能看到11个面。单个面面积 = 5 × 5 =25(dm²)。总面积 = 11 × 25 =275(dm²)。 ② 堆成大正方体：最长边有3个小正方体，共需 3×3×3 =27个。已有5个，还需 27 - 5 =22个。 最终答案：275 ， 22 1.7.2013 这道题有两问。第一问，数出露在外面的面有11个，每个面25平方分米，总面积是275平方分米。 第二问，要堆成一个大正方体，看最长的边是3个小正方体，所以大正方体一共需要27个。图里已经有5个了，所以还需要22个。 ‹#› 例题讲解：组合体的表面积 【例题7】计算右图立体图形的表面积。（图形为一个长8.5cm、宽4cm、高2cm的长方体上，粘合一个棱长为2cm的正方体） 详细解题步骤 ① 分析：组合体表面积 = 长方体表 + 正方体表 - 2×重叠面积。 ② 长方体：S = 2×(8.5×4 + 8.5×2 + 4×2) = 118 (cm²)。 ③ 正方体：S = 6×(2×2) = 24 (cm²)。 ④ 总表面积：S = 118 + 24 - 2×(2×2) =134 (cm²)。 直观图示 & 最终答案 该组合体的表面积为： 134 cm² 核心结论：计算粘合类组合体表面积时，关键是找到重叠面，用“各部分表面积之和”减去“2倍的重叠面面积”。 1.7.2013 最后一个例题，组合体的表面积。我们先分别算出长方体和正方体的表面积，然后相加。因为它们粘在一起，有两个面（一个在长方体上，一个在正方体上）被遮住了，所以要减去2倍的重叠面面积。最后算出来是134平方厘米。 ‹#› 变式训练1 题目：计算下图中大长方体顶点处挖去一个小正方体后的图形表面积。（假设大长方体长宽高为30cm, 20cm, 12cm） 解析思路 1. 顶点处挖去小正方体，原被遮住的3个面露出来，同时挖掉3个面，因此表面积不变，等于原大长方体表面积。 2. 计算公式：S = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×高)。 3. 代入数据：S = 2 × (30×20 + 30×12 + 20×12) = 2 × (600 + 360 + 240) = 2 × 1200 =2400 (cm²)。 最终答案：2400 cm² 1.7.2013 这道题很有趣。在顶点挖掉一个小正方体，表面积其实是不变的。因为挖掉的时候去掉了3个面，但同时又露出了3个新的面。所以，它的表面积就等于原来大长方体的表面积。 ‹#› 变式训练2 题目：下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 解析思路 方法：对于不规则立体图形，采用“三视图法”，计算正、上、右三个视角的投影面积之和，再乘以2。 计算：假设正面、上面、右面看到的面积均为128平方厘米。 公式：表面积 = (正面 + 上面 + 右面) × 2 = (128 + 128 + 128) × 2 =512(平方厘米)。 最终答案：512 平方厘米 1.7.2013 对于这种不规则的立体图形，我们可以用“三视图法”来计算表面积。分别算出从正面、上面、右面看到的图形的面积，加起来再乘以2，就是整个立体图形的表面积。这道题算出来是512平方厘米。 ‹#› 当堂巩固练习 01 选择题 · 长方体表面积 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 02 填空题 · 正方体框架 用一根48厘米长的铁丝焊成一个正方体框架，它的棱长是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。 03 应用题 · 礼品盒包装 一个正方体礼品盒，棱长1.2dm，包装这个礼品盒至少要用多少平方分米的包装纸？ 1.7.2013 好了，知识点和例题都讲完了，现在是检验大家学习成果的时候了。请大家完成这三道当堂巩固练习题。第一题是选择题，第二题是填空题，第三题是应用题。大家仔细思考，认真计算。 ‹#› 当堂巩固练习 第4题 · 应用题 一个教室的长是8米，宽是6米，高是3.5米，门窗和黑板的面积是21.5平方米。如果要粉刷教室的四壁和屋顶，粉刷的面积是多少平方米？ 💡 解题提示：注意计算“四壁+屋顶”共5个面，最后记得扣除门窗面积。 核心知识回顾 ● 长方体表面积：S = 2(ab + ah + bh) ● 正方体表面积：S = 6a² ● 实际应用：先判断计算几个面（如无盖、粉刷），再列式。 📝 核心要点：区分“完整表面积”与“部分表面积”，是解题的关键。 💡 思路点拨 本题解法：先算出教室5个面（四壁+屋顶）的总面积，即 S = (长×高 + 宽×高)×2 + 长×宽；再用总面积减去门窗和黑板的面积21.5平方米，得到最终粉刷面积。 1.7.2013 我们再来看一道应用题，这是一道非常典型的粉刷墙壁问题。大家在做的时候，要记得减去门窗和黑板的面积。旁边是核心知识回顾，大家可以快速浏览一下，看看有没有忘记的公式。 ‹#› 当堂巩固练习答案 01 选择题 答案：B 解析：表面积与长度的平方成正比。长、宽、高都扩大2倍，表面积就扩大2²=4倍。 02 填空题 答案：4，96 解析：棱长 = 48 ÷ 12 = 4 (厘米)。表面积 = 6 × 4 × 4 = 96 (平方厘米)。 03 应用题 答案：8.64平方分米 解析：求包装纸面积即求正方体表面积。S = 6 × 1.2 × 1.2 = 8.64 (dm²)。 1.7.2013 我们来对一下答案。第一题选B，因为表面积是和长度的平方成正比的。第二题，棱长是4厘米，表面积是96平方厘米。第三题，正方体表面积是8.64平方分米。大家都做对了吗？ ‹#› 当堂巩固练习答案 04 应用题 参考答案 124.5 平方米 思路解析 1. 计算屋顶面积：长 × 宽 = 8 × 6 = 48 (平方米)。 2. 计算四壁面积：2 × (长×高 + 宽×高) = 2 × (8×3.5 + 6×3.5) = 98 (平方米)。 3. 计算总面积：屋顶 + 四壁 - 门窗面积 = 48 + 98 - 21.5 = 124.5 (平方米)。 1.7.2013 最后一题的答案是124.5平方米。解题步骤是先算屋顶，再算四壁，然后相加，最后减去门窗面积。这道题综合考察了表面积的应用，大家一定要掌握这种题型。 ‹#› 课堂小结 核心概念回顾 ●特征：长方体/正方体的面、棱、顶点数量及特点。 ●棱长：掌握棱长总和计算公式及实际应用。 ●展开图：掌握判断方法，能快速寻找相对面。 ●表面积：牢记公式，区分完整与部分表面积应用。 解题方法总结 ★棱长问题：熟记公式，根据题意灵活变形计算。 ★表面积：解题关键是先判断“实际需要算哪几个面”。 ★组合体：总面积减去2倍重叠面的面积。 ★露在外面：结合观察法（分层/分面）和规律法。 易错点重点提醒 !单位陷阱：计算前务必统一长度单位（如 cm/m）。 !计算失误：求表面积时，切勿忘记乘以 2。 !审题不清：实际应用中，易多算或少算面（如无盖鱼缸）。 核心数学思想渗透 ➢转化思想：将立体图形问题转化为平面问题（如展开图），将复杂问题转化为简单问题。 ➢空间想象：在脑海中构建图形，培养对立体图形的形状、位置、变换的感知能力。 1.7.2013 课程接近尾声，我们来总结一下。今天我们复习了长方体和正方体的特征、棱长、展开图和表面积。解题时要牢记公式，特别是表面积的实际应用，一定要仔细分析。常见的错误包括单位不统一、计算错误等，大家要注意避免。希望通过这节课，大家对这个单元的知识有了更系统的理解。 ‹#› 感谢聆听 祝同学们学习进步！ 1.7.2013 今天的复习课就到这里。感谢同学们的认真聆听！希望大家课后能及时复习，把今天学的内容消化掉。祝大家学习进步，下次课再见！ ‹#› $