专题8.2 随机变量及其分布列（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图和对比表格系统构建随机变量及其分布列的知识体系，梳理随机变量与函数的联系区别，离散型随机变量分布列的定义性质及两点分布特征，突出离散型随机变量概念、分布列求解及性质运用等重难点。 讲义亮点在于“即学即练+题型分类”的练习设计，如离散型随机变量判断、分布列求解等题型，典例1通过取卡片问题引导学生掌握分布列求解步骤，培养数学抽象和逻辑推理素养。变式题结合医疗救援、摸球等情境，发展数学建模能力，助力学生分层提升，教师可精准教学。

专题8.2 随机变量及其分布列 教学目标 1．通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念． 2．理解取有限值的离散型随机变量的概率分布的概念，理解两点分布(0-1分布) 3．理解并运用离散型随机变量分布列的性质． 4．在用函数思想研究概率问题及理解相关概念的过程中，发展数学抽象素养，通过对概率模型两点分布(01分布)的理解，发展数学建模素养，在求解概率分布问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 理解离散型随机变量及其分布列的概念，求解简单离散型随机变量的概率分布；离散型随机变量分布列性质的运用． 2.难点 与函数类比理解随机变量；离散型随机变量分布列性质的运用；求离散型随机变量的概率分布. 知识点01 随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 植树成活的树苗数、抛掷骰子向上的点数……像这种取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量. (3)连续型随机变量 而接听电话的时长、降雨量……取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【即学即练】 1．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照取出3号球的个数可分成两类：第一类，1个3号球；第二类，2个3号球. 【解析】按球编号将球分三组，8球中有4球编号小于3，2球编号等于3，2球编号大于3. 现从袋中任取3球共有种方法， X＝3表示： 3球中最大编号为3，分两类情况： 第一类1个3号球，另两球编号小于3，由古典概型概率公式得； 第二类2个3号球，另一球编号小于3，由古典概型概率公式得， 由互斥事件和事件概率加法公式得. 故选：D. 2．一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】先求出的可能值及各个值对应的概率，再列出分布列即可． 【解析】依题意，的所有可能取值为，，， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 知识点02 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【即学即练】 1．若随机变量X服从两点分布，且．令，则（  ） A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 【答案】B 【解析】由题可知： 故选：B 2．随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【解析】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 题型01 离散型随机变量的判断 【典例1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（  ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可. 【解析】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C. 【变式1】下列是离散型随机变量的是（  ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【解析】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 【变式2】下列叙述中，是离散型随机变量的是（  ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【解析】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 题型02 求离散型随机变量的分布列 【典例1】盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【解析】（1）表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”， 所以； （2）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下所示： 求离散型随机变量分布列的基本步骤： ① 确定X的可能取值xi(i＝1,2,…，n)，以及取每个值表示的意义； ② 求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,…，n)； ③ 列成表格的形式． (2) 写好分布列后，注意验证所有概率之和是否为1. 【变式1】某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1); (2)分布列见解析 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【解析】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【变式2】袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色． (1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率； (2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：①的值；②随机变量的分布列． 【答案】(1)；(2)①；②分布列见解析 【分析】（1）利用不放回模型，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）①分析表示的意义，结合古典概型即可得解；②由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【解析】（1）依题意，所求概率为； （2）①由已知得从袋中不放回地摸球两次的所有取法有（种）， 事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球， 故包含种取法，所以； ②的可能取值为2，3，4， ， ， ， 则的分布列为 X 2 3 4 P 【变式3】甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即可求解； （2）由题意丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列. 【解析】（1）甲获第一名且乙获第三名的概率为，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为， 由，得； （2）由题意知，丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为， ， ， ， 所以丙的得分的分布列如下： X 0 3 6 P 【变式4】设是不等式的解集，整数. (1)设“使得成立的有序数组”为事件，试列举事件包含的基本事件； (2)设，求的分布列. 【答案】(1)答案见解析； (2)分布列见解析 【分析】（1）解不等式求出，即得解； （2）的所有不同取值为，求出对应的概率即得解. 【解析】（1）由，得，即 由于且， 所以事件包含的基本事件为：. （2）由于的所有不同取值为. 所以的所有不同取值为，且有，. 故的分布列为： 0 1 4 9 16 【变式5】一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列. 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）先计算不含编号为3的卡片的概率，再用得到答案. （2）随机变量X的可能取值为：，计算概率得到分布列. 【解析】（1）不含编号为3的卡片的概率，故. （2）随机变量X的可能取值为：. ；； ；. 分布列为： 题型03 利用随机变量分布列的性质解决问题 【典例1】（多选）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（  ） ξ 1 2 3 P A．－ B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题可知，即得. 【解析】由题可得， ∴或，经检验适合题意. 故选：BC. 离散型随机变量分布列性质的应用： (1) 利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．比如利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2) 由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 【变式1】若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量分布列的性质，即概率和等于1，得解. 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知，，所以. 故选：A. 【变式2】已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（  ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【解析】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 【变式3】（多选）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（  ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得， 则. 故选：ABC. 题型04 利用随机变量的分布列求概率 【典例1】已知随机变量X的分布列如下表所示，则（  ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【解析】由题得，则， 故． 故选：C. 利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 【变式1】已知随机变量的分布列为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据概率的性质求出的值，然后即可求出的值. 【解析】由题意得， 而由得， 化简得，解得，所以. 所以. 故选：B. 【变式2】设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（  ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【解析】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 【变式3】（多选）设离散型随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中的概率逐一判断即可. 【解析】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误． 故选：AC 【变式4】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于____________ 【答案】 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【解析】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故答案为： 题型05 两点分布 【典例1】若服从两点分布，，则为（  ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【解析】依题意可得， ， 所以 故选：B. 两点分布的特点： (1)两点分布中只有两个可能结果，且两个结果是对立的．两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)). 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（  ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【解析】由题意可得， 故选：A. 【变式2】已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举法即可求解. 【解析】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 【变式3】已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【解析】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 【变式4】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 ． 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【解析】因为X的分布列服从两点分布，所以， 所以，∴，∴． 故答案为：. 题型06 两个相关的随机变量的分布列问题 【典例1】已知随机变量，满足，且，则（  ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【答案】C 【分析】根据，之间的关系计算即可求得结果. 【解析】由可得， 所以. 故选：C. 【变式1】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（  ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【解析】由题可得. 故选：A 【变式2】设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（  ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【解析】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 【变式3】已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于____________ 【答案】 【分析】由分布列的性质有，再由即可得. 【详解】由题设，可得，则. 故答案为： 【变式4】已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析;(2) 【分析】（1）先根据及的所有可能取值得的所有可能取值，再根据的取值的概率求出的取值的概率，从而可得的分布列； （2）根据的分布列可求出结果. 【解析】（1）由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9， 则， 或 ， 或 ． 可得随机变量的分布列如表所示． 0 1 4 9 （2）因为，， 又因为，所以. ∴实数的取值范围是． 题型07 分布列与其他章节的融合 【典例1】（多选）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中成等差数列，则下列选项正确的是（  ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分布列中诸概率和为1，结合等差中项可求，故可得正确选项. 【解析】由题意，得成等差数列，∴. 由分布列的性质，得，∴. ∴，故B、D正确； ∵题目中未给出与的关系，本题我们只知道，故无法求出与的值， 故A、C错误. 故选：BD. 【变式1】已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（  ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由分布列的性质可得，利用结合基本不等式，即可求得答案. 【解析】根据分布列的性质知，．且， 所以， 当且仅当时等号成立, 故选:B． 【变式2】已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出其它的概率之和，再由离散型随机变量分布列的性质即可求解，表格中9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是 的等比数列，利用等比数列前项和公式求解. 【解析】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以. 故选：C. 【变式3】已知离散型随机变量的分布列如下． 0 1 P a b 记“函数是偶函数”为事件A，则 ． 【答案】 【分析】先由函数为偶函数可得，进而得，利用分布列的性质即可得到答案. 【解析】因为是偶函数，所以， 故． 又因为，0，1，所以， 故. 故答案为：. 【变式4】近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 【变式5】学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解； （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列. 【解析】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 1．下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【解析】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 2．若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由分布列的性质结合题意可得答案. 【解析】由题，． 故选：B 3．若服从两点分布，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照两点分布的性质计算. 【解析】依题意可得，解得. 故选：C 4．若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（  ） 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，即得解. 【解析】解：由题表得， 则． 故选：D 5．设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量分布列的性质得到，再利用“1”的代换，构造基本不等式求解． 【解析】由题意，得，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 6．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（  ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量的概率非负且不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可． 【解析】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或， 当时，不合题意， 所以. 故选：B. 7．（多选）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下正确的是（  ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：ABC 8．（多选）下列命题是真命题的是（  ） A．若，则A与B相互独立 B．若，则 C．若，则可能为0.15 D．若X服从两点分布，且，则 【答案】AD 【分析】根据事件独立性的定义判断A；根据条件概率的概率公式判断B，C；根据两点分布特征判断D. 【解析】对于A，根据事件独立性的定义，若，则A与B相互独立，A正确； 对于B，，，得，B错误； 对于C，，所以，C错误； 对于D，，D正确， 故选：AD. 9.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【解析】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 10．已知随机变量等可能取值为（），若，则 ． 【答案】16 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【解析】依题意可得，， 所以， 解得. 故答案为：. 11．已知随机变量均服从两点分布，若，则 ． 【答案】 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【解析】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故答案为：. 12．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 【答案】 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【解析】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为：. 13．装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢． （1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列； （2）求出赢钱（即时）的概率． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）从箱中取两个球的情形有6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．即可求得随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列． （2），由此能求出赢钱（即时）的概率． 【解析】解：（1）从箱中取两个球的情形有以下6种： {2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量； 当取到2个黄球时，随机变量； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量； 当取到2个黑球时，随机变量； 所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4 ，， ，， ， ∴X的概率分布列如下： X -2 -1 0 1 2 4 P （2）． 14．盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球. (1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率； (2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列. 