专项突破5 特殊平行四边形的动点问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

.PD=3. 设QH=HC=x,则PH=x+1,DH=4-x. 此时，Sx=DC·AD=24C·Dp, 在Rt△PDH中，PD+D=PH, 即2×4x3方×5·DP,解得DP-号 1 即32+(4-x)2=(x+1)2,解得x=2.4. .PH=3.4. 一线段EF的最小值为2 专项突破五特殊平行四边形的动点问题 1.5√5-5【解析】如图，连接AC,AM. 5,4或5【解析】如图1，△PCD是等腰三角形，且 :在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=5,BC=10, PD=CD,过，点D作DE⊥AC于点E,则∠CED=90°， .AC=√52+102=55. PE=CE.四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, 由对称，得AM=AB=5. ∴.∠ADC=90°，CD=AB=6. 由三角形三边关系， .AC=√CD2+AD2=√62+82=10. 得CM≥AC-AM, S-X1DEX6x8DE- 1 4 当且仅当A,M,C三，点共线时取等号， 即CM≥AC-AM=55-5. PE-CE-/CD-DE--) .线段MC的最小值为5W5-5. 181814 .AP=AC-PE-CE=10- 2.5【解析】如图，连接BD,BF 55-5 :在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=8,AD=6, 当△PCD是等腰三角形，且CP=CD=6时， .BD=√AB2+AD2=10. 有AP=AC-CP=10-6=4. G为BE的中点，H为EF的中点， 如图2，△PCD是等腰三角形，且DP=CP. .GH为△BEF的中位线. ∠PDA+∠PDC=90°，∠PAD+∠PCD=90°， .BF=2GH.当BF取得最大值时， 且∠PDC=∠PCD GH取得最大值， ÷.∠PDA=LPAD.AP=DP=CP=2AC=5, :F是边CD上的动点， .当点F与，点D重合时，BF取得最大值，最大值为10 综上所述，AP的长为4 4或5. .GH的最大值为5. 号 小斗提示：连接DP.利用勾股定理求出AC;判断出四边形 DEPF是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=DP,再根据垂线 段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面 图2 积公式列出方程求解 5.解：(1)，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=14cm,点P 【解析】如图，连接DP 从点D出发向点A运动，点Q从点B出发向点C运动， :在矩形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AB=4,BC=3, 点P,Q的速度都是1c/s,点P,Q运动的时间为ts, ∴.AD=BC=3,CD=AB=4,AC=√AB2+BC2=5 .'BQ=t cm,AP=(14-t)cm. ,四边形ABQP是矩形， PE⊥AD,PF⊥CD,∠EDF=90°， .BQ=AP,即t=14-t,解得t=7. .四边形DEPF是矩形.∴.EF=DP. 答：当t=7时，四边形ABQP是矩形 由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段 (2).AP=CQ=(14-t)cm,AP//CQ, DP的值最小，即线段EF的值最小， .四边形AQCP是平行四边形. 四边形AQCP是菱形，AQ=CQ, 即v0=4=,解得-24 .∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF, 即∠EDF=∠CDB=60. 答：当：-时，四边形40Cr是菱形 .△EDF是等边三角形..EF=DE. 当DE最小时，EF最小 （3)当1-24时，c0=14-:7em 74 由垂线段最短可知，当点E与点G重合时，DE最小，即 296 EF最小，最小值为DG的长. .C菱形A0cp=4CQ= cm, DC1AB,∠ADG=∠90-LA=30°，AG=2AD=1. 5e-0,AB=72i0-79em)。 .DG=√AD-AG=√3..EF的最小值为3. 62W3【解析】如图，过点B作BH⊥CD于点H. 98,5皮空解标：回边衫CD是支形， 四边形ABCD是菱形， ∴.BC=AB=4,∠C=∠A=60°. EH WC-BA.AGLBD.OB-D.AO-AC. 2 ∴.∠CBH=90°-60°=30°. AC=8,BD=6,∴0B=3,A0=4. CH=2 BC=2. .AB=√0B2+0A2=5. .BH=√BC2-C=√J42-22=23. 当PA=AB时，AP=5; BE≥BH,.BE的最小值为2√3. 当PB=AB时，BC=BA,.PB=BC, 7.2【解析】如图，连接AP, .点P与点C重合..PA=AC=8; FD 当AP=PB时，如图，设PA=x,则PB=x,OP=4-x. PB2=0P2+0B2,x2=(4-x)2+32. EB 点AP百培上将花，4P的长为8,5成 . 8 菱形ABCD的周长是24cm,面积是12cm2, 10.解：(1)45【解析】四边形ABCD是菱形，∠A= .AB=AD=×24=6(cm), 4 90°，.∠BCD=∠A=90°，BC=CD. 又.∠CBN=∠CDM,BN=DM, S+SADAB PE+2AD PF=6 cm'. ∴.△BCW≌△DCM(SAS). 1 :2×6PE+2×6PF=6.PE+PF=2cm ∴.CN=CM,∠BCN=∠DCM. ∠BCN+∠PCN=90°， 8.60°3【解析】如图，连接BD,过，点D作DG⊥AB于 .∠DCM+∠PCN=90°. 点G. .△CMN是等腰直角三角形 :四边形ABCD是菱形，AB=2, ∴.∠CMN=45. ∴.AB=AD=BC=CD=2,∠A=∠C,AD∥BC. (2)MW=√3MC.理由如下： 又∠ADC=12°， 同理(1)可证△BCW≌△DCM(SAS), .∠A=∠C=180°-120°=60°， ∴.CN=CM,∠BCN=∠DCM. ,△ABD,△BCD都是等边三角形. 四边形ABCD是菱形， .CD=BD,∠ABD=∠CDB=60°=∠C .∠BCD=∠A=120°. 又BE=CF, ∴.∠BCN+∠PCN=120. .△BDE≌△CDF(SAS). ∴.∠DCM+∠PCN=120°. ∴DE=DF,∠BDE=∠CDF ·∠CMN=∠CNMM=2×(180°-120°)=30°， 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·75· 如图，过点C作CH⊥MW于点H, .AM=PM,PN=BN. 则∠cn=90CI=CM ·MW=PM+PN= 2 AB=3. ·Mh=VMc2-CH-3 易得四边形O,MNQ为矩形. .01Q=MW=3. CM=CN,CH⊥MW, 0102≥01Q,∴.0102的最小值为3. .MW=2MH=√3MC. 14.解：(1)如图1，连接AF,PF. 11.B【解析】小四边形ABCD是正方形，边长为8cm. ,四边形ABCD是正方形， .AB=BC=8cm,∠ABP=∠BCQ=90° .AD=CD=BC=AB=4,∠B=∠C=∠D=90°， AP⊥BQ,∴.∠BAP+∠ABH=∠ABH+∠CBQ=90. 设DF=a,则CF=CD-DF=4-a. ∴.∠BAP=∠CBQ. P是BC的中点，PC=2BC=2 I∠BAP=∠CBQ, 在△ABP和△BCQ中，AB=BC, 在Rt△ADF中，由勾股定理， 图 ∠ABP=∠BCQ, 得AF2=AD2+DF2=42+a2. ∴.△ABP≌△BCQ(ASA).∴.BP=CQ. 在Rt△CPF中，由勾股定理， .BP=2t-AB=2t-8,CQ=8-t, 得PF2=PC2+CF2=22+(4-a)2. 16 EF是AP的垂直平分线， “2-8=8-,解得=3 AF=PF,.42+a2=22+(4-a)户，解得a=2 1 12.A【解析】如图，连接AC交BD于点O,连接CM. :正方形ABCD的边长为8， 0F的长为号 .∠BCD=90°，∠0CB=45°，BC=CD=8, (2)AE=BP+DF.理由如下： 0C=0B=0D=2BD= 尽48=42 如图2，过点D作DH∥EF,交AB于点H,交AP于点T MP⊥CD,MQ⊥BC, ,四边形ABCD是正方形 .∠MPC=∠MQC=90°=∠BCD. .∠B=∠DAH=90°，AB=DA,AB∥CD. .四边形PMQC是矩形.故结论1正确； 又·DH∥EF, R P 四边形PMQC是矩形，.PQ=CM. .四边形DHEF是平行四边形 图2 .HE=DF. .CM≥OC,.∴.PQ≥OC. :EF是AP的垂直平分线，DH∥EF, .当点O与点M重合时，PQ的长最小， .DH⊥AP..∠ATD=90. 此时∠MCB=∠0CB=45°，CM=0C=4√2. 在Rt△ADT中，∠ADH+∠DAT=90°. .∠QMC=∠MCB=45°.∴.CQ=QM. 又.·∠DAT+∠BAP=∠DAH=90°，..∠BAP=∠ADH CQ2+MQ2=CM,…2CQ2=(4v2)2. ∠B=∠DAH, ∴.CQ=QM=4. 在△ABP和△DAH中，AB=DA, .四边形PMQC的面积=CQ·QM=4×4=16. ∠BAP=∠ADH, 故结论2不正确， .△ABP≌△DAH(ASA)..BP=AH. 13.3【解析】如图，作O,M⊥AP于点M,02N⊥PB于点 .∴.AE=AH+HE=BP+DF N,0Q⊥02N于点Q. 专项突破六函数的图象信息问题 :四边形APDC和四边形PBEF都为正方形， 1.D2.B3.C4.B5.D6.C7.C .△AO,P和△PO,B都是等腰直角三角形. 8.D小斗分析：乌龟是匀速行走的，图象为线段.兔子是跑一停一 ·76· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 急跑，图象由三条折线组成；最后比乌龟晚到，即到终点花的时 间多 △0AB的面积=20By,1=6x2=6 9.A【解析】两图象的交点即表示他们在路上相遇， (3)存在点M,使△OMC的面积与△OAB的面积相等 .第一次相遇时，距离学校大于250m,第二次相遇时， 如图，设直线OA的解析式是y=mx, 距离学校250m.故选项A符合题意；由图象可知，他们 则4m=2,解得m= 1 分别在出发后第5min和第14min时相遇，即分别在 、直线0A的解析式是y=2 1 7:05时和7：14时相遇，∴.两次在路上相遇的时间间隔 为9min.故选项B,C,D不符合题意 :点C(0,6), 10.C【解析】A.小明家到体育馆的距离为2.5km,故本 .0C=6. 选项不符合题意；B.小明在体育馆锻炼的时间为45 ∴.0B=0C=6 15=30(min),故本选项不符合题意；C.小明家到书店 :△OMC的面积与△OAB的面积相等， 的距离为1km,故本选项符合题意；D.小明从书店到 ∴.点M到y轴的距离=点A的纵坐标2. 家步行的时间为100-80=20(min),故本选项不符合 .点M的横坐标为2或-2. 题意. 11.C【解析】由题意，得自变量是小明坐上摩天轮后的 当点M的横坐标为2时，在y=2*中， 旋转时间t,因变量是小明离地面的高度h,故选项A 当x=2时，y=1,.点M的坐标为(2,1)； 说法正确，不符合题意；摩天轮最低，点距地面3m,最高 在y=-x+6中，当x=2时，y=4, 点距地面45m,故选项B说法正确，不符合题意；小明 .点M的坐标为(2,4)； 第一次到达最高，点时间节，点为3min,第二次到达最高 当点M的横坐标为-2时，在y=-x+6中， ,点时间节点为9min,9-3=6(min),故选项C说法错 当x=-2时，y=8,则点M的坐标为(-2,8) 误，符合题意；当3<t<6时，小明处于下降状态，故选项 综上所述，点M的坐标为(2,1)，(2,4)或(-2,8). D说法正确，不符合题意 专项突破七一次函数与几何图形的综合 3解：(1)将C(m,6)代入y-2 3, 1.解：(1)当x=1时，y=-x+4=3,.D(1,3) 得6=23 m,解得m=33,C(33,6). 把D(1,3),C(0,1)分别代入y=x+b, 得+6-3解得 mk=2, 将A(-33,0),C(35,6)分别代入y=x+b, b=1, (b=1. b=3, 0=-33k+b, ∴.直线l2的解析式为y=2x+1. 得 解得 √3 6=33k+b, (2)kx+b>-x+4的解集为x>1. 3 (3)当y=0时，-x+4=0,解得x=4,∴.A(4,0) .一次函数的解析式为y= 3+3 当x=0时，y=-x+4=4,∴.B(0,4). S阳边c4=SA048-SaBa2×4x4-，X(4-1）x1=6 2 (2)存在在= 3x+3中，令x=0,得y=3. 2.解：(1)设直线AB的解析式是y=kx+b. 设M(a,0).四边形ABMP是矩形， 4k+b=2, k=-1, .∠ABM=90°..AB2+BM2=AM. 把A(4,2),C(0,6)分别代入，得 解得 b=6, (b=6. .(33)2+32+a2+32=(a+33)2,解得a=√3， .直线AB的解析式是y=一x+6. .满足条件的点M的坐标为（√3,0）. (2)y=-x+6,当y=0时，x=6, 4.解：(1)把C(-1,n)代入y=-2x+6, ∴.B(6,0).∴.0B=6. 得n=2+6=8,.C(-1,8)专项突破五 特殊平行四边形的动点问题 类型一矩形中的动点问题 1.如图，在矩形ABCD中，已知AB=5,BC=10,P是边BC上一动点（点P不与点B,C重合），连接AP, 作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点，连接BE,EF,G为BE的中点， H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,P是对角线AC上一个动点（点P与点A,C不重合），过点P分 别作PE⊥AD于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,则EF的最小值为 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是对角线AC上的动点，若△PCD是等腰三角形，则AP的长 为 5.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=14cm,点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时， 点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点 P,Q运动的时间为ts. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积. 类型二菱形中的动点问题 6.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,E是CD上一动点，连接BE,则BE的最小值为 EB ⊙ 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，P是BD上的一个动点，过点P分别作AB,AD的垂线，垂足分别是 E和F.若菱形ABCD的周长是24cm,面积是12cm2,则PE+PF的值是 cm. 8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=2,动点E,F分别在线段AB,BC上，且BE=CF,则∠EDF= ,EF的最小值为 9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,P为对角线AC上一动点，若△PAB 为等腰三角形，则AP的长为 10.如图，用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD,P是线段DC上的动点（点P不与点D和点C重合），在 射线BP上取一点M,连接DM,CM,使∠CDM=∠CBP. (1)如图1，调整菱形ABCD,使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外面时，在射线BP上取一点N,使 BN=DM,连接CN,则∠BMC= (2)如图2，调整菱形ABCD,使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外面时，在射线BP上取一点N,使 BN=DM,连接CN,探索线段MC与MN的数量关系，并说明理由. 图1 图2 备用图 类型三正方形中的动点问题 11.如图，已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P,Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出 发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发，以1cm/s速度沿D→C方向运 动.设点P运动的时间为ts(0<t<8).当点P在边BC上，AP,BQ相交于点H,当AP⊥BQ时，t的值 为 () 10 .3 B16 C.6 D.7 D 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，正方形ABCD的边长为8，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q.结论1： 四边形PMQC是矩形；结论2：当PQ的长最小时，四边形PMQC的面积为12.关于结论1和2，下列 判断正确的是 () A.只有结论1正确 B.只有结论2正确 C.结论1和2都正确 D.结论1和2都不正确 13.如图，P为线段AB上的一个动点，AB=6,以PA,PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF,两正 方形的对角线的交点分别记为01,02，连接0102，则0102的最小值为 14.如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与点B,C重合），连接AP,作AP的垂直平分 线EF,分别交AB,CD于点E,F (1)如图1，当P是BC的中点，且AB=4时，求DF的长； (2)如图2，当P不是BC的中点时，试判断线段AE,BP,DF之间的数量关系，并说明理由. D P C B P 图1 图2 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·43…