第8章 三角形 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的三边关系、内角和与外角性质、多边形内角和及镶嵌等核心内容，通过基础选择、中档填空、综合解答题的梯度设计，串联三角形与多边形的内在逻辑，帮助学生构建完整的几何知识网络。 其亮点在于融入新考向项目探究（如三角形三边关系探究）和新定义题（“奇妙互余三角形”），培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维推理论证的能力。分层练习设计（★☆☆到★★★）满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

第8章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个选 项符合题意) 1. (2025吉林长春南关期末,★☆☆)已知某三角形的三边长分 别为3,9,m,则m的值可以是 (        ) A. 3　　　    B. 6　　　     C. 9　　　    D. 12 C 解析　由题意得9-3<m<9+3,∴6<m<12,结合选项可知m的值 可以是9.故选C. 初中同步培优卷 2. (2025安徽中考模拟,★☆☆)将一副三角尺按照如图所示的 方式摆放,则∠FBA的度数为 (        ) A. 10°　　　    B. 15°　　　     C. 20°　　　    D. 25° B 解析　由题意得∠EAD=45°,∠BFA=30°, ∴∠FBA=∠EAD-∠BFA=45°-30°=15°,故选B. 初中同步培优卷 3. (2025吉林长春八十七中南阳校区月考,★☆☆)下列正多边 形的组合中,不能铺满地面的是 (        ) A. 正八边形和正方形　　　    B. 正五边形和正十边形 C. 正六边形和正三角形　　　    D. 正十二边形和正三角形 B 初中同步培优卷 解析    A.易得正八边形每个内角的度数是135°,正方形每个 内角的度数是90°,∵90°+2×135°=360°,∴正八边形和正方形组合可以铺满地面,故本选项不符合题意;B.易得正五边形每 个内角的度数为108°,正十边形每个内角的度数为144°,显然 不能构成360°的周角,∴正五边形与正十边形组合不能铺满地面,故本选项符合题意;C.易得正六边形每个内角的度数为120°,正三角形每个内角的度数为60°,∵120°+4×60°=360°, ∴正六边形与正三角形组合能铺满地面,故本选项不符合题意; D.易得正十二边形每个内角的度数为150°,正三角形每个内角 初中同步培优卷 的度数为60°,∵60°+2×150°=360°, ∴正十二边形与正三角形组合能铺满地面, 故本选项不符合题意.故选B. 初中同步培优卷 4. (2025河南南阳新野期末,★☆☆)若一个三角形的一个内角 等于另外两个内角的差,则这个三角形一定是 (        ) A. 锐角三角形　　　    B. 直角三角形 C. 钝角三角形　　　    D. 等腰三角形 B 解析　设三角形的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,且∠A=∠B- ∠C,则∠A+∠C=∠B,∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴2∠B=180°, ∴∠B=90°,∴△ABC为直角三角形,故选B. 初中同步培优卷 5. (2025四川眉山期末,★☆☆)如图,直线l与正六边形 ABCDEF的边AF,EF分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数为  (        ) A. 60°　　　    B. 80°　　　     C. 120°　　　    D. 300° A 解析　由题意得∠F= =120°, ∵∠FNM=∠1,∠FMN=∠2, ∴∠1+∠2=∠FNM+∠FMN=180°-∠F=180°-120°=60°. 故选A. 初中同步培优卷 6. (2025湖北恩施州期末,★★☆)如图,下列结论错误的是  (        ) A. AB+AD>BD　　　     B. PD+CD>PC C. AB+AC>BP+PC　　　     D D. AP+BP+CP>AB+BC+AC 初中同步培优卷 解析　由三角形的三边关系,得AB+AD>BD①,PD+CD>PC②, ①+②,得AB+AD+PD+CD>BD+PC,∴AB+AD+CD>PC+BD- PD,∴AB+AC>PC+BP,故选项A,B,C结论正确;∵AP+BP>AB, BP+CP>BC,AP+CP>AC,∴2(AP+BP+CP)>AB+BC+AC,故选 项D结论错误.故选D. 初中同步培优卷 7. (2025山西大同模拟改编,★★☆)如图,线段AB,BC,CD是一 个正多边形的三条边,延长AB,DC交于点M,若∠M=90°,则这 个正多边形是 (        ) A. 正五边形　　　     B. 正六边形　　　     D C. 正七边形　　　     D. 正八边形 初中同步培优卷 解析　由题意得∠MBC=∠MCB,∵∠M=90°, ∴∠MBC=∠MCB= (180°-∠M)=45°, ∴这个正多边形的边数为360°÷45°=8, ∴这个正多边形是正八边形.故选D. 初中同步培优卷 8. (2025吉林省实验中学繁荣学校月考,★★☆)一个正五边形 和一个正六边形都有一条边在直线l上,且有一个公共顶点O, 其摆放方式如图所示,则∠1的度数是 (        ) A. 70°　　　    B. 60°　　　     C. 50°　　　    D. 48° D 初中同步培优卷 解析　如图, 由题意得∠2=360°÷5=72°,∠3=360°÷6=60°, ∵∠1+∠2+∠3=180°,∴∠1=180°-∠2-∠3=180°-72°-60°=108°-60°=48°.故选D. 初中同步培优卷 9. (2025河南南阳邓州期末,★★☆)如图,点M是△ABC中两内 角平分线的交点,点N是△ABC的两外角平分线的交点,选项中 说法错误的是 (        ) A. ∠BMC=90°+ ∠A　　　     C B. ∠N=90°- ∠A C. ∠BMC+∠N=2∠A　　　     D. ∠BMC+∠N=180° 初中同步培优卷 解析　如图,∵BM平分∠ABC,CM平分∠ACB, ∴∠MBC= ∠ABC,∠MCB= ∠ACB,∴∠MBC+∠MCB=  (∠ABC+∠ACB)= ×(180°-∠A)=90°- ∠A, ∴∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB)=90°+ ∠A,故选项A说法正确,不符合题意;∵BN平分∠CBD,CN平分∠BCE, ∴∠NBC= ∠CBD,∠BCN= ∠BCE, ∴∠NBC+∠BCN= (∠CBD+∠BCE), ∵∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, 初中同步培优卷 ∴∠CBD+∠BCE=180°+∠A,∴∠NBC+∠BCN=90°+ ∠A, ∴∠N=180°-(∠NBC+∠BCN)=90°- ∠A,故选项B说法正确,不符合题意;易得∠BMC+∠N=90°+ ∠A+90°- ∠A=180°,故选项C说法错误,符合题意,选项D说法正确,不符合题意.故选C. 初中同步培优卷 10. (2025重庆万州开学测试,★★★)如图,射线BD,AE分别是 △ABC的外角∠ABF,∠CAG的平分线,射线BD与直线CA交于 点D,射线AE与直线BC交于点E,若∠BAC=∠ABC+102°,∠D= ∠E+27°,则∠ACB的度数为 (        ) A. 38°　　　    B. 42°　　　     B C. 48°　　　    D. 50° 初中同步培优卷 解析　设∠ABC=α,则∠BAC=∠ABC+102°=α+102°,∠ABF= 180°-∠ABC=180°-α,∴∠CAG=∠BAD=180°-∠BAC=180° -(α+102°)=78°-α,∵∠ACE是△ABC的外角,∴∠ACE=∠ABC +∠BAC=2α+102°,∵BD,AE分别是△ABC的外角∠ABF,∠CAG的平分线,∴∠ABD= ∠ABF=90°- α,∠CAE= ∠CAG=39°- α,∴∠D=180°-∠BAD-∠ABD=180°-(78°-α)- =12°+ α,∠E=180°-∠CAE-∠ACE=180°-  -(2α+102°) =39°- α, 初中同步培优卷 ∵∠D=∠E+27°,∴12°+  α=39°-  α+27°, ∴3α=54°,∴α=18°,∴∠ABC=18°,∴∠BAC=18°+102° =120°,∴∠ACB=180°-120°-18°=42°,故选B. 初中同步培优卷 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11. (2025四川乐山中考,★☆☆)如图,∠1的度数为____________.       100°     解析　由题意得∠1=45°+55°=100°. 故答案为100°. 初中同步培优卷 12. (2025吉林长春南关期末,★☆☆)如图,要使六边形木架(用 6根木条钉成)不变形,至少要再钉上_________根木条.       3     初中同步培优卷 解析　如图,根据三角形具有稳定性可知要使六边形木架(用 6根木条钉成)不变形,至少要再钉上3根木条,故答案为3.   初中同步培优卷 13. (2025山东聊城高唐第一实验中学月考,★☆☆)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=70°,P为BC上一点,且∠1=∠2,则∠APD= ___________.       50°     初中同步培优卷 解析　由题意得∠APC=∠B+∠1,∵∠APC=∠APD+∠2,且 ∠1=∠2,∴∠APD=∠B,∵∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-60° -70°=50°,∴∠APD=50°,故答案为50°. 初中同步培优卷 14. (2025吉林白山模拟改编,★★☆)把边长相等的正五边形 和正六边形按照如图所示的方式叠放在一起,AB是正六边形 的对角线,∠ABC=60°,则∠α的度数为__________度.       84     初中同步培优卷 解析　如图,易得正五边形每个内角的度数为108°,正六边形 每个内角的度数为120°,即∠3=∠4=108°,∠1+∠2=120°, ∴∠1=120°-∠2=60°,∴∠α=360°-2×108°-60°=84°,故答案为84.   初中同步培优卷 15. (2025陕西西安雁塔高新一中期末,★★☆)如图所示的是 一块面积为10的三角形ABC,点D,E,F分别是线段AF,BD,CE的 中点,则阴影部分的面积为_________.   初中同步培优卷 解析　如图,连结AE,BF,CD,∵点D,E分别是线段AF,BD的中 点,∴AD=DF,BE=ED,∴S△ADE=S△ABE,S△FBE=S△FDE,S△ADE=S△FDE, 同理可得,S△ADC=S△CDF,S△CDF=S△FDE,S△BEF=S△CBF, ∴阴影部分的面积是△ABC面积的 , ∵△ABC的面积为10,∴阴影部分的面积是 ,故答案为 . 初中同步培优卷 16. (2025河北邯郸十一中期中改编,★★★)如图,在△ABC中, ∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,△ABC的外角∠MBC与 ∠NCB的平分线交于点Q,延长线段BP,QC交于点E.在△BQE 中,若∠Q=3∠E,则∠A的度数为___________.       45°     初中同步培优卷 解析　∵BP平分∠ABC,BQ平分∠MBC,∴∠PBC= ∠ABC, ∠CBQ= ∠MBC,∴∠PBC+∠CBQ= ∠ABC+ ∠MBC= × 180°=90°,∴∠QBE=90°,∴∠Q+∠E=90°, ∵∠Q=3∠E,∴∠E=22.5°,∴∠Q=3∠E=67.5°, ∴∠QBC+∠QCB=180°-∠Q=112.5°,∵CQ平分∠NCB,BQ平 分∠MBC,∴∠MBC+∠NCB=2(∠QBC+∠QCB)=225°, ∴∠ABC+∠ACB=360°-(∠MBC+∠NCB)=135°, ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=45°,故答案为45°. 初中同步培优卷 三、解答题(共6小题,共72分) 17. (2025河南驻马店上蔡期末,★☆☆)(10分)如图,在△ABC 中,BD是△ABC的角平分线,点E在边AB上,且不与点A,B重合, CE与BD交于点O. (1)若CE是△ABC的高,且∠OBC=32°,则∠BOC的度数为_____ _____°. (2)若CE是△ABC的角平分线,且∠BOC=130°,求∠A的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠OBC=32°, ∵CE是△ABC的高,∴CE⊥AB,∴∠BEO=90°, ∴∠BOC=∠BEO+∠EBO=90°+32°=122°,故答案为122. (2)由题意得∠OBC+∠OCB=180°-130°=50°, ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2(∠OBC+∠OCB)=2×50°=100°, ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°. 初中同步培优卷 18. (2025河南南阳新野期末,★☆☆)(10分)如图,在五边形 ABCDE中,AB∥DE,∠E=124°,∠C=80°,F为边AB上一点,FG⊥ AE,∠D=∠BFG,求∠B的度数.   初中同步培优卷 解析　易得六边形BCDEGF的内角和为(6-2)×180°=4×180°=720°,∴∠E+∠D+∠C+∠B+∠BFG+∠FGE=720°. ∵AB∥DE,∴∠E+∠A=180°, ∵∠E=124°,∴∠A=56°. ∵FG⊥AE,∴∠FGE=∠FGA=90°, ∴∠BFG=∠A+∠FGA=56°+90°=146°, ∵∠D=∠BFG,∴∠D=146°, ∴124°+146°+80°+∠B+146°+90°=720°,∴∠B=134°. 初中同步培优卷 19. 【新考向·项目探究题】(2025甘肃天水秦州期末,★★☆) (10分)【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中,探究了三角形的三边关系. 小明进行了以下探究:已知,如图,在△ABC中,根据“两点之间 的所有连线中,线段最短”可得AB+AC>BC,AB+BC>AC,BC+ AC>AB,从而可得到结论:三角形中任意两边之和大于第三边.   初中同步培优卷 小红在小明的基础上进行了补充: 若能知道三条线段之间的大小关系,只要较短的两条线段长 度之和大于最长的线段的长度,就可以判断给定的三条线段 首尾顺次连结能够构成三角形. 【问题解决】 (1)若三角形的三边长分别为x+4,x-1,x-2,求x的取值范围. (2)若一个三角形的三边长都是整数,最长边的长度为10,另两 边的长度相差3,求该三角形最短边长度的最小值. (3)在△ABC中,AB=AC,BC=10,已知这个三角形的周长不大于 初中同步培优卷 30,求AB长度的取值范围. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意得x-2+x-1>x+4,解得x>7, ∴x的取值范围是x>7. (2)设该三角形最短边的长度为a,则较长边的长度为a+3,由题 意可得a+a+3>10,解得a> , ∵这个三角形的三边长都是整数, ∴该三角形最短边长度的最小值为4. (3)设AB=AC=y, 由题意可得 解得5<y≤10, 初中同步培优卷 ∴AB长度的取值范围为5<AB≤10. 初中同步培优卷 20. (2025四川内江威远凤翔中学期末,★★☆)(12分) (1)如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于 点D,E,若∠A=45°,求∠D与∠E的度数. (2)如图②,∠ABC的三等分线与△ABC的外角的三等分线分 别交于点D,E,猜想∠D与∠A,∠E与∠A的数量关系,并选择其 中一个说明理由. 初中同步培优卷 (3)如图③,△ABC的两个外角的三等分线分别交于点D,E,请 直接写出∠D与∠A,∠E与∠A的数量关系. 初中同步培优卷 解析    (1)设∠ABC=3α,∠ACB=3β, 由题意得3α+3β+45°=180°,∴α+β=45°. ∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D,E, ∴∠DBC+∠DCB=2(α+β)=90°,∠EBC+∠ECB=α+β=45°, ∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-90°=90°, ∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-45°=135°. (2)∠D= ∠A,∠E= ∠A. (任选其一证明即可)选择∠E= ∠A. 初中同步培优卷 理由:由题意得∠EBC= ∠ABC,∠ECF= ∠ACF, ∴∠E=∠ECF-∠EBC= (∠ACF-∠ABC)= ∠A. (3)∠D=120°- ∠A,∠E=60°- ∠A. 详解:由题意得∠CBE= ∠CBF,∠BCE= ∠BCG,∠CBD=  ∠CBF,∠BCD= ∠BCG, ∴∠D=180°- (∠CBF+∠BCG)=180°- (360°-∠ABC-∠ACB) =180°-120°+ (180°-∠A)=120°- ∠A, 初中同步培优卷 ∠E=180°-  (∠CBF+∠BCG) =180°- (360°-∠ABC-∠ACB) =180°-240°+ (180°-∠A)=60°- ∠A. 初中同步培优卷 21. 【新考向·新定义题】(2024上海嘉定期末,★★★)(15分) 如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样 的三角形为“奇妙互余三角形”. 解答以下问题: (1)填空: ①若△ABC是“奇妙互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= _______. ②若△ABC是“奇妙互余三角形”,∠C>90°,∠A=40°,则∠C =_______. 初中同步培优卷 (2)如图,在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,请说明 △ABD是“奇妙互余三角形”. (3)在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=42°,点P是射线CB上的一点, 且△ABP是“奇妙互余三角形”,请求出∠APC的度数.   初中同步培优卷 解析    (1)①∵△ABC是“奇妙互余三角形”,∠C>90°, ∴∠C不是α或β, ∵2α+β=90°,∠A=60°,∴α不是∠A,∴β=∠A=60°, ∴2α+60°=90°,解得α=15°.∴∠B=15°. 故答案为15°. ②∵△ABC是“奇妙互余三角形”,∠C>90°, ∴∠C不是α或β, ∵2α+β=90°,∠A=40°,∴分两种情况讨论: 当α=∠A=40°时,2×40°+β=90°,解得β=10°,此时∠B=10°; 初中同步培优卷 当β=∠A=40°时,2α+40°=90°,解得α=25°,此时∠B=25°. ∵∠C=180°-∠A-∠B,∴∠C=130°或115°. (2)∵在△ABC中,∠C=90°,∴∠ABC+∠A=90°, ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠ABC=2∠ABD,∴2∠ABD+∠A=90°, ∴△ABD是“奇妙互余三角形”. (3)当点P在线段BC上时,∠APB>90°,如图, 初中同步培优卷 ∵△ABP是“奇妙互余三角形”, ∴2∠BAP+∠ABP=90°或∠BAP+2∠ABP=90°,即2∠BAP+42° =90°或∠BAP+2×42°=90°, 解得∠BAP=24°或∠BAP=6°, ∵∠APC=∠BAP+∠ABP,∴∠APC=66°或∠APC=48°. 当点P在线段CB的延长线上时,∠APB<90°,如图, 初中同步培优卷 此时∠ABC=∠BAP+∠APC=42°, ∵△ABP是“奇妙互余三角形”, ∴2∠BAP+∠APB=90°或∠BAP+2∠APB=90°, 解得∠BAP=48°(舍去)或∠BAP=-6°(舍去). 综上,∠APC的度数为66°或48°. 初中同步培优卷 22. 【新考向·项目探究题】(2025福建泉州惠安期末,★★★) (15分)图①是常见的“8字型”平面图形,设AB,CD的交点 为O,根据“三角形的内角和”等相关知识,易证得∠A+∠D= ∠C+∠B.   初中同步培优卷 (1)【模型求解】如图②,线段EF位于四边形ABCD内部,连结 BE,CF交于点O,运用上述结论,求∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+ ∠E+∠F的度数. (2)【构造模型】图③是常见的“五角星”平面图形,求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E的度数. (3)【拓展运用】将图③中“五角星”的五个角截去得到图 ④,求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+ ∠N的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意得∠E+∠F=∠EBC+∠FCB, ∴∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F=∠A+∠ABE+∠DCF+ ∠D+∠EBC+∠FCB=360°. (2)如图,连结CD,   由题意得∠B+∠E=∠ECD+∠BDC, 初中同步培优卷 ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°, ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°. (3)如图,延长DA,GN交于点P,延长BM,EH交于点Q,延长NG, CF交于点S,延长HE,AD交于点T,延长FC,MB交于点R,   由(2)得∠P+∠Q+∠S+∠T+∠R=180°, 初中同步培优卷 ∵∠P+∠PAN+∠PNA=180°, ∴∠PAN+∠PNA=180°-∠P, ∴∠DAN+∠GNA=180°-∠PAN+180°-∠PNA=180°+∠P, 同理可得∠BMH+∠EHM=180°+∠Q,∠CFG+∠FGN=180°+ ∠S,∠HED+∠ADE=180°+∠T,∠FCB+∠CBM=180°+∠R, ∴∠DAN+∠GNA+∠BMH+∠EHM+∠CFG+∠FGN+∠HED+ ∠ADE+∠FCB+∠CBM=180°×5+∠P+∠Q+∠S+∠T+∠R= 1 080°. 初中同步培优卷 $