【答案】(1); (2)分布列见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得,即可利用超几何分布的概率公式求解； （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列. 【解析】（1）共有种不同的取法，事件表示取出3个小球中至少有2个红球，包含两种； （2）随机变量的可能取值为， ， ， ， ， . 则随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 随机变量及其分布列 教学目标 1．通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念． 2．理解取有限值的离散型随机变量的概率分布的概念，理解两点分布(0-1分布) 3．理解并运用离散型随机变量分布列的性质． 4．在用函数思想研究概率问题及理解相关概念的过程中，发展数学抽象素养，通过对概率模型两点分布(01分布)的理解，发展数学建模素养，在求解概率分布问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 理解离散型随机变量及其分布列的概念，求解简单离散型随机变量的概率分布；离散型随机变量分布列性质的运用． 2.难点 与函数类比理解随机变量；离散型随机变量分布列性质的运用；求离散型随机变量的概率分布. 知识点01 随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 植树成活的树苗数、抛掷骰子向上的点数……像这种取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量. (3)连续型随机变量 而接听电话的时长、降雨量……取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【即学即练】 1．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（  ） A． B． C． D． 2．一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 知识点02 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【即学即练】 1．若随机变量X服从两点分布，且．令，则（  ） A．0.2      B．0.8      C．1      D．0 2．随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（  ） A． B． C． D．或 题型01 离散型随机变量的判断 【典例1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（  ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列是离散型随机变量的是（  ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【变式2】下列叙述中，是离散型随机变量的是（  ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 题型02 求离散型随机变量的分布列 【典例1】盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为． (1)求； (2)求的分布列． 求离散型随机变量分布列的基本步骤： ① 确定X的可能取值xi(i＝1,2,…，n)，以及取每个值表示的意义； ② 求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,…，n)； ③ 列成表格的形式． (2) 写好分布列后，注意验证所有概率之和是否为1. 【变式1】某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【变式2】袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色． (1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率； (2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：①的值；②随机变量的分布列． 【变式3】甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 【变式4】设是不等式的解集，整数. (1)设“使得成立的有序数组”为事件，试列举事件包含的基本事件； (2)设，求的分布列. 【变式5】一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列. 题型03 利用随机变量分布列的性质解决问题 【典例1】（多选）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（  ） ξ 1 2 3 P A．－ B． C． D． 离散型随机变量分布列性质的应用： (1) 利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．比如利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； (2) 由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 【变式1】若离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 P 2a 3a 则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（  ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（  ） A． B． C． D．以上均不正确 题型04 利用随机变量的分布列求概率 【典例1】已知随机变量X的分布列如下表所示，则（  ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 【变式1】已知随机变量的分布列为，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（  ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式3】（多选）设离散型随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于____________ 题型05 两点分布 【典例1】若服从两点分布，，则为（  ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 两点分布的特点： (1)两点分布中只有两个可能结果，且两个结果是对立的．两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0)). 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（  ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【变式2】已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（  ） A． B． C． D．或 【变式4】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 ． 题型06 两个相关的随机变量的分布列问题 【典例1】已知随机变量，满足，且，则（  ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【变式1】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（  ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【变式2】设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（  ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式3】已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于____________ 【变式4】已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 题型07 分布列与其他章节的融合 【典例1】（多选）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中成等差数列，则下列选项正确的是（  ） 0 1 A． B． C． D． 【变式1】已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（  ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 【变式2】已知随机变量的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知离散型随机变量的分布列如下． 0 1 P a b 记“函数是偶函数”为事件A，则 ． 【变式4】近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【变式5】学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 1．下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．若服从两点分布，且，则（  ） A． B． C． D． 4．若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（  ） 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A． B． C． D． 5．设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（  ）． A． B． C． D． 6．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（  ） 0 1 A．或 B． C． D． 7．（多选）随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下正确的是（  ） A． B． C． D．以上均不正确 8．（多选）下列命题是真命题的是（  ） A．若，则A与B相互独立 B．若，则 C．若，则可能为0.15 D．若X服从两点分布，且，则 9.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（  ） A． B． C． D． 10．已知随机变量等可能取值为（），若，则 ． 11．已知随机变量均服从两点分布，若，则 ． 12．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 13．装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢． （1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列； （2）求出赢钱（即时）的概率． 14．盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球. (1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率； (2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $