8.3 正态分布（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦正态分布核心知识点，从生活现象（如身高分布、电子产品寿命）引入，通过概率密度曲线过渡到正态密度曲线的定义、特征（对称性、σ对曲线形状影响等），再到正态分布概念及3σ原则，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题驱动教学，结合实例培养数学抽象与直观想象，通过例题（如考试成绩概率计算）和通性通法提升数学运算与建模能力。课中辅助教师引导知识构建，课后通过判断、训练帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

8.3　正态分布 课标要求 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）. 2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征（直观想象）. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题（数学建模、数学运算）. 　　（1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少. 【问题】　生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模型来刻画呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正态密度曲线及特征 1.概率密度曲线 对于某一随机变量的频率分布直方图，如果数据无限　　　　且组距无限　　　　，那么频率分布直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线. 2.正态密度曲线 定义 函数P（x）＝　　　　　　（x∈R）的图象称为正态密度曲线，这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R 特征 （1）当x＜μ时，曲线　　　　；当x＞μ时，曲线　　　　；当曲线向左右两边无限延伸时，以　　　　为渐近线. （2）曲线关于直线　　　　对称. （3）σ越　　　，曲线越扁平；σ越　　　，曲线越尖陡. （4）在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为　　 知识点二　正态分布 设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P（a＜X≤b）是正态密度曲线下方和x轴上（a，b]上方所围成的图形的　　　　，则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～　　　　　　. 　　提醒：（1）μ＝0，σ＝1的正态分布叫作标准正态分布；（2）参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数（均值）；σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数（方差）. 知识点三　3σ原则 　随机变量X取值 （1）落在区间（μ－σ，μ＋σ）内的概率约为　　　　； （2）落在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内的概率约为　　　　； （3）落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率约为　　　　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正态密度曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准差.（　　） （2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（　　） （3）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝.（　　） 2.如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的　 　　、　　　 、　　 　. 3.若随机变量ξ～N（0，1），查标准正态分布表，则（1）P（0＜ξ＜1.90）＝　　　　； （2）P（－1.83＜ξ＜0）＝　　　　. 题型一｜正态密度曲线及其特点 【例1】　（1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.σ1＝σ2 B.μ1＞μ3 C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3 （2）已知正态密度曲线的函数解析式为f（x）＝（x∈R），则μ＝　　　　，σ＝　　　　. 通性通法 由正态密度曲线确定均值与方差的方法 　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态密度曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态密度曲线的形状与位置. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝（其中μ＜0）的图象可能为（　　） 2.〔多选〕甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态密度曲线f（x）＝（x∈R）如图所示，则（　　） A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 题型二｜利用正态分布求概率 【例2】　（链接教科书第136页例1）设X～N（1，22），试求： （1）P（－1＜X＜3）； （2）P（X＞5）. 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，求P（3＜X＜5）. 通性通法 利用正态分布求概率的两个方法 （1）对称法：由于正态密度曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如： ①P（X＜a）＝1－P（X≥a）； ②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）. （2）“3σ”法：利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%求解. 【跟踪训练】 1.已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（0＜ξ＜3）＝0.4，则P（ξ＞6）＝（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 2.设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－1），则c＝　　　　. 3.已知X～N（4，σ2），且P（2＜X＜6）≈0.683，则σ＝　　　　，P（｜X－2｜＜4）＝　　　　. 题型三｜正态分布的实际应用 【例3】　（链接教科书第137页例2）在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90，100）. （1）试求考试成绩ξ位于区间[70，110]上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在区间[80，100]上的考生大约有多少人？ 通性通法 正态密度曲线的应用及求解策略 　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ）， （μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想. 【跟踪训练】 　某厂生产的圆柱形零件的外直径X（单位：cm）服从正态分布N（4，0.52）.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 1.〔多选〕下面给出的关于正态密度曲线的叙述中，正确的有（　　） A.曲线可以关于y轴对称 B.当x＞μ时，随着x的增大，曲线逐渐下降；当x＜μ时，随着x的增大，曲线逐渐上升 C.μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中 D.当x＝μ时，曲线位于最高点 2.某种零件的尺寸X（单位：cm）服从正态分布N（3，1），则不属于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的　　　　. 3.若随机变量ξ～N（10，σ2），P（9≤ξ≤11）＝0.4，则P（ξ≥11）＝　　　　. 提示：完成课后作业　第八章　8.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3　正态分布 【基础落实】 知识点一 1.增多　缩小　2.　（1）上升　下降　x轴　（2）x＝μ　（3）大　小　（4）1 知识点二 面积　N（μ，σ2） 知识点三 （1）68.3%　（2）95.4%　（3）99.7% 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√ 2.①　②　③　解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”. 3.（1）0.471 3　（2）0.466 4 解析：（1）P（0＜ξ＜1.90）＝P（ξ＜1.9）－P（ξ≤0）＝0.971 3－0.500 0＝0.471 3. （2）P（－1.83＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1.83）＝P（ξ＜1.83）－P（ξ≤0）＝0.966 4－0.500 0＝0.466 4. 【典例研析】 【例1】　（1）AD　（2）2　3 解析：（1）根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越“瘦高”，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. （2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3. 跟踪训练 1.A　函数f（x）图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B、D；又正态密度曲线位于x轴上方，因此排除C. 2.ABC　由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A、C正确；因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，则σ2≠1.99.故D错误.故选A、B、C. 【例2】　解：因为X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2， （1）P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.683. （2）P（X＞5）＝P（X＜－3）＝[1－P（－3≤X≤5）]＝[1－P（1－4≤X≤1＋4）]＝[1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]≈（1－0.954）＝0.023. 母题探究 　解：∵P（3＜X＜5）＝P（－3＜X＜－1）， ∴P（3＜X＜5）＝[P（－3＜X＜5）－P（－1＜X＜3）] ＝[P（1－4＜X＜1＋4）－P（1－2＜X＜1＋2）] ＝[P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）－P（μ－σ＜X＜μ＋σ）] ≈×（0.954－0.683）＝0.135 5. 跟踪训练 1.A　因为μ＝3，且P（0＜ξ＜3）＝0.4，所以P（3＜ξ＜6）＝0.4.又P（ξ＞3）＝0.5，所以P（ξ＞6）＝P（ξ＞3）－P（3＜ξ＜6）＝0.1. 2.2　解析：∵ξ～N（2，9），又P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－1），∴＝2，∴c＝2. 3.2　0.84　解析：∵X～N（4，σ2），∴μ＝4.∵P（2＜X＜6）≈0.683，∴∴σ＝2.∴P（｜X－2｜＜4）＝P（－2＜X＜6）＝P（－2＜X＜2）＋P（2＜X＜6）＝[P（－2＜X＜10）－P（2＜X＜6）]＋P（2＜X＜6）＝P（－2＜X＜10）＋P（2＜X＜6）＝0.84. 【例3】　解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10. （1）由于随机变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间[70，110]内的概率为0.954. （2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ）内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间[80，100]内的概率为0.683，一共有2 000名考生，所以考试成绩在区间[80，100]上的考生大约有2 000×0.683＝1 366（人）. 跟踪训练 　解：由于外直径X～N（4，0.52）， 则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.003， 而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 随堂检测 1.ABD　当μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散.只有C错误，故选A、B、D. 2.4.6%　解析：属于区间（μ－2σ，μ＋2σ），即区间（1，5）的取值概率为95.4%，故不属于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.4%＝4.6%. 3.0.3　解析：由P（9≤ξ≤11）＝0.4且正态密度曲线以x＝μ＝10为对称轴知，P（9≤ξ≤11）＝2P（10≤ξ≤11）＝0.4，即P（10≤ξ≤11）＝0.2，又P（ξ≥10）＝0.5，所以P（ξ≥11）＝0.5－0.2＝0.3. 学科网（北京）股份有限公司 $