精品解析：云南新纪元云贵发展中心2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025-2026春期新纪元云贵发展中心第一次月考 数学（高二） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 2. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数关系为（），则在时刻，赛车的加速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(    ) A. R B. 2R C. D. 7. 若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在处存在导数，则的值（ ） A. 与有关 B. 与h有关 C. 与无关 D. 与h无关 10. 下列函数求导正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 11. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________． 13. 直线与函数和的图象都相切，则______． 14. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 16. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为. （1）求的表达式； （2）若自变量从变到，求的平均变化率； （3）若，求在处的瞬时变化率. 17. 设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且. （1）求的值以及直线的方程. （2）当时，求函数的极值. 18. 已知函数． （1）设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； （2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，证明：有2个零点； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026春期新纪元云贵发展中心第一次月考 数学（高二） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解. 【详解】由已知有， 则. 故选：B 2. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率. 【详解】由，则曲线在点处的切线斜率为. 故选：B 3. 一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数关系为（），则在时刻，赛车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数的运算法则求出，再求出即可. 【详解】由题意得，，则5秒时刻加速度为. 故选：B. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】图象可知，. 故函数在处，切线的斜率为0， 只有选项D满足条件. 故选：D 5. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究极值点即可. 【详解】由，因为是函数的极小值点， 所以，即 则当或时，，所以在上递增， 则当时，，所以在上递减， 即在时有极大值, 故选：D . 6. 内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(    ) A. R B. 2R C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的高为h,底面半径为r, 则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2, 所以V=πr2h=h(2Rh-h2) =πRh2-h3,V′=πRh-πh2, 令V′=0,得h=R. 当0<h<R时,V′>0;当<h<2R时,V′<0. 因此当h=R时,圆锥体积最大. 7. 若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，利用导数研究函数的单调性从而求函数的值域；当时，由题意知，函数图像为开口向上的二次函数，则最小值，求解不等式即可. 【详解】当时，，则. 令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数过原点，最小值为； 当时，， 若，二次函数开口向下，值域无下界，不符合题意； 若，则函数为单调递减的一次函数，不符合题意； 若，函数图像为开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取到，则,解得, 综上：函数的值域为，则实数a的取值范围是, 故选：C 8. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数讨论单调性，由单调性比较大小可得. 【详解】因为，，， 构造函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数在处存在导数，则的值（ ） A. 与有关 B. 与h有关 C. 与无关 D. 与h无关 【答案】AD 【解析】 【分析】由导数的定义判断即可. 【详解】由导数的定义可知，， 函数在处的导数与有关，与h无关， 故选：AD． 10. 下列函数求导正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用基本函数的导数公式及加法和乘法法则、复合函数的导数运算求各项函数的导函数. 【详解】对于A，已知，则，故正确； 对于B，已知，则，故正确； 对于C，已知，则，故错误； 对于D，已知，则，故正确． 故选：ABD 11. 函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据函数的图象可知，，，将、用表示，分析从而可得出答案. 【详解】因为，， 由图可知，，，， 则，故C错误； ，， 两式相减得，即， ，则， 所以，则，所以，故AB正确； 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________． 【答案】2π 【解析】 【分析】求出导数，即可求出，从而得解. 【详解】由，可得，当时，， 即当时，气球体积的瞬时变化率为． 故答案为：. 13. 直线与函数和的图象都相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 14. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值. 【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元， 则， 可得， 当时，可得，函数单调递增； 当时，可得，函数单调递减； 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的导函数，再结合在点处的切线与直线平行，列出的方程，求解即可 （2）结合（1）得出函数的单调性，再利用单调性解不等式. 【小问1详解】 因为函数，则， 又因为图象在点处的切线与直线平行， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，且恒成立， 所以在上单调递增， 则不等式等价于， 解得. 16. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为. （1）求的表达式； （2）若自变量从变到，求的平均变化率； （3）若，求在处的瞬时变化率. 【答案】（1） （2）22 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利和长方体的体积公式可求； （2）由平均变化率的定义可得，计算可得平均变化率； （3）由，可求，进而求得可得在处的瞬时变化率. 【小问1详解】 因为四边形的周长为12，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 若自变量从变到，则的平均变化率为. 【小问3详解】 由，得. ， 则， 所以在处的瞬时变化率为-30. 17. 设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且. （1）求的值以及直线的方程. （2）当时，求函数的极值. 【答案】（1）或，直线的方程或； （2）极小值，没有极大值 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，再由弦长公式得到方程，求出或，求出直线方程； （2）在（1）的基础上得到，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况. 【小问1详解】 因为，则， 故在处的切线方程， 将直线的方程代入椭圆方程中，得， 设，则，且， 因为， 所以， 解得或， 所以直线的方程为 或. 【小问2详解】 函数的定义域为，由得， 可得，令得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值，没有极大值． 18. 已知函数． （1）设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； （2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 【答案】（1） 由可得， 故函数在是严格增函数， 设，，，则，即， 即直线的斜率大于0． （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得函数为单调递增，再利用函数单调性以及两点间斜率公式即可得直线的斜率大于0； （2）将不等式在上恒成立转化成函数在上恒成立，对实数的取值范围进行分类讨论即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，设，， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，， （ⅰ）若，， 所以在上是严格减函数，，满足题意； （ⅱ）若，注意到在时，， 于是， 故，不满足题意舍去； 综上，实数的取值范围是． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，证明：有2个零点； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2） 方法一：的定义域为， 因为，所以当时，单调递增， 当时，单调递减． 当时，取到极大值，也是最大值. 因为，所以， 因为，所以在区间上有且只有1个零点， 所以在区间上有且只有1个零点． 因为， 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，即，所以. 所以在区间上有且只有1个零点， 所以在区间上有且只有1个零点. 综上所述，当时，有2个零点. 方法二：的定义域为，由，得． 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以当时，取到极大值，也是最大值. 又，当时，，且， 所以当时，直线与的图象有2个交点， 即当时，有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）方法一：先利用导数分析函数单调性，易得在区间上有且只有1个零点，再证明在上有且只有1个零点，即可求证； 方法二：由，得，令，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可； （3）由题意得，利用导数分析函数的单调性，进而得到在上单调递减，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以当时，有极大值，且极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 设，则，所以有2个不同的根， 因为，所以． 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以时，取到极小值，也是最小值． 因为恒成立，所以，即. 又，所以， 令，则恒成立， 所以在上单调减，又，所以由，得， 所以由，得. 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $