7.1.1 条件概率(2)课件 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆一下 1. 求条件概率有两种方法： ① 是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)； ② 是根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率. 2. 概率的乘法公式： P(AB)=P(A)P(B│A) 7.1.1 条件概率 问题一：条件概率有哪些性质？  条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则 (2)如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C |A)=P(B | A)+P(C | A)； (1)P(Ω|A)=1； A B AB A B AB C AC 求复杂事件的概率常分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和的概率。 (3)设B和互为对立事件，则P( |A)=1 P(B|A). B 例1：证明：当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (P53第10题） 典例精析 证明： 例2：在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)=， P(AB)= =，P(AC)==. ∴P(B|A)===，P(C|A)===. ∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=. ∴所求概率为. 典例精析 典例精析 例3 ： 已知3张奖券中只有1张有奖, 甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则 解： 甲不中的条件下, 还剩2张奖券, 所以乙中与不中都是 . ∴P(B)= 因为P(A)=P(B)=P(C), 所以中奖的概率与抽奖的次序无关. P(C)= 在抽奖问题中，无论放回还是不放回随机抽取，中奖概率都与抽奖顺序无关 典例精析 例4：银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率： （2）如果记得密码最后1位数是偶数，不超过2次就按对的概率. 事件A1与事件 A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 P(A)=P(A1)+P( )= P(A1)+P( )P(A2| )= 解：(1)设Ai=“第 i 次按对密码”(i=1，2)， 则事件“不超过2次就按对密码”等价于“第一次按对，或者第一次按错但第 二次按对”可表示为 A=A1∪( A2). 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 典例精析 例4：银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率： （2）如果记得密码最后1位数是偶数，不超过2次就按对的概率. (2)设B=“最后1位密码为偶数”，则P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)= ； 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 . 归纳总结 1．在什么条件下，才有P(B|A)＝P(B)? 当且仅当事件A与事件B相互独立时，才有P(B|A)＝P(B)． 2．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求条件概率时应注意的问题是什么？ 应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 3．设 和B是两个对立事件, 则P( |A)=1-P(B|A). 随堂小测 1.（多选）设 ，则（ ） A. B. C. D. AC 2.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（ ） A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285 解析：记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则 P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 随堂小测 随堂小测 3. 有一批种子的发芽率为0.9,发芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗（发芽,且幼苗成活）的概率为________ 解: 设A=“这粒种子发芽”,B=“幼苗成活”为事件，则“这粒种子成长为幼苗（发芽,且幼苗成活）”为事件 根据题意得, ， 则 4.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为_____ 随堂小测 解：设事件A为“两瓶中有一瓶是蓝色”,事件B为“两瓶中另一瓶是红色”,事件C为“两瓶中另一瓶是黑色”,事件D为“两瓶中另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C且B与C互斥. 由已知得 故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) 课后作业 课本P52 7，9 课本P90 3 大本 $