精品解析：海南琼海市嘉积中学2025-2026学年高一第二学期随堂练习（一）数学科试题

嘉积中学2025—2026学年度第二学期高一年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则m=（　　） A. 6 B. 6 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，列方程可求出的值 【详解】因为， 所以，解得， 故选：A 2. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由为的中点，得到 ，再由为的中点，结合平面向量基本定理，即可得出结果. 【详解】因为为的中点， 所以， 又在平行四边形中，为的中点， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 3. 向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 0 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 4. 已知，分别为两个实根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理结合两角和正切公式计算即可. 【详解】因为，分别为两个实根，则， 则. 故选：C. 5. 近日海南气温波动较大，假设琼海市某天8~18时的温度变化近似满足函数，已知8时气温最低，为18度，14时气温最高，为28度，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为8时气温最低为18度，14时气温最高为28度 ，. ，. ，. ，，又，. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】易知函数， 因此只需将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变可得到， 再将其向右平移个单位长度可得到. 因此只需将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度可得到函数的图象. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分别用诱导公式及和差角公式，半角公式化简，再结合正弦函数的单调性判断可得. 【详解】由 . 由，因为， 所以，故. 再由，所以， 所以，即，故D正确. 8. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. C. 对任意，是和它共线的一个单位向量 D. 若，则共线 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算以及单位向量的定义解决问题；对于向量的加法和减法运算，要根据向量加法的三角形法则和减法的三角形法则来判断；对于单位向量，要明确单位向量的定义，即模长为 1 的向量判断即可. 【详解】选项A:因为， 所以，故选项A正确； 选项B：，故选项B正确； 选项C：对于非零向量，的模长为：， 且方向与完全相同，因此是与共线的单位向量，故选项C正确； 选项D：，仅说明向量与平行（共线）， 但四点不一定共线，故选项 D 错误. 故选：ABC. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为3 C. 关于对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，之后逐项分析即可. 【详解】， 所以，所以A正确； 因为，所以的最大值为，所以B错误； 令，所以，所以函数图象关于点对称，所以关于对称，所以C正确； ，所以，即， 所以或，即或， 当，， 当，，所以D错误. 11. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【详解】易知在上的投影向量为. 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】将写成，然后按照两角和的正弦公式展开计算即可. 【详解】 14. 若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可. 【详解】由题意函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调，可得，则. 因为，所以. 因为，所以. 因为在上单调，所以或， 解得，或， 因为，所以或． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，且向量的夹角为， 则， 则. 【小问2详解】 设，因为，且， 则，解得或， 所以或. 16. 已知，，且，. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值； （2）根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果. 【小问1详解】 由题意知，， 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由，，可得，， 所以， ， 因为，所以. 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及其单调递减区间； （2）若、，且，求的值与的取值范围． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据最值可得，根据周期可得，代入点可得，即可得的解析式，以为整体结合正弦函数单调性求的单调递减区间； （2）根据题意结合对称性可得，代入可得；可得，且，即可得的取值范围. 【小问1详解】 由图象可得，函数的最小正周期为， 且，则，解得，可得， 又因为，即， 且函数在附近单调递增，则， 即，且，可得， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为、，则，， 且，则，可得， 所以， 又因为，且， 所以. 18. 如图所示，是中点. （1）求； （2）以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点满足，求： ①点P的轨迹方程； ②的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，通过平方即可求解； （2）①建系，设，结合向量垂直的坐标表示即可求解；②设，结合向量数量积的坐标表示和辅助角公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知：， 则 ， 把代入解得：； 【小问2详解】 ①以B点建立坐标系如下图： 由条件知：， 设，则， 则 ， 即， 即P点的轨迹方程是； ②设，，则， 由（1）易知， 则 ， ， 即. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图像在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据相邻对称轴之间的距离可得，再由平移后的函数为偶函数可得，进而可得函数解析式； （2）通过换元，将不等式转化为，再由对勾函数的性质可得不等式右边的最小值，进而可得所求值的范围； （3）先解得函数的零点，再判断零点间隔以交替出现，要使区间长度最小，区间左右端点刚好是第个零点和第个零点，再进一步可得区间包含个间距为，个间距为，从而可得最小区间长度. 【小问1详解】 因为函数的图象两相邻对称轴之间的距离是， 所以，得,. 又因为将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得函数， 所以，且为偶函数， 所以，，且， 所以. 【小问2详解】 因为时，，所以. 令，则，所以原不等式变为. 可得，因为，， 所以不等式等价于，即， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以，， 因为不等式恒成立，所以. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 令，得， 所以或， 解得或. 所以同一周期内零点间距为， 跨周期相邻零点间距为， 所以函数的零点间距以交替出现， 要使区间至少含有个零点且区间长度最小， 需满足区间左端点取在某一零点处，右端点取在第个零点处， 此时总间隔数为个， 在个交替间隔中，包含个间距为，个间距为， 所以区间最小长度为. 综上所述，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉积中学2025—2026学年度第二学期高一年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则m=（　　） A. 6 B. 6 C. D. 2 2. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 0 B. 8 C. D. 4. 已知，分别为两个实根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. 近日海南气温波动较大，假设琼海市某天8~18时的温度变化近似满足函数，已知8时气温最低，为18度，14时气温最高，为28度，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. C. 对任意，是和它共线的一个单位向量 D. 若，则共线 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为3 C. 关于对称 D. 若，则 11. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在上的投影向量的坐标是__________． 13. __________． 14. 若函数在上单调，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 16. 已知，，且，. （1）求，； （2）求. 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及其单调递减区间； （2）若、，且，求的值与的取值范围． 18. 如图所示，是中点. （1）求； （2）以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点满足，求： ①点P的轨迹方程； ②的取值范围. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图像在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $