精品解析：山东济宁市第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

数学 一、单选题 1. 设函数在处存在导数为3，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在处存在导数为3，即， 所以. 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 4. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 则，得 6. 在的展开式中，含x的项的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 80 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，则， 故的展开式中含x的项的系数为. 7. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解系数和. 【详解】令得：， 令得：， 所以. 8. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于给出的是开区间，且是减函数，所以判断有且只有一个极大值点，所以在上有零点，由此列出不等式，求解可得实数的取值范围. 【详解】，在区间上单调递减，且. 若函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得. 二、多选题 9. 若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（   ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 10. 象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种排列方式 B. 若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C. 若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D. 若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 【答案】ACD 【解析】 【分析】由全排可得A；两个“车”先捆绑，再与其他全排可判断B；先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空可确定C；将2个黑色的棋子进行全排列，红色棋子插空可得D. 【详解】A对，由排列知识可得共有种排列方式． B错，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式， 再和剩余的3个棋子进行全排列，故共有种排列方式． C对，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空， 再将两个“马”插空，故共有种排列方式． D对，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空， 故共有种排列方式． 故选：ACD. 11. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式定理以及性质逐一求出. 【详解】展开式共项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确； 共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由求导得，则， 因为函数的图像在处的切线与直线平行， 所以，即，解得． 13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【答案】 【解析】 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 14. 在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数，. （1）当时，求的单调区间与最值； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）函数的单调增区间是，递减区间为，的最小值为：；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的最值； （2）在上单调递增，则恒成立，分离参数，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）当时，，. 令，即，解得：； 令，即，解得：； 在时取得极小值，亦为最小值，即. 当时，函数的单调增区间是，递减区间为，的最小值为：； （2），. 在上单调递增，恒成立， 即，恒成立. 时，，. 即的取值范围为. 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键将单调性问题转化为导数大于等于0恒成立，利用分离参数法求得实数的取值范围是常用的方法. 16. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 【答案】（1）60 （2）180 （3）180 （4）210 【解析】 【分析】（1）优先安排甲乙跑中间两棒，再从其余6人中选2人排列在剩下2个位置. （2）使用捆绑法，将甲乙看作是一个元素，与另外选出的2人进行全排列. （3）使用插空法，先从除甲乙外的6人中选出2人进行排列，再将甲乙插入到已经排列好的元素的邻近位置. （4）使用占位法分类讨论，先讨论甲在乙的限制位置，再讨论甲不在乙的限制位置，即可求解. 【小问1详解】 甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法， 则共有种排法. 【小问2详解】 将甲乙绑定到一起，内部有2种排法， 从剩下6人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法， 所以共有种排法. 【小问3详解】 先从剩下6人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. 【小问4详解】 若甲在第四棒， 则从剩下6人选出2人，有种选法， 3人全排列，共有种排法， 此时共有种排法， 若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法， 乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法， 再从剩下6人选出2人排列到剩下的两个位置，有种排法， 此时共有种排法， 综上，共有种排法. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求α的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）求导函数，由的正负确定单调性； （2）用分离参数法转化为求函数的最值，得参数范围． 【详解】解：（1），定义域为，且， 当，则，单调递增 当，令，则；若，则， 综上，当时，函数增区间为，无减区间 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）若恒成立，则恒成立， ，所以分离变量得恒成立， 设，其中，则， 所以， 当时，；当时，. 即函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数取最大值，即，所以 因此，实数的取值范围是. 18. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质及计算公式化简方程求解. （2）求出二项式展开式的通项公式确定各项系数的正负，再利用赋值法求解. 【小问1详解】 依题意，， 即，而，所以. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 则为正数，为负数， 在中，令， 令，得， 所以. 19. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；（3）． 【解析】 【分析】（1），求得，得到，然后计算切点纵坐标，求导数，计算切线斜率，写出切线方程，进而得到函数的解析式; （2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性，进而得到极值. （3）令,，由于，，故先对时的情况利用导数研究函数的单调性，即可得到，符合题意.当时，再利用导数研究函数的单调性，设的零点情况分和讨论，进而求得 时符合题意，时不符合题意，从而综合可得. 【详解】解：（1），∴， ，， ，， 切线方程为,即, ∴． （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）令, ，，, 1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意； 2．当时，设， ①当，，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意； ②当时，，，所以在上递增， 在上递减，，所以当，， 所以在上单调递减，，所以，，舍去. 综上：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题 1. 设函数在处存在导数为3，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 4. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在的展开式中，含x的项的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 80 7. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 31 D. 32 8. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（   ） A. B. C. D. 10. 象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种排列方式 B. 若两个“车”相邻，则有24种排列方式 C. 若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 D. 若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 11. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 三、填空题 12. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______． 13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 14. 在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 四、解答题 15. 已知函数，. （1）当时，求的单调区间与最值； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围. 16. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求α的取值范围. 18. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $