专题10 圆的基本性质与计算（题型专练6大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 圆的基本性质与计算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：圆周角定理、圆心角定理及其推论的应用 题型02：垂径定理及其推论的应用 题型03：点、直线与圆的位置关系判断与计算 题型04：切线的判定与性质证明 题型05：弧长、扇形面积与圆锥侧面积的相关计算 题型06：正多边形与圆的相关计算 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 圆周角定理、圆心角定理及其推论的应用 典例引领 【典例01】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【典例02】（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 方法透视 考向解读 此部分定理是圆中角度计算和推理的基石。考察：利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”进行角度转换和证明；利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形；利用“圆周角等于圆心角的一半”进行角度计算。 方法技能 找等角：在圆中，要证角相等，常找它们是否是同弧或等弧所对的圆周角。 见直径，连直角：题目中出现直径或隐含直径条件，立即连接直径所对的圆周角，构造直角三角形，为使用勾股定理或三角函数创造条件。 圆心角与圆周角：当圆心角易求时，可用此关系求圆周角；反之，已知圆周角，可求圆心角，进而求弧长。 变式演练 【变式01】（2026·湖南株洲·一模）如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用三角形内角和定理求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， 与都是所对的圆周角， ． 【变式02】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 题型02 垂径定理及其推论的应用 典例引领 【典例01】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 【典例02】（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 【答案】1 【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键． 方法透视 考向解读 垂径定理是圆中计算的核心定理，与勾股定理结合紧密。中考常考察：已知弦长、弦心距、半径中的两个量求第三个；利用垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧进行角度或弧的推理。 方法技能 模型构建：见弦，常作弦心距（垂直于弦的半径），连接圆心与弦的端点，构造直角三角形。 勾股定理：在所得的直角三角形中，三边关系为。这是计算的关键方程。 推论应用：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。注意前提“弦不是直径”。 变式演练 【变式01】（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧长公式；连接，，先由垂径定理求出圆的半径，进而求出，从而求出的长度，再加上的长度即是该图形的周长． 【详解】解：连接，，如图所示， 设圆O的半径为r，则， ∵， ∴， ∵，过圆心点O，， ∴， ∵在中， ∴，解得：， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长度为， ∴该图形的周长是． 故答案为：． 【变式02】（2026·湖南·模拟预测）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦，垂足为点，若的半径为13，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；连接，由垂径定理可知：被直径平分，即垂足点为的中点，进而可在中利用勾股定理求出，最后利用即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径，弦， 又∵， ∴， ∵的半径为13，即， ∴在中， ∴． 故选：D． 【变式03】（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于E，， ， 在，，，， ， ． 题型03 点、直线与圆的位置关系判断与计算 典例引领 【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 225 121 【分析】本题考查的是坐标与图象的性质和点与圆的位置关系，确定取最大值时，点P的位置是解题的关键． 表示点P到原点O的距离的平方，点P在圆A上运动，求该距离平方的最值，转化为求圆上点到定点的距离最值问题． 【详解】圆心到原点的距离， 的半径为2，当点P位于线段的延长线上且远离O时， 取得最大值， 故的最大值为； 当点P位于线段上且靠近O时， 取得最小值，故的最小值为． 故答案为225，121． 【典例02】在同一平面内，已知的半径为，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴点在外， 故选：C． 方法透视 考向解读 考查对（点到圆心距离）与（半径）大小关系的理解。涉及切线长定理时，常与全等三角形、周长计算结合。 方法技能 位置判断：比较与。相交；相切；相离。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点与圆心的连线平分两切线的夹角。此定理常带来等线段和等角，用于证明或计算。 应用：常与直角三角形结合，利用勾股定理求切线长或半径。 变式演练 【变式01】如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为_______． 【答案】/60厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点运动到时，点到的距离最小，结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小， ， 由题意得：，，， ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 【变式02】（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 【答案】D 【分析】本题考查了含有角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系．由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】在中，，则， ∵， ∴． ∴． 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， ， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选：D． 【变式03】已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断． 【详解】解：点是外一点， ， 的长可能为， 故选：D． 题型04 切线的判定与性质证明 典例引领 【典例01】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 【典例02】如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线； （2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论． 【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图， ∵点是的中点， ∴OD⊥BC， ∵DE//BC ∴OD⊥DE ∵OD是的半径 ∴直线与相切； （2）∵AC是的直径，且AC=10, ∴∠ABC=90°， ∵OD⊥BC ∴∠OFC=90° ∴OD//AB ∴ ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键． 方法透视 考向解读 这是圆部分的核心证明题型。判定是“证垂直”，性质是“用垂直”。常作为几何综合题的关键步骤。 方法技能 判定方法： 连半径，证垂直：若直线过圆上一点，连接圆心与该点，证明这条半径与直线垂直。 作垂直，证半径：若不知是否过圆上点，过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段等于半径。 性质应用：若已知切线，则连接切点与圆心，该半径垂直于切线。这个垂直关系是后续推导的关键。 常见辅助线：见切线，连切点圆心；遇直径，连直角；有弦，作弦心距。 变式演练 【变式01】如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形，. ∴， ∴ ∵，且， ∴. ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”． 【变式02】（2019·四川巴中·一模）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且弧BC=弧CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC． （1）求∠E的度数； （2）若⊙O的直径为5，sinP＝，求AE的长． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠OAC＝∠CAD，推出OC∥AE，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在Rt△OCP中求得OP，然后在Rt△APE中求得AE即可. 【详解】解：（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵弧BC＝弧CD， ∴∠OAC＝∠CAD， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AE， ∴∠E＝∠OCP， ∵PE是的切线，C为切点， ∴∠OCP＝90°． ∴∠E＝90°； （2）在Rt△OCP中，OC＝ =2.5，sin∠P＝， ∴OP＝， 在Rt△APE中，AP＝+2.5＝，sin∠P＝， ∴AE＝4． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式03】如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活利用平行线的判定与性质是解答本题的关键．连接，利用切线的性质，先证明，即有，再根据，可得，即有． 【详解】证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的相关计算 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 方法透视 考向解读 此题型考查公式应用和计算能力，属于中档题。考察：直接利用公式、或进行计算；求圆锥的侧面展开图扇形圆心角、母线长、底面半径等。 方法技能 公式记忆：弧长与圆心角、半径有关；扇形面积有两个公式。圆锥侧面积（为母线）。 圆锥问题：抓住核心关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，即。由此可建立底面半径、母线长、圆心角三者间的方程。 不规则图形面积：采用“割补法”，将其转化为扇形、三角形等规则图形的和或差。 变式演练 【变式01】（2026·湖南·模拟预测）如图，，，三点在上，若，且的半径为2，则劣弧的长是______． 【答案】/ 【分析】连接，先求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 则劣弧的长． 【变式02】（2026·湖南张家界·一模）如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，为半径的弧，已知，则的长是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到为等边三角形，得到圆心角，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ∴， 的长． 【变式03】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径为5，则该圆锥底面圆的半径为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥底面圆的半径，弧长公式的计算，掌握弧长公式的计算，圆锥的基础知识是关键． 根据弧长公式得到圆心角为的扇形的弧长为，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：圆心角为的扇形，半径为5， ∴弧长为， ∴圆锥底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， 故答案为：1 ． 题型06 正多边形与圆的相关计算 典例引领 【典例01】如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例02】如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 方法透视 考向解读 将正多边形问题转化为等腰三角形和直角三角形问题。考察：求中心角、边心距、半径、边长、面积等。 方法技能 基本概念：中心、半径（外接圆半径）、边心距（内切圆半径）、中心角。 转化模型：将正边形分割成个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距。 核心直角三角形：这个等腰三角形被边心距分成两个全等的直角三角形。在此直角三角形中，、、满足勾股定理：。且，，。所有计算都基于此三角形。 变式演练 【变式01】（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 【变式02】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为______ ． 【答案】 【分析】设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，根据 ，，推出和都是等边三角形，推出四边形是菱形，得到，，根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，如图所示： ∵，， ∴ 是等边三角形， ∴； 同理，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形，正三角形，菱形．添加辅助线，熟练掌握正六边形性质，正三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正弦定义，等腰三角形性质，是解此题的关键． 【变式03】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是___________．（π取） 【答案】157 【分析】本题主要考查了弧长计算，正多边形的内角，解题的关键是熟练掌握弧长公式．先求出正十二边形每个内角度数为：，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：正十二边形每个内角度数为： ， 这个“太阳”轮廓的总长度是： ． 故答案为：157． 题●型●训●练 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 2．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 3．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①当点P在圆外时，，②当点P在圆上时，，③当点P在圆内时，，据此即可解答． 【详解】解：∵P在大圆内部， ∴， ∵P在小圆外部， ∴， ∴． 故选：C． 4．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）． A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆锥的高的定义及测量方法，解答本题的关键是掌握圆锥高的含义．从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，根据圆锥高的含义结合圆锥高的测量方法进行解答即可． 【详解】解：如图， 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高， 图中小军斜着测量得到的是圆锥的母线长度，量出长度是厘米， 所以圆锥实际的高小于厘米， 故选：． 5．一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，绕木棒一端旋转，木棒扫过的图形是半径为的半圆，利用圆的面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵木棒长为，绕一端旋转， ∴扫过的图形是半径的半圆 ∵圆的面积公式为 ∴木棒扫过的面积为. 6．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 7．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可． 【详解】解：由正八边形的性质，可得． 8．随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为______米． 【答案】 【分析】本题考查了扇形弧长公式的应用．扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为扇形半径），将，代入公式即可求解． 【详解】根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）， 故答案为：． 9．如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算可得． 【详解】解：的长为：， 故答案为：． 10．如图，点，，，在中，若， (1)求证：； (2)若，半径为1，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，弧长公式等知识点． （1）由弧与弦的关系证明即可； （2）连接，则由圆周角定理可得，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 11．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．    (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论； （2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直线， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连结，    ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆的基本性质与计算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：圆周角定理、圆心角定理及其推论的应用 题型02：垂径定理及其推论的应用 题型03：点、直线与圆的位置关系判断与计算 题型04：切线的判定与性质证明 题型05：弧长、扇形面积与圆锥侧面积的相关计算 题型06：正多边形与圆的相关计算 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 圆周角定理、圆心角定理及其推论的应用 典例引领 【典例01】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 方法透视 考向解读 此部分定理是圆中角度计算和推理的基石。考察：利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”进行角度转换和证明；利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形；利用“圆周角等于圆心角的一半”进行角度计算。 方法技能 找等角：在圆中，要证角相等，常找它们是否是同弧或等弧所对的圆周角。 见直径，连直角：题目中出现直径或隐含直径条件，立即连接直径所对的圆周角，构造直角三角形，为使用勾股定理或三角函数创造条件。 圆心角与圆周角：当圆心角易求时，可用此关系求圆周角；反之，已知圆周角，可求圆心角，进而求弧长。 变式演练 【变式01】（2026·湖南株洲·一模）如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型02 垂径定理及其推论的应用 典例引领 【典例01】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【典例02】（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 方法透视 考向解读 垂径定理是圆中计算的核心定理，与勾股定理结合紧密。中考常考察：已知弦长、弦心距、半径中的两个量求第三个；利用垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧进行角度或弧的推理。 方法技能 模型构建：见弦，常作弦心距（垂直于弦的半径），连接圆心与弦的端点，构造直角三角形。 勾股定理：在所得的直角三角形中，三边关系为。这是计算的关键方程。 推论应用：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。注意前提“弦不是直径”。 变式演练 【变式01】（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【变式02】（2026·湖南·模拟预测）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦，垂足为点，若的半径为13，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式03】（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型03 点、直线与圆的位置关系判断与计算 典例引领 【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为______，的最小值为______． 【典例02】在同一平面内，已知的半径为，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 方法透视 考向解读 考查对（点到圆心距离）与（半径）大小关系的理解。涉及切线长定理时，常与全等三角形、周长计算结合。 方法技能 位置判断：比较与。相交；相切；相离。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点与圆心的连线平分两切线的夹角。此定理常带来等线段和等角，用于证明或计算。 应用：常与直角三角形结合，利用勾股定理求切线长或半径。 变式演练 【变式01】如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为_______． 【变式02】（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 【变式03】已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 题型04 切线的判定与性质证明 典例引领 【典例01】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【典例02】如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 方法透视 考向解读 这是圆部分的核心证明题型。判定是“证垂直”，性质是“用垂直”。常作为几何综合题的关键步骤。 方法技能 判定方法： 连半径，证垂直：若直线过圆上一点，连接圆心与该点，证明这条半径与直线垂直。 作垂直，证半径：若不知是否过圆上点，过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段等于半径。 性质应用：若已知切线，则连接切点与圆心，该半径垂直于切线。这个垂直关系是后续推导的关键。 常见辅助线：见切线，连切点圆心；遇直径，连直角；有弦，作弦心距。 变式演练 【变式01】如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【变式02】（2019·四川巴中·一模）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，D是⊙O上于点，且弧BC=弧CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC． （1）求∠E的度数； （2）若⊙O的直径为5，sinP＝，求AE的长． 【变式03】如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 题型05 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的相关计算 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【典例02】（2024·湖南长沙·中考真题）半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 方法透视 考向解读 此题型考查公式应用和计算能力，属于中档题。考察：直接利用公式、或进行计算；求圆锥的侧面展开图扇形圆心角、母线长、底面半径等。 方法技能 公式记忆：弧长与圆心角、半径有关；扇形面积有两个公式。圆锥侧面积（为母线）。 圆锥问题：抓住核心关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，即。由此可建立底面半径、母线长、圆心角三者间的方程。 不规则图形面积：采用“割补法”，将其转化为扇形、三角形等规则图形的和或差。 变式演练 【变式01】（2026·湖南·模拟预测）如图，，，三点在上，若，且的半径为2，则劣弧的长是______． 【变式02】（2026·湖南张家界·一模）如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，为半径的弧，已知，则的长是（） A． B． C． D． 【变式03】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径为5，则该圆锥底面圆的半径为_____． 题型06 正多边形与圆的相关计算 典例引领 【典例01】如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【典例02】如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________．    方法透视 考向解读 将正多边形问题转化为等腰三角形和直角三角形问题。考察：求中心角、边心距、半径、边长、面积等。 方法技能 基本概念：中心、半径（外接圆半径）、边心距（内切圆半径）、中心角。 转化模型：将正边形分割成个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距。 核心直角三角形：这个等腰三角形被边心距分成两个全等的直角三角形。在此直角三角形中，、、满足勾股定理：。且，，。所有计算都基于此三角形。 变式演练 【变式01】（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【变式02】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为______ ． 【变式03】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是___________．（π取） 题●型●训●练 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 2．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 3．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　） A． B． C． D． 4．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）． A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定 5．一根长的木棒，如果绕着它的一端旋转，木棒扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______． 7．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 8．随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为______米． 9．如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）． 10．如图，点，，，在中，若， (1)求证：； (2)若，半径为1，则______． 11．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 12．如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．    (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $