精品解析：江西省新余市第一中学2025-2026学年高一年级下学期4月第一次段考数学试卷

新余一中高一年级下学期第一次段考 数学试题 命题人：廖宇慧 审题人：廖苏风 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象关于点中心对称 B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C. 若，则在单调递增 D. 若在上恰有三个零点，则 11. 已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.则下列结论中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以2为周期的周期函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确但填在答题卡中的横线上） 12. 已知角的终边在直线上，则____________. 13. 已知函数（）的最小正周期为，则____. 14. 设、，且，则的最小值等于________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求下列各式的值 （1）. （2） 16. 已知． （1）利用诱导公式将化简，并求值； （2）若，求的值． 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）设，若方程在上有解，求实数的取值范围. 19. 已知函数，． （1）证明：对，； （2）记，，证明：对，； （3）若，直线分别与函数，，的图象的交点的横坐标为判断的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余一中高一年级下学期第一次段考 数学试题 命题人：廖宇慧 审题人：廖苏风 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助交集定义及任意角定义计算即可得. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则. 2. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 3. 已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由周期公式及单调性逐个判断即可； 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减，故C正确，D错误. 故选：C 4. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得出周期即可得出，再代入特殊点求出. 【详解】根据函数的部分图象知， ， 所以，解得， 由图象可得且，得． 故选：C. 5. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A． 【考点】求三角函数的解析式 【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等. 6. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移变换得，根据为偶函数可得结果. 【详解】向左平移个单位长度， 得到函数 因为为偶函数，所以，， 所以，， 因为，所以时，取最小值. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，， 展开得：， 两式相减得：，则：， 即：. 8. 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值. 所以； 由，得. 所以. 令，则. 由在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，所以， 所以. 所以，解得. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若时，，此时取可使成立. 当时，，其中时，. 所以时满足题意. 故的最大值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限； B选项，顺时针转动了30°，故B正确； C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合； D选项，由扇形面积公式进行求解. 【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故A错误； B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是，故B正确； C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，C正确； D选项，扇形面积为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象关于点中心对称 B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C. 若，则在单调递增 D. 若在上恰有三个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据整体法，结合正弦函数的性质即可判断ACD，根据函数图像平移的性质即可判断B. 【详解】对于A,，令， 当，对称中心为,A选项正确． 对于B，将的图象向左移动个单位得到， 若的图像关于轴对称，则． 又因为，则的最小值为B选项正确． 对于C．， 令，， 即的单调递增区间为， 当时，，又因为C选项错误． 对于D．，因为在上恰有三个零点， 所以D选项正确． 11. 已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.则下列结论中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以2为周期的周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令结合奇函数的定义判断A，设，结合当，得到，即可判断B，由说明C，结合周期性与奇偶性判断D. 【详解】令，可得，，函数是奇函数，故A不正确； 设，因为当，， 则，， 所以，，则， 所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为 所以，所以函数是以为周期的周期函数，故C正确； 所以，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确但填在答题卡中的横线上） 12. 已知角的终边在直线上，则____________. 【答案】## 【解析】 【详解】根据题意可知：， 所以， 所以. 13. 已知函数（）的最小正周期为，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，得到， 所以， 所以. 14. 设、，且，则的最小值等于________ 【答案】 【解析】 【详解】 由三角函数的性质可知，， 所以，即， 所以， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求下列各式的值 （1）. （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知． （1）利用诱导公式将化简，并求值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对函数表达式进行化简，然后利用特殊角的三角函数值计算即可. （2）根据同角三角函数的关系式和切弦互化法计算即可. 【小问1详解】 因为 ，所以． 【小问2详解】 由（1）知，若，即， 因为， 所以． 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和余弦的二倍角公式求解即可； （2）利用结合正弦的两角和公式求解即可. 【小问1详解】 由解得， 所以． 【小问2详解】 由，得， 则， 所以． 18. 已知函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）设，若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数公式化简得，然后根据正弦函数的对称中心公式求出对称中心； （2）根据已知条件可求出的值，再结合的范围求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值； （3）将方程进行化简，然后通过换元法将方程转化为关于新变量的方程，最后根据方程有解求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 令，，则，， 故函数图象的对称中心为，． 【小问2详解】 由，可得，化简得， 因为，所以，所以， 所以 ． 【小问3详解】 方程在上有解，， 所以方程变为， 即方程在上有解， 设，则，所以， 因为上，所以，则， 则原方程可化为在上有解， 由题知，，故方程可化为在上有解， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 所以，故，故实数的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）证明：对，； （2）记，，证明：对，； （3）若，直线分别与函数，，的图象的交点的横坐标为判断的大小关系，并证明． 【答案】（1） 一方面，， 另一方面，， 故对，． （2） 法一：先证，． 因为，， 且为偶函数且在上单调递减，由（1）知，， 所以，所以．（*） 再证，． 因为，， 为偶函数且在上单调递减，同样可证， 所以， （或者对于*式，用替换x，得，得）. 法二：， ，，所以． 同理，． 于是对，若， 则， 若，则， 故，． （3），证明： 令，则，于是， 因为，于是与是方程的根，其中，， 令，令，当时，， 又在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 于是．由，所以， 又因为在上单调递减可知，．从而， 又因为在上单调递增，从而，故． 【解析】 【分析】（1）先把原不等式拆成左右两个部分，再利用辅助角公式将 化为单一三角函数，通过其最大值 与 比较大小，即可得证. （2）方法一：先依托（1）的结论推出，结合余弦偶函数特性与上的单调递减性，搭配诱导公式证得；再用同理思路，借助正弦单调递增性，证出，最终确定、的表达式并比较出大小，全程以三角函数单调性、奇偶性和诱导公式为工具，以第一问结论为关键依据，分两步完成证明； 方法二：借助和差化积公式，将待比较的三角函数差式转化为乘积形式，通过分析各部分的取值范围与符号，直接证得 与 ；之后，对 与 的大小关系分情况讨论，无论哪种情况，都能推出 的最大值小于 的最大值，从而严谨证明 恒成立. （3）先对 和 分别进行反证，结合 在 上单调递减， 等性质，推出矛盾，从而得到 ；再将 转化为方程 的根问题，构造函数 ，利用复合函数单调性判断其在 上单调递减，进而得到 ，再结合 和 的单调性，最终推导出 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，， 不妨假设，因为，则， 根据单位圆上扇形面积大于构成扇形的圆弧所对弦与两半径围成的三角形面积可知，， 所以，矛盾，所以． 不妨假设，因为，则， 又，所以，矛盾，所以． 综上可知，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $