专项突破1 平行线“拐点”问题中的常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线“拐点”问题，系统梳理猪蹄、铅笔、鹰嘴三大模型，通过支架示意图、栏杆结构等实际问题导入，以作平行线辅助线为学习支架，连接平行线性质与复杂角度计算，构建知识脉络。 其亮点在于融合多解法与整体思想，如猪蹄模型通过两种辅助线构造培养几何直观，整体思想解决角度比例问题发展推理意识，结合生活实例强化模型意识。学生能提升问题转化能力，教师可依托系统模型与例题优化教学效率。

专项突破1　平行线“拐点”问题中的常见模型 初中同步培优课堂  　猪蹄模型 1.【学科特色·多解法】如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点, 已知∠2=28°,∠BPC=58°,则∠1的度数为     ( )   A.20°　　    B.30°　　    C.40°　　    D.35°     B     初中同步培优课堂 解析　【解法一】作辅助线构造内错角相等:过点P作射线 PN∥AB,如图①. ∵PN∥AB,AB∥CD,∴PN∥CD, ∴∠4=∠2=28°, ∴∠3=∠BPC-∠4=58°-28°=30°, ∵PN∥AB, ∴∠3=∠1,∴∠1=30°.故选B. 初中同步培优课堂        【解法二】作辅助线构造同旁内角互补:过点P作射线PM∥ AB,如图②. ∵PM∥AB,AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠4=180°-∠2=180°-28° =152°,∵∠4+∠BPC+∠3=360°, ∴∠3=360°-∠BPC-∠4=360°-58°-152°=150°, ∵AB∥PM,∴∠1=180°-∠3=180°-150°=30°. 故选B. 初中同步培优课堂 2.(2025安徽阜阳临泉模拟)如图所示的是某型号支架的示意 图,EO可以绕点O上下转动,OA⊥BC,∠B=25°,∠O=30°, 当EO∥AB时,EO需向上转动　     ( )   A.25°　　    B.30°　　    C.35°　　    D.40°     C     初中同步培优课堂 解析　如图,过点O作OD∥AB,过点C作CF∥AB.   ∵OA⊥BC,∴∠OCB=90°,即∠2+∠3=90°. ∵CF∥AB,∴∠2=∠B=25°. ∴∠3=90°-∠2=90°-25°=65°. ∵OD∥AB,CF∥AB,∴OD∥CF. 初中同步培优课堂 ∴∠DOA=∠3=65°,即∠1+∠4=65°. ∵∠1=30°,∴∠4=65°-∠1=35°, 即∠DOE=35°,∴当EO∥AB时,EO需向上转动35°, 故选C. 初中同步培优课堂 3.(2025河南周口项城月考)如图,已知AB∥CD,BE和DF分别 平分∠ABF和∠CDE,若∠ABF=60°,∠CDE=50°,则∠E和∠F 的大小关系为( )   A.∠E>∠F　　    B.∠E<∠F C.∠E=∠F　　    D.无法判断     B     初中同步培优课堂 解析　∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE, ∴∠ABE=∠FBE= ∠ABF=30°,∠CDF=∠EDF= ∠CDE= 25°, 如图,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥AB, 初中同步培优课堂 ∵AB∥CD,∴EG∥FH∥AB∥CD, ∴∠BEG=∠ABE=30°,∠BFH=∠ABF=60°,∠CDF=∠HFD= 25°,∠CDE=∠DEG=50°, ∴∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,∠BFD=∠BFH+∠DFH=85°, ∴∠BED<∠BFD.故选B. 初中同步培优课堂 4.(2025河南郑州桐柏一中期中)如图,AB∥CD,ME⊥EF,则α,β, γ之间的关系是 ( )   A.β=α+γ　　     B.α+β+γ=180° C.α+β-γ=90°　　    D.β+γ-α=90°     C     初中同步培优课堂 解析　过点E作EH∥AB,过点F作FN∥AB,如图所示, ∵AB∥CD,∴EH∥AB∥CD∥FN, ∴∠MEH=∠BME=α,∠FEH=∠EFN,∠NFG=∠FGC=γ. ∵ME⊥EF,∴∠MEF=90°, ∴∠FEH=∠MEF-∠MEH=90°-α. 初中同步培优课堂 ∵∠EFG=β,∴∠EFN=∠EFG-∠NFG=β-γ, ∵∠FEH=∠EFN,∴90°-α=β-γ, ∴α+β-γ=90°. 故选C. 初中同步培优课堂 5.【学科特色·整体思想】如图所示,AB∥CD,3∠ABF=2∠ABE, 3∠CDF=2∠CDE,则∠E∶∠F=___________.       3∶2     初中同步培优课堂 解析　如图,过点F作l2∥CD,过点E作l1∥CD,   ∵AB∥CD,∴l1∥l2∥AB∥CD, ∴∠1=∠CDF,∠2=∠ABF,∠3=∠CDE,∠4=∠ABE, ∴∠DFB=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF,∠BED=∠3+∠4=∠CDE 初中同步培优课堂 +∠ABE, ∵3∠ABF=2∠ABE,3∠CDF=2∠CDE, ∴∠ABF= ∠ABE,∠CDF= ∠CDE, ∴∠BFD=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF= (∠CDE+∠ABE)=  ∠BED, 即∠BED∶∠BFD=3∶2. 初中同步培优课堂 6.(2025江苏徐州西苑中学期末) (1)如图①,AB∥CD,试问∠2与∠1+∠3的关系是什么?并说明 理由. (2)如图②,AB∥CD,试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的关系是什 么?请直接写出结论. (3)如图③,AB∥CD,试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的 关系是什么?请直接写出结论. 初中同步培优课堂 解析    (1)∠2=∠1+∠3.理由如下: 如图,过点E作EF∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD, ∴∠1=∠BEF,∠3=∠CEF, ∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3. (2)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5. 初中同步培优课堂 详解:如图,分别过点E,G,M作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN. ∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5, ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+ ∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5. 初中同步培优课堂 (3)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7. 详解:如图,分别过点E,G,M,K,P作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB, KL∥AB,PQ∥AB, ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ, ∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠KMN= 初中同步培优课堂 ∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7, ∴∠2+∠4+∠6=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠KMN+∠KPQ+ ∠QPC=∠1+∠EGH+∠HGM+∠LKM+∠LKP+∠7=∠1+∠3+ ∠5+∠7. 初中同步培优课堂  　铅笔模型 7.【学科特色·多解法】(2025山东青岛二十六中期中)如图所 示的是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平 行.若∠1=29°,∠2=50°,则∠3的度数为　     ( )     C     A.139°　　    B.149°　　    C.159°　　    D.169° 初中同步培优课堂 解析　如图,过点E作EF∥AB.   【解法一】∵AB∥CD,∴CD∥EF, ∴∠DEF=∠1=29°. 初中同步培优课堂 ∵∠2=50°,∴∠BEF=∠2-∠DEF=50°-29°=21°. ∵EF∥AB,∴∠3=180°-∠BEF=180°-21°=159°. 故选C. 【解法二】∵EF∥AB,∴∠3+∠BEF=180°. ∵AB∥CD,∴CD∥EF,∴∠4+∠DEF=180°. ∴∠3+∠BEF+∠4+∠DEF=360°, 即∠3+∠2+∠4=360°. ∵∠2=50°,∴∠3+∠4=360°-50°=310°. 初中同步培优课堂 ∵∠1=29°,∴∠4=180°-∠1=180°-29°=151°. ∴∠3=310°-∠4=310°-151°=159°. 故选C. 初中同步培优课堂 8.(2025浙江金华义乌期中)某景区电动升降栏杆的示意图如 图所示,BA垂直地面AE于A,当CD平行于地面AE时,∠ABC+ ∠BCD= ( ) A.180°　　    B.210°　　    C.250°　　    D.270°     D     初中同步培优课堂 解析　过点B作BF∥AE,如图, ∵CD∥AE,∴BF∥CD,∴∠BCD+∠CBF=180°. ∵AB⊥AE,BF∥AE,∴AB⊥BF.∴∠ABF=90°. ∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°.故 选D. 初中同步培优课堂 9.(1)如图①,∠CEF=90°,点B在射线EF上,AB∥CD.若∠ABE= 130°,求∠C的度数. (2)如图②,∠CEF=120°,点B在射线EF上,AB∥CD.猜想∠ABE 与∠C的数量关系,并说明理由. (3)如图③,在(2)的条件下,作GC⊥CE,垂足为C,反向延长CD至 H,若∠GCH=θ,则∠ABE的度数为______(请用含θ的式子表 示). 初中同步培优课堂 解析    (1)如图①,过E作EK∥AB, 则∠ABE+∠1=180°,∴∠1=180°-∠ABE=50°, ∵∠CEF=90°,∴∠2=90°-∠1=40°, ∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2=40°.        初中同步培优课堂 (2)∠ABE-∠C=60°, 理由:如图②,过E作EK∥AB, 则∠ABE+∠1=180°,∴∠1=180°-∠ABE, ∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2. ∵∠CEF=∠1+∠2=120°,∴180°-∠ABE+∠C=120°, ∴∠ABE-∠C=180°-120°=60°. (3)150°-θ. 初中同步培优课堂  　鹰嘴模型 10.(2025江苏镇江模拟)在数学活动课上,小丽同学将含30°角 的直角三角尺的一个顶点按如图所示的方式放置在直尺的一 边上,测得∠1=36°,则∠2的度数是 ( ) A.56°　　    B.64°　　    C.72°　　    D.66°     D     初中同步培优课堂 解析　如图,过点E作EM∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥EM∥CD,∴∠3=∠1=36°,∠MEG=∠2. ∵∠FEH=30°,∴∠MEG=∠3+∠FEH=36°+30°=66°. ∴∠2=∠MEG=66°.故选D. 初中同步培优课堂 11.(2025天津滨海新区期中)如图,已知AB∥CD,E,F是直线AB 上方两点,连接AE,CE,AF,CF,已知AF平分∠BAE,且∠ECF=  ∠ECD.若∠E=15°,∠ECD=75°,则∠F的度数为 ( )   A.10°　　    B.15°　　    C.20°　　    D.30°     C     初中同步培优课堂 解析　如图,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB.   ∵∠ECD=75°,∠ECF= ∠ECD,∴∠1=50°. ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EM∥FN. ∴∠4+∠AEC=∠ECD=75°.∵∠AEC=15°,∴∠4=75°-15° =60°. 初中同步培优课堂 ∵EM∥AB,∴∠EAB=∠4=60°. ∵AF平分∠BAE,∴∠3= ∠EAB=30°. ∵FN∥AB,∴∠2=∠3=30°. ∵FN∥CD,∴∠2+∠AFC=∠1=50°. ∴∠AFC=50°-30°=20°.故选C. 初中同步培优课堂 12.已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上. (1)如图1,点P在AB的上方,则∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何 数量关系?请说明理由. (2)如图2,在(1)的条件下,若∠EPF=60°,∠PEA的平分线和 ∠PFC的平分线交于点G,求∠G的度数. 初中同步培优课堂 解析    (1)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下: 如图,过点P作PN∥AB,   因为AB∥CD,所以AB∥PN∥CD, 所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC, 初中同步培优课堂 所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF,即 ∠PFC=∠PEA+∠EPF. (2)如图,过点G作AB的平行线GH, 初中同步培优课堂 因为GH∥AB,AB∥CD,所以GH∥AB∥CD, 所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG, 又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,所以 ∠HGE=∠AEG= ∠PEA,∠HGF=∠CFG= ∠PFC, 由(1)知∠PFC=∠EPF+∠PEA, 所以∠HGF= (∠EPF+∠PEA), 所以∠EGF=∠HGF-∠HGE= (∠EPF+∠PEA)- ∠PEA=  ∠EPF, 因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°. 初中同步培优课堂 $