精品解析：安徽省宿州市第二中学等校2025-2026学年第二学期第一次过程性评价高二数学试卷

2025-2026学年第二学期第一次过程性评价 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由四个数字组成无重复数字的四位偶数的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 在各项均为实数的等比数列中，，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 6 3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有一个极大值 D. 为的极小值 4. 定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设的整数部分为，则数列的前16项的和为（ ） A. 153 B. 152 C. 151 D. 136 6. 已知的展开式中的系数为48，则实数＝（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 等差数列{an}的首项为正数，其前n项和为Sn.现有下列命题，其中是真命题的有（ ） A. 若Sn有最大值，则数列{an}的公差小于0 B. 若a6+a13＝0，则使Sn 0的最大的n为18 C. 若a9 0，a9+a10 0，则{Sn}中S9最大 D. 若a9 0，a9+a10 0，则数列{|an|}中的最小项是第9项 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 当时，在定义域内为增函数 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知首项为1的数列满足，则________． 13. 函数在区间上有最大值，则的取值范围是________． 14. 已知函数存在两个极值点,满足，则实数_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 16. 已知数列的前项和为，且，其中，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，的前n项和为，若对恒成立，试求实数的取值范围． 17. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 18. 已知数列的前n项和为，当时，；数列中，，直线经过点． （1）求数列、的通项公式和； （2）设，求数列的前n项和，并求的最小整数n． 19. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． （1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． （2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第一次过程性评价 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由四个数字组成无重复数字的四位偶数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】要组成无重复数字的四位偶数，个位数必须是偶数，则 当个位数为时，此时千位、百位、十位可从中任意排列，排列数有种； 当个位数为时，此时千位不能为，可选或，共种选择，百位、十位可从剩下的个数中排列，排列数有种，因此，总排列数有种； 综上所述，总共有种情况，故D正确. 2. 在各项均为实数的等比数列中，，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由于数列为等比数列，所以, 又因为，所以. 3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有一个极大值 D. 为的极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点. 【详解】解：，并结合其图象，可得到如下情况， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点， 故A、B、D错，C正确； 故选: C. 4. 定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答. 【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减， 于是得函数在上单调递减，即，，即， 而在上单调递减，当时，，则， 所以k的取值范围是. 故选：B 5. 设的整数部分为，则数列的前16项的和为（ ） A. 153 B. 152 C. 151 D. 136 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得数列的通项公式，利用等差数列求和公式计算即可. 【详解】， 当时，，故， 当时，，故的整数部分为， 所以， 故数列的前16项的和为. 6. 已知的展开式中的系数为48，则实数＝（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【详解】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 7. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可. 【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入 2个空中， 故有种不同的排法. 故选：C 8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案. 【详解】设切点为，由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图象交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且， 要使与的图象有三个交点，则. 则的取值范围是:. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 10. 等差数列{an}的首项为正数，其前n项和为Sn.现有下列命题，其中是真命题的有（ ） A. 若Sn有最大值，则数列{an}的公差小于0 B. 若a6+a13＝0，则使Sn 0的最大的n为18 C. 若a9 0，a9+a10 0，则{Sn}中S9最大 D. 若a9 0，a9+a10 0，则数列{|an|}中的最小项是第9项 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的性质对4个选项依次判断即可. 【详解】解：对于选项A，∵Sn有最大值，∴等差数列{an}一定有负数项， ∴等差数列{an}为递减数列，故公差小于0，故A正确； 对于选项B，∵a6+a13＝a9+a10＝0，且a10， ∴a90，a100， ∴S17=17a90，S1818＝0， 故则使Sn 0的最大的n为17，故B错误； 对于选项C，∵a90，a9+a100， ∴a90，a100， 故{Sn}中S9最大，故C正确； 对于选项D，∵a90，a9+a100， ∴a90，|a9|＝a9﹣a10＝|a10|， 故数列{|an|}中的最小项是第9项，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 当时，在定义域内为增函数 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照导数几何意义解决； 证明导数为正值即可； 以极值定义去判定； 构造函数去证明. 【详解】选项A: 当时，曲线, 则，切线斜率 又， 故曲线在点处的切线方程为. A选项错误； 选项B: 令， 则 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 在处取得最小值 当时，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 故当时，在定义域内为增函数.B选项正确； 选项C: 由以上分析知道： 在处取得最小值 当时，必有二根， 不妨设为 则当时，，，为增函数， 当时，，，为减函数， 当时，，，为增函数， 故既存在极大值又存在极小值. C选项正确； 选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值， 不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且， 在上单调递减，又 故极大值为正值，极小值为负值， 当时，；当时， 故函数有三个零点，不妨设为， 又 故有，则 即当时，恰有3个零点，且正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可． 【详解】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 13. 函数在区间上有最大值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围 【详解】，， 令 解得；令 ，解得或， 由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处有极大值，在处有极小值， 即，解得， 故答案为： 14. 已知函数存在两个极值点,满足，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数极值点的定义可知方程在上有两个不等的实数根，转化为方程在上有两个不等的实数根，结合韦达定理代入即可求解. 【详解】因为， 由题意可知方程在上有两个不等的实数根， 因此有，解得， 此时，， 所以 ， 解得，满足， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 【详解】（1）由，得，， 于是，整理得，解得， 所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得， 所以. 16. 已知数列的前项和为，且，其中，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，的前n项和为，若对恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与关系可得数列为公差为1的等差数列，再借助等比数列性质可得，即可求出数列的通项公式； （2）借助裂项相消法计算数列的前n项和，从而推出的取值范围，进而求解出实数的取值范围． 【小问1详解】 解：由，所以， 即，所以，因此，数列是首项为，公差为1的等差数列. 由成等比数列，所以，解得， 因此， 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 所以的前n项和， 当时，. 由对恒成立，所以． 17. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，进而写出切线方程； （2）讨论，，，，结合导数得出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，， ，， ∴切线方程为：，即. 【小问2详解】 因为，. 所以. ①当时，令，得，∴在上单调递减； 令，得，∴在上单调递增. ②当时，令，得.∴在上单调递减； 令，得或.∴在和上单调递增. ③当时，在时恒成立，∴在R单调递增. ④当时，令，得.∴在上单调递减； 令，得或.∴在和上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于讨论根的大小，从而得出函数的单调性. 18. 已知数列的前n项和为，当时，；数列中，，直线经过点． （1）求数列、的通项公式和； （2）设，求数列的前n项和，并求的最小整数n． 【答案】（1）， （2），最小整数为 【解析】 【分析】（1）根据，之间的递推关系，可写出，采用和相减求得，由题意可推得为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得； （2）写出的表达式，利用错位相减法可求得数列的前项和，进而利用数列的单调性求的最小整数． 【小问1详解】 ， ，则， ，即，得，又， ，即，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则； ∵点在直线上， ， ，即数列是等差数列，又， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 两式相减可得， ， 设， 则， 故是单调递增的， 当时，单调递增的， 当时，；当时，， 故满足的最小整数. 19. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． （1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． （2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】（1）函数在区间上具有性质； （2）存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【小问1详解】 令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； 【小问3详解】 ∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $