海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测三（月考）数学试题

嘉积中学2023-2024学年第二学期高中教学质量监测三（月考） 高一数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次的考试，祝你取得好成绩。 一、单选题 1．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 3．一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图圆心角为（    ）． A． B． C． D．π 4．设是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若 , ,则 D．若，，，则 5．已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．函数部分图象如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D．1 8.南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为，盆底半径为，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为（    ） A． B． C． D． 三、多选题 9.关于同一平面内的任意三个非零向量、、，下列说法正确的是 （ ） . 若，则 . . 若∥，且∥，则∥. . 若，则. . 若，则. 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．点C到平面的距离为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 11.“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥, 共可截去八个三棱锥, 得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体. 已知, 则下列说法正确的是（ ） A. 该半正多面体的顶点数V，棱数E，面数F，那么V+F-E=4； B. 该半正多面体的体积为； C. 直线AB与直线BC所成的角为60°. D. 该半正多面体外接球的表面积为18π； 三、填空题 12. 为虚数单位， . 13．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则 .    14. 在中（a,b,c分别为角的对边），若，则A= （3分）， （2分） 四、解答题 15. 如图, 四棱锥中, 是菱形,∠DAB=60°，,PA=PD，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)在AD上是否存在一点M，使得平面PMB⊥平面PAD？若存在请证明，若不存在请说明理由。 16.在中，（a,b,c分别为角的对边） （1）求角C的大小； （2）若BC=2，延长AB至点D，使得BD=，，求AB的长度。 17.如图，在正方体中，棱长为2. （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值. 18．(17分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足： (1)求角的A大小； (2)若，，，分别为，上的两点，，，相交于点 （i）求的值； （ii） 求证：． 19.任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中,. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学答案 1----8 BADD BDAD 9----11 BD AC BCD 12. i 13. 18 14. 120°或 15.（1）  证明：连接，∵底面是菱形，为的中点， ∴在上且为的中点，又是的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面；————6分 （2） 存在 证明如下：取AD中点M，连接PM,BM，∵PA=PD，∴PM⊥AD。 又∵ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BM⊥AD 而PMBM=M，PM,BM平面PMB ∴AD⊥平面PMB, AD平面PAD,∴平面PMB⊥平面PAD——————13分 14. (1)因为，由正弦定理得 又 ————————————7分 (2)因为所以在△BCD中由余弦定理可得：BD²=BC²+CD²-2BCCDcos∠BCD，所以13=4+CD²-4，解得， 由正弦定理得，即，解得， 所以，， 在三角形ADC中由正弦定理得：，则， 解得，所以————————15分 17. （1）连结交于点O，在正方形中，， 平面，平面， ，，，平面， 平面，又平面，. ——————————7分 （2）连结. 在正方体中，，O是线段的中点，， 在中，，， 是二面角的平面角. 在中，，，， 由余弦定理得: . 即二面角的平面角的余弦值为.————————15分 法二：以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）（答卷上要作图） （1）因为棱长为2，∴A（2,0,0）C（0,2,0）D1（0,0,2）B（2,2,0） 那么 ∴AC⊥BD1————————7分 （2）由上知,平面ACB的法向量为 平面ACD1的法向量为 由 设D1-AC-B的平面角为θ，那么 又由图可知θ为钝角，∴即为所求。————————15分 18（1）因为 所以 解得或 因为，所以，所以——————7分 (2)（i）因为，，，所以由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB. AC .cosA 所以BC=. _____12分 （ii）因为，所以， 所以， 所以，即，所以．——————17分 19. 【详解】（1）由于，故， 则；————————5分 （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故；——————11分 （3）记， 由棣莫弗定理得， 从而得，所以， 所以64在复数域内的6次方根为 ， ， ， 设，其中， 代入计算可得，.——————————17分 学科网（北京）股份有限公司 $$