精品解析：2026年安徽巢湖市部分学校中考一模九年级数学试卷

2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 电池箔是用于制造电池各种工件的铝箔，在生活中有广泛的应用．我国企业研制的（）锂电铜箔，是目前全球能够实现量产的最薄锂电铜箔．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个几何体由圆柱和正方体组成，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在四边形中，，E，F为边上两点，且，若，则值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 15 10. 若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则整数n的值为_________． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和平数”．例如：四位数3254，因为，所以3254是“和平数”，根据规定，最小的“和平数”是_________． 13. 如图，点P的初始位置在原点上，每隔一秒P点随机向左或向右移动1个单位长度，则经过两秒后，P点回到原点的概率是_________． 14. 定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组：． 16. 在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b （1）_________， _________； （2）如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 18. 项目式学习 【任务一 阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． （1）【任务二 应用体验】根据图表直接写出_________． （2）【任务三 拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则_________； ②若，其中为各项系数，则求_________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的顶点都是格点． （1）将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到对应线段，画出线段，四边形的面积为_________； （2）仅用无刻度直尺作出点关于直线的对称点． 20. 一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点，且． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）点是轴上的一点，若，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【研究背景】 如图1，在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R， 【操作探究】补充下面证明说理． 如图2，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），（半圆（或直径）所对的圆周角是直角）， ， ． （1）猜想：在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R，则有． （2）【理解应用】如图，中，平分，则_________； （3）【问题解决】太平湖位于黄山区，是青弋江上游一座人工大水库，有着“东方日内瓦”“未经雕琢的翡翠”之美誉．某综合与实践小组要绘制一幅太平湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，在空旷地找一点C，利用无人机多次测量并取平均值测得，利用测距仪多次测量并取平均值测得．求A，B两岛在图纸上的距离．（比例尺为，结果精确到．参考数据：） 七、（本题满分12分） 22. 如图1，等腰直角三角形中，为斜边中点，为上任一点，交于点F，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，当为中点时，求证：； （3）当点在上移动时，猜想和的数量关系并证明． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线和抛物线在同一坐标系中．抛物线与y轴交于，其最小值为，点P为上一动点，点A坐标为，过点P作直线的垂线，垂足为B，连接． （1）求b，c的值； （2）求证：； （3）点M是抛物线上的任一动点，其纵坐标记为m，在直线上是否存在一定点Q，使得的值为定值？若存在，求出Q点坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算绝对值，再与绝对值前的负号进行运算即可得到结果. 【详解】解：. 2. 电池箔是用于制造电池各种工件的铝箔，在生活中有广泛的应用．我国企业研制的（）锂电铜箔，是目前全球能够实现量产的最薄锂电铜箔．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 如图，一个几何体由圆柱和正方体组成，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三视图中的俯视图，掌握俯视图的绘制规则及几何体的观察角度是解题的关键．从正上方俯视该几何体时，要明确正方体的投影为正方形，圆柱的投影为圆形，且由于圆柱被正方体遮挡，可见轮廓线画实线，不可见的轮廓线需画虚线． 【详解】解：从正上方俯视时，看不到下方的圆柱，故圆柱用虚线表示，且无需额外标记中心点． 故选：． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用积的乘方与幂的乘方法则计算结果，选出正确选项 【详解】解：∵ 积的乘方法则为，幂的乘方法则为 ∴ 5. 已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解出，再结合解为负数、分式分母不为的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且分母， 即，且， 解得，且． 【点睛】对于此类告知分式方程解的情况的题型，要注意分式方程有解必须满足分式分母不为这个隐含要求，否则极容易造成漏解． 6. 如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∵的周长等于，， ， ