题号猜押03 天津卷8～9题立体几何与解析几何6大考点（选择题）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 8~9题立体几何与解析几何（选择题） 溯源：近5年真题显示，立体几何：第8题连续考查几何体体积与体积比问题，2023年考查棱锥体积比（等体积法），2024年考查五面体体积（割补法）；圆锥曲线：第9题固定考查双曲线与抛物线综合，2021年以抛物线准线交双曲线渐近线为背景求离心率，2025年以双曲线与抛物线交点结合向量条件求离心率。 预测：2026年将延续第8题大概率延续几何体体积问题，可能考查棱台、组合体体积或体积最值；第9题继续考查双曲线与抛物线交汇，以焦点、准线、渐近线为背景求离心率或参数值，难度中等偏上。 备考核心：立体几何：掌握等体积法（顶点转换）、割补法求不规则几何体体积，熟练运用锥体体积比等于对应棱长乘积比；圆锥曲线：熟记双曲线与抛物线的定义、焦点、准线、渐近线等基本性质，掌握“联立方程—韦达定理”的通法，灵活运用定义转化距离关系。 考点1 立体几何中求体积 1．（2025·天津·二模）已知在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把三棱锥看作长方体切割成的几何体，利用体积差可求答案. 【详解】由题意可得三棱锥可看作由长方体截取得到的，如图，设长方体的长宽高分别为， 则，解得. 长方体的体积为，切去的四个小棱锥体积相等，均为， 所以三棱锥的体积为2. 故选：B 2．（2025·天津·模拟预测）已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为3，则，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离，利用向量法求出，利用面积公式求出的面积，进而求出四面体体积，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为3，则， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 又， 所以， 所以的面积为， 所以四面体体积为，即四面体体积为. 故选：D 3．（2025·天津南开·二模）如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】 设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则E到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 4．（2025·天津和平·二模）已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，    四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体， 又该正方体的体积为，即， 解得，则， 所以，得， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图，    故该五面体的体积为 . 故选：D 考点2 立体几何中求体积比 1．（2025·天津·二模）在四面体ABCD中，点M，N在边AC上，且，点S，T在边BD上，且，记四面体ABCD的体积为V，MSTN的体积为，则的值为（    ） A．6 B．5 C．10 D．不是定值 【答案】A 【分析】根据四面体体积公式进行换底面转化，即可求解. 【详解】 ，，，， ， 所以， 故选：A. 2．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将刍甍补成如图所示的三棱柱，首先证明三棱柱是直三棱柱，然后根据体积的转换即可求解. 【详解】因为， 所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱， 不妨设的面积为，三棱锥的体积为， 从而. 故选：D. 3．（2025·天津·二模）如图，在正四棱锥中，记其体积为V，且，，，过M，N，P的平面将四棱锥切出一个多面体，记其体积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得棱上点的位置与线段比，延长构建三棱锥，根据三角形等积变换以及棱锥体积公式，可得答案. 【详解】如图，分别延长NM，BA交于点E，分别延长NP，BC交于点F，连接EF，在平面SBC内，作交SC于G， 则平面平面，故点Q，R在线段EF上． 则，又，所以． 同理，，则，， 记点N到平面ABCD的距离为d（N，ABCD），点S到平面ABCD的距离为d（S，ABCD）， 易得，所以． 同理，， 所以．即． 故选：C． 4．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，先证明面，再由及棱锥和棱柱的体积公式，即可得. 【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 5．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 考点3 立体几何中的球 1．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由题意易得平面平面，从而可得，进而可得体积较小的部分为三棱锥，进而可求得其外接球的体积. 【详解】取的中点，连接 由题意可得，又，所以，所以平面即为平面， 又，平面，平面，所以平面， 易得，所以四边形为平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面，又为上底面内（包括边界）的一动点， 所以，由图易知的轨迹把该正四棱柱截成两部分中体积较小的部分为三棱锥， 又， 所以三棱锥的外接球的半径， 较小部分的外接球的体积为. 故选：D. 2．（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得. 【详解】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 3．（2025·天津·二模）图①是底面边长为的正三棱柱，直线经过上下底面的中心，将图①中三棱柱的上底面绕直线逆时针旋转得到图②，若为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，建立空间直角坐标系，求出旋转前后的坐标，根据向量的数量积求出棱柱的高，根据勾股定理求出外接球的半径，进而求出表面积即可. 【详解】初始几何体为底面边长为 的正三棱柱，设高为H， 上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，其外接球球心必在旋转轴上， 正三棱柱底面正三角形的外接圆半径 ， 设球心到任一底面的距离为 d，则球半径 满足： 由于几何体对称，球心在正中间，故， 如图，以下底面ABC的重心为原点建立空间直角坐标系， 则， 旋转后的顶点坐标为, 所以，长度， 所以数量积为; ， 由夹角 ， 所以， 球心在中间，高度 ， 半径, 所以表面积, 故选；C 4．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 5．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得出，即可求出体积. 【详解】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C 考点4 求双曲线的方程 1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 2．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 3．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 4．（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 5．（25-26高三上·天津·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线相交于两点，在直线的左边，与双曲线的一条渐近线交于点，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点得出平行关系，结合渐近线斜率得到，结合定义和余弦定理可求答案. 【详解】如图，因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以. 设焦距为，直线与轴的交点为， 因为，所以; 所以，又，所以. 又，所以， 由双曲线的定义可得； 在中，由余弦定理可得， 解得或（舍），所以，， 双曲线的方程为. 故选：D    考点5 求双曲线的离心率 1．（2026·天津·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】由可得为中点，再设出点坐标，可表示出点坐标，则可利用及点在双曲线上列出与、、有关等式，最后利用离心率定义计算即可得. 【详解】由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 2．（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，双曲线（，）的渐近线方程为， 取，即，因为，且圆的半径为， 则到的距离为， 所以，结合， 整理得到，即的离心率为. 3．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 4．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 5．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率. 【详解】根据题意如图：    点，其中一条渐近线为即， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 因为为直角三角形，所以， 在中，， 即， ∵，∴，∴， 即的离心率为， 故选：D. 考点6 双曲线与抛物线结合 1．（2026·天津和平·一模）已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的，求出，再结合直线的斜率为可得，进而结合的关系求解即可. 【详解】抛物线的准线的方程为，则焦点， 而双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第四象限内的点， 联立，解得，即， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，易得， 而，， 在中，，即， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 2．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 3．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 4．（2026·天津河西·一模）双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用向量垂直的条件构建等式，找出双曲线中的关系，从而得离心率. 【详解】对于双曲线，右焦点为，其中，离心率， 渐近线为， 因为抛物线以为焦点，故，即. 又因为准线交渐近线于，将代入渐近线方程得：，过作轴的垂线，交抛物线于第一象限的点， 因为，即向量， 又因为，， 所以，整理得：， 所以离心率. 5．（2025·天津河东·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求点到渐近线的距离，再根据可求得、，即可根据三角形面积列出关系式，再根据得出关系式，即可解方程组求出. 【详解】设双曲线的半焦距为，设轴与准线交于点， 则，①，准线方程为， 不妨设直线与渐近线垂直， 则点到直线的距离，则， 因，则，， 则②， 因，即，则③， 联立①②③得，，则双曲线的方程为. 故选：B 1．（2025·天津南开·模拟预测）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解几章算术・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第一、二层的每一个球均分别与其下一层相邻的三个球相切．现将“三角垛”放置在地面上，若每个球的半径均为1，则第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心，可得到一个正四面体，设底面的中心为，连接，得到“三角垛”的高度为，结合正四面体的性质，即可求解. 【详解】根据题意，连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心， 可得到一个正四面体，该正四面体的棱长为，如图所示， 设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点， 连接，则为正四面体的高，所以该“三角垛”的高度为， 由，可得， 所以, 所以“三角垛”的高度为. 故选：D. 2．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的值，最后利用锥体体积公式求解即可. 【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面， 设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 取的中点，连接、， 对外接球，解得：， 对内切球：， 故四棱锥表面积， 由体积法：， 所以， 令，则， 进而， 当且仅当，即时，取最小值，此时. 因此，该正四棱锥的体积为. 故选：B. 3．（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用正方体的外接球与内切球的性质结合球体的表面积与体积公式计算即可. 【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知： . 故选：A 4．（2025·天津·一模）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定与性质证得根据等腰三角形的性质与勾股定理求出矩形的面积，再利用三棱锥的体积公式即可得出的答案. 【详解】在矩形中，有， 因为平面， 所以平面，则平面， 因为平面，所以 在中，，，则， 又因为为边的中点，所以， 易知， 因为 所以，则，因为， 则， 在中，， 则矩形的面积为. 因为平面， 所以平面，所以多面体的体积为： . 故选：A. 5．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 6．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 7．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线得，又得，又的一个焦点到直线l的距离为，即可求解，设，由在上即可求出，进而得即可求解. 【详解】由双曲线的一条渐近线为直线l：有， 又，的一个焦点为到直线的距离为， 所以，所以双曲线， 设，由在上，所以， 由， 故选：B.    8．（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直关系的向量表示得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算得，进而求出渐近线方程. 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 9．（25-26高三上·天津西青·月考）已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 10．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，且，又过作一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第二象限），且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义以及角平分线性质可知，再由渐近线方程求出，在中，由正弦定理以及余弦定理可得，即可求得双曲线标准方程. 【详解】延长交于点，连接，如下图所示：    因为是的平分线，所以可得， 因此为的中点，且； 由双曲线定义可知, 又为的中点，所以，且， 由可得， 因为垂足在第二象限，所以渐近线为，即； 易知，所以点到渐近线的距离为； 所以；因此， 在中，由正弦定理可得，所以可得； 再由余弦定理可得，即，可得； 又，所以， 因此双曲线的方程为. 故选：C 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 8~9题立体几何与解析几何（选择题） 参考答案 押题预测 考点1 立体几何中求体积 1．【答案】B 【分析】把三棱锥看作长方体切割成的几何体，利用体积差可求答案. 【详解】由题意可得三棱锥可看作由长方体截取得到的，如图，设长方体的长宽高分别为， 则，解得. 长方体的体积为，切去的四个小棱锥体积相等，均为， 所以三棱锥的体积为2. 故选：B 2． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为3，则，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离，利用向量法求出，利用面积公式求出的面积，进而求出四面体体积，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为3，则， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 又， 所以， 所以的面积为， 所以四面体体积为，即四面体体积为. 故选：D 3． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】 设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则E到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 4． 【答案】D 【分析】易知四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，    四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体， 又该正方体的体积为，即， 解得，则， 所以，得， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图，    故该五面体的体积为 . 故选：D 考点2 立体几何中求体积比 1． 【答案】A 【分析】根据四面体体积公式进行换底面转化，即可求解. 【详解】 ，，，， ， 所以， 故选：A. 2． 【答案】D 【分析】将刍甍补成如图所示的三棱柱，首先证明三棱柱是直三棱柱，然后根据体积的转换即可求解. 【详解】因为， 所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱， 不妨设的面积为，三棱锥的体积为， 从而. 故选：D. 3． 【答案】C 【分析】由题意可得棱上点的位置与线段比，延长构建三棱锥，根据三角形等积变换以及棱锥体积公式，可得答案. 【详解】如图，分别延长NM，BA交于点E，分别延长NP，BC交于点F，连接EF，在平面SBC内，作交SC于G， 则平面平面，故点Q，R在线段EF上． 则，又，所以． 同理，，则，， 记点N到平面ABCD的距离为d（N，ABCD），点S到平面ABCD的距离为d（S，ABCD）， 易得，所以． 同理，， 所以．即． 故选：C． 4． 【答案】D 【分析】根据已知，先证明面，再由及棱锥和棱柱的体积公式，即可得. 【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 5． 【答案】D 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 考点3 立体几何中的球 1． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由题意易得平面平面，从而可得，进而可得体积较小的部分为三棱锥，进而可求得其外接球的体积. 【详解】取的中点，连接 由题意可得，又，所以，所以平面即为平面， 又，平面，平面，所以平面， 易得，所以四边形为平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面，又为上底面内（包括边界）的一动点， 所以，由图易知的轨迹把该正四棱柱截成两部分中体积较小的部分为三棱锥， 又， 所以三棱锥的外接球的半径， 较小部分的外接球的体积为. 故选：D. 2．【答案】C 【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得. 【详解】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 3． 【答案】C 【分析】由题意可得上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，建立空间直角坐标系，求出旋转前后的坐标，根据向量的数量积求出棱柱的高，根据勾股定理求出外接球的半径，进而求出表面积即可. 【详解】初始几何体为底面边长为 的正三棱柱，设高为H， 上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，其外接球球心必在旋转轴上， 正三棱柱底面正三角形的外接圆半径 ， 设球心到任一底面的距离为 d，则球半径 满足： 由于几何体对称，球心在正中间，故， 如图，以下底面ABC的重心为原点建立空间直角坐标系， 则， 旋转后的顶点坐标为, 所以，长度， 所以数量积为; ， 由夹角 ， 所以， 球心在中间，高度 ， 半径, 所以表面积, 故选；C 4． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 5． 【答案】C 【分析】根据条件可得出，即可求出体积. 【详解】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C 考点4 求双曲线的方程 1． 【答案】A 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 2． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 3． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 4． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 5． 【答案】D 【分析】根据中点得出平行关系，结合渐近线斜率得到，结合定义和余弦定理可求答案. 【详解】如图，因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以. 设焦距为，直线与轴的交点为， 因为，所以; 所以，又，所以. 又，所以， 由双曲线的定义可得； 在中，由余弦定理可得， 解得或（舍），所以，， 双曲线的方程为. 故选：D    考点5 求双曲线的离心率 1． 【答案】A 【分析】由可得为中点，再设出点坐标，可表示出点坐标，则可利用及点在双曲线上列出与、、有关等式，最后利用离心率定义计算即可得. 【详解】由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 2．【答案】A 【详解】因为，双曲线（，）的渐近线方程为， 取，即，因为，且圆的半径为， 则到的距离为， 所以，结合， 整理得到，即的离心率为. 3． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 4． 【答案】A 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 5． 【答案】D 【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率. 【详解】根据题意如图：    点，其中一条渐近线为即， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 因为为直角三角形，所以， 在中，， 即， ∵，∴，∴， 即的离心率为， 故选：D. 考点6 双曲线与抛物线结合 1． 【答案】D 【分析】由已知可得出的，求出，再结合直线的斜率为可得，进而结合的关系求解即可. 【详解】抛物线的准线的方程为，则焦点， 而双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第四象限内的点， 联立，解得，即， 又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，易得， 而，， 在中，，即， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 2． 【答案】A 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 3． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 4．【答案】D 【分析】利用向量垂直的条件构建等式，找出双曲线中的关系，从而得离心率. 【详解】对于双曲线，右焦点为，其中，离心率， 渐近线为， 因为抛物线以为焦点，故，即. 又因为准线交渐近线于，将代入渐近线方程得：，过作轴的垂线，交抛物线于第一象限的点， 因为，即向量， 又因为，， 所以，整理得：， 所以离心率. 5． 【答案】B 【分析】先求点到渐近线的距离，再根据可求得、，即可根据三角形面积列出关系式，再根据得出关系式，即可解方程组求出. 【详解】设双曲线的半焦距为，设轴与准线交于点， 则，①，准线方程为， 不妨设直线与渐近线垂直， 则点到直线的距离，则， 因，则，， 则②， 因，即，则③， 联立①②③得，，则双曲线的方程为. 故选：B 通关特训 1． 【答案】D 【分析】连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心，可得到一个正四面体，设底面的中心为，连接，得到“三角垛”的高度为，结合正四面体的性质，即可求解. 【详解】根据题意，连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心， 可得到一个正四面体，该正四面体的棱长为，如图所示， 设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点， 连接，则为正四面体的高，所以该“三角垛”的高度为， 由，可得， 所以, 所以“三角垛”的高度为. 故选：D. 2． 【答案】B 【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的值，最后利用锥体体积公式求解即可. 【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面， 设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 取的中点，连接、， 对外接球，解得：， 对内切球：， 故四棱锥表面积， 由体积法：， 所以， 令，则， 进而， 当且仅当，即时，取最小值，此时. 因此，该正四棱锥的体积为. 故选：B. 3．【答案】A 【分析】利用正方体的外接球与内切球的性质结合球体的表面积与体积公式计算即可. 【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知： . 故选：A 4． 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定与性质证得根据等腰三角形的性质与勾股定理求出矩形的面积，再利用三棱锥的体积公式即可得出的答案. 【详解】在矩形中，有， 因为平面， 所以平面，则平面， 因为平面，所以 在中，，，则， 又因为为边的中点，所以， 易知， 因为 所以，则，因为， 则， 在中，， 则矩形的面积为. 因为平面， 所以平面，所以多面体的体积为： . 故选：A. 5． 【答案】C 【分析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 6． 【答案】A 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 7．【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线得，又得，又的一个焦点到直线l的距离为，即可求解，设，由在上即可求出，进而得即可求解. 【详解】由双曲线的一条渐近线为直线l：有， 又，的一个焦点为到直线的距离为， 所以，所以双曲线， 设，由在上，所以， 由， 故选：B.    8． 【答案】A 【分析】利用垂直关系的向量表示得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算得，进而求出渐近线方程. 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 9． 【答案】A 【分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 10． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义以及角平分线性质可知，再由渐近线方程求出，在中，由正弦定理以及余弦定理可得，即可求得双曲线标准方程. 【详解】延长交于点，连接，如下图所示：    因为是的平分线，所以可得， 因此为的中点，且； 由双曲线定义可知, 又为的中点，所以，且， 由可得， 因为垂足在第二象限，所以渐近线为，即； 易知，所以点到渐近线的距离为； 所以；因此， 在中，由正弦定理可得，所以可得； 再由余弦定理可得，即，可得； 又，所以， 因此双曲线的方程为. 故选：C 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押038~9题立体几何与解析几何（选择 题) ONE PART1命题溯源 潮源：近5年真题显示，立体几何：第8题连续考查几何体体积与体积比问题，2023年考查棱锥体积 比（等体积法），2024年考查五面体体积（割补法）；圆锥曲线：第9题固定考查双曲线与抛物线综合， 2021年以抛物线准线交双曲线渐近线为背景求离心率，2025年以双曲线与抛物线交点结合向量条件求离心 率。 预测：2026年将延续第8题大概率延续几何体体积问题，可能考查棱台、组合体体积或体积最值；第 9题继续考查双曲线与抛物线交汇，以焦点、准线、渐近线为背景求离心率或参数值，难度中等偏上。 备考核心：立体几何：掌握等体积法（顶点转换）、割补法求不规则几何体体积，熟练运用锥体体积 比等于对应棱长乘积比：圆锥曲线：熟记双曲线与抛物线的定义、焦点、准线、渐近线等基本性质，掌握 “联立方程一韦达定理”的通法，灵活运用定义转化距离关系。 TWO PART2押题预测 。考点1立体几何中求体积 L.(2025·天津·二模)已知在三棱锥A-BCD中， AD=BC=5,AB=CD=而，AC=BD=3,则三 棱锥A-BCD的体积为() A.1 B.2 C.3 D.4 2。(2025天津模拟预测)已知正方体ABCD-ABCD休积为KBW-ME,C丽=2C,则四面体 AMND 体积为() A. B. C. D.gr 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025天津南开二模)如图所示，体积为8T的半圆柱的轴截面为平面 ABB A,AB 是圆柱底面的直径， 2π 0为底面的圆心，BB为一条母线，点D为棱BB的中点，且A=4,AE和BC的弧长为号.则三棱锥 O-CDE的体积为()· E 4v5 A.83 B.4V5 C.25 D.3 4.(2025:天津和平二模)已知正方体16CD-ABC 的体积为16V2 则四棱锥4~4BCD 与四棱锥 B-ABCD 重叠部分的体积是() A.② B.2V2 8V2 C.3 D.03 3 。考点2立体几何中求体积比 1.(2025天津二模)在四面体ABCD中，点M,N在边4C上，且MN=之4C,点S,T在边BD上，且 ST-BD V ,记四面体ABCD的体积为匕，MSTN的体积为，则7的值为() A.6 B.5 C.10 D.不是定值 2.(2025·天津一模)《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有表无广. 刍，草也.甍，屋盖也.”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.现有一刍甍如图所 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 示，底面BCD为矩形，FE4B月EF=AB,△BCP为等边三角形，且平面CF平面BCD,点M为 棱EF上靠近点E的三等分点，平面BCM将几何体分成体积为Y,',(化>')的左、右两部分，则7的值 为() D 2 25 3V3 A.11 B.9 C.2 D.9 3.(2025天津二模)如图，在正四枝锥5-1BCD中，记其体积为K,且=2M,25W=店 SP=2PC,过M,N,P的平面将四棱锥切出一个多面体SD-MNPOR,记其体积为V,则F的值为 () 4 3 5 A. 27 B. 27 D. ABCD-ABCD 4.(2025·天津南开·一模)如图，在平行六面体 中，P是线段4D上的一点，且 4P-PD,则三棱锥B-ACP的体积与平行六面体ABCD-4BCD的体积之比为() 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 1 C B A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.1:6 5. (2025天津河西一模)如图，在体积为'的正四棱锥P-8CD中，P死=2E历，PF=F ,设平面 MF与直线PC交于点G,记四棱锥P-ABGF的体积为'，则K:r=() 2 7 7 A.5 B. C.15 D.30 ●考点3立体几何中的球 ABCD-ABC D 1.(2025·天津北辰·三模)已知正四棱柱 的底面边长为4，侧棱长为2，点E是棱8G的 中点，P为上底面 BCD 内（包括边界）的一动点，且满足DP∥平面ACE,DP 的轨迹把该正四棱柱 截成两部分，则较小部分的外接球的体积为() 9 A.12π B.9元 C.2π D.43元 2.(2025·天津河北二模)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种 正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面 角都相等)，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二 面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为() 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 A.3 B.2 C.3 D.4 3.(2025天津二模)图0是底面边长为2,5的正三棱柱，直线'经过上下底面的中心，将图0中三棱柱 的上底面绕直线I逆时针旋转60°得到图②，若△ABC为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为 () 图① 图② A.12π B.8V6n C.24n D.24/6x 4. (2026:天津红桥·一模)在三棱锥P-1BC中，PA=PB=PC=25,AB=AC=BC=2V5 则三棱锥 P-ABC外接球的半径为() √6 3V2 A.2 B.2 C.2 D.2 5.(2025·天津武清·模拟预测)如图，在四面体PABC中，D,E分别为PC,AB的中点，且AC⊥BC, PC⊥DE,AB=2,则该四面体的外接球体积为() B E 8 A. 4π c D. 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点4求双曲线的方程 x2 y2 1.(2026天津一模)已知双曲线a=1a>0,6>0 的左、右焦点分别为F,,O是坐标原点，过 B作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P,若PF=251OPL,PF2,则双曲线的方程为（) A.2、2 =1 4 B.416 r=1 x2 y2 =1 C.42 D.84 x2 y2 2.（2025天津一模)已知双曲线云京-1a>0,6>0的左、右焦点分别为，6，点2，为双曲线 右支上一点，以坐标原点O为圆心，以O为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P,同时点 P在线段P中重线上，则该双曲线的标准方程为O 2x2 Ax2一2一=1B.3—一2一1 x2 y2 =1 2y=1 3 C.39 D.93 x2 y2 3.(2025天津模拟预测)已知双曲线a存=1a>0,6>0) 的左右焦点分别为F,,过点的直线 1:x-5y+25=0与双曲线的左右两支分别交于点4，B,且4-B,则该双曲线的方程为() xy Xy1B.481 之卫=1 A.66 C.22 D.39 C:x22 4.（2025天津河西一模)已知双曲线C:,存1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F、B,M为双曲 20 线的渐近线上的点，满足FM,F,M=0,且ME=2ME,,△MEE的面积为g，则双曲线c的方程为 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () 4.2、92 161 x2 y2 =1 B.916 c.浩 x2 y2 D.36641 x2 y2 5.(25-26高三上天津期末)已知双曲线立存=1a>06>0 的左、右焦点分别为F,F,直线 -弓与双由线相交于九B两点，5在直线，的左边，∠48=子，4与双曲线的一条渐近线交于点 E.EA+EF=0 则双曲线的方程为() x2 y2 =1 x2 y2 =1 A.812 B.39 x2 y2 x2y2 C.416 =1 D.412=1 考点5求双曲线的离心率 x2 y2 1.(2026天津一模)已知双曲线立示1a>06>0的左，右焦点分别为片和5，过5的直线交双曲 线的右支于点4，交双曲线的一条渐近线于点B(B在第二象限)若O1-F®，4=Ol,则双曲线的 离心率为() A.4 B.23 C.5 D.3 C: 2.（2026-天津河北一模)已知双曲线C云疗=1 (a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心，b为 M,N 半径作圆A,圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若1 ∠MMN=60°，则C的离心率为（） 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2W3 A.3 B.√5 C.2 D.3 x2 y 3。(2025:天津武清模拟预测)双曲线a存=1(a>0,6>0), 的右焦点为F4,0),设A、B为双曲线上关 于原点对称的两点，AF的中点为M,BF的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜 3W7 率为7，则双曲线的离心率为() 2√5 A.22 B.2 C.3 D.3 4.（2025天津北辰三模)已知双曲线C:。行a>060 的右焦点、左顶点分别为F,A,过点F且 150 倾斜角为 的直线交C的两条新近线分别于点M,V者△4 为等边三角形，则双曲线的离心率为 () 2w3 A.2 B.3 C.5 D.2V5 5.2025天津南开·三模)己知双曲线C:=14>0b0 的两个焦点分别为F,F,P是C渐近线上 一点，当P取最小值时，PE=3PF,则C的离心率为《) 3V2 6 A.5 B.2 C.4 D.2 。考点6双曲线与抛物线结合 C: 1.(2026天津和平.一模)已知双曲线C:后存=1(a>0,b>0)。 的上，下焦点分别为，，抛物线 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =43)的准线'过点F,且'与C的一条断近线交于点4，若直线5的斜率为5，则双曲线C的方 程为() A B.b2、2 =1 2 2 C. D.7y7-1 912 E: 2.(2026天津河东一模)已知双曲线5：。云1川0>0,6>0与抛物线C:y=2prp>0有相同的焦 点F,抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，三角形FAB为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线 交于原点与另一点M,三角形OF 的面积为65 ,则双曲线的方程为() 2=1 x2 y2 =1 A.24 B.42 C.2、2 =1 x2 2 D.2-y2=1 3.(2025天津二模)已知抛物线2-2pr(P>0)的焦点F是双曲线云-少=1(a>0)的一个顶点， 两条曲线的一个交点为A,过A作抛物线准线的垂线，垂足为B,若△FAB是正三角形，则p的值为() 2W6 8 V6 2W3 A.3 B.3 C.3 D.3 26天津河西一模)双曲线C:吉。>0，b>0的左、右焦点你次为公左，以点 的抛物线9，严=2pmp>0 的准线为'，I交双曲线的两条渐近线于点M,N,过点作*轴的垂线与抛物 4 线交于第一象限的点A,若∠MMN=90° 则双曲线的离心率为() A.2 B.6 C.2V2 D.3 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52025天津河东三模)已知双曲线G:产京a>06小0 的右焦点F与抛物线C2:y2=2pr(p>0) 的焦点重合，过F的直线与双曲线S的一条渐近线垂直且交于点A,FA的延长线与抛物线C的准线交于 点B,及-F历，△40B的面积为2,0为原点，双曲线C的方程为（） 22=1 x2 y2 A.42 =1 B.24 C2、2 x2 D.2-y=1 THREE PART3通关特训 1.(2025·天津南开·模拟预测)如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解几章算术·商功》中， 后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第一、二层的 每一个球均分别与其下一层相邻的三个球相切.现将“三角垛”放置在地面上，若每个球的半径均为1， 则第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为()· 2W6 A.3 B.3+2 4 C.3 462 D. 2.(2025天津河西二模)在正四棱维P-A8CD中，底面四边形4BCD是边长为5的正方形，当该正四 棱锥的外接球半径R与内切球半径”之比最小时，则该正四棱锥的体积为() 2W2+2 2WW2+1 2WW2+2 A.3 B.3 C.2W2+2 D 3 10/13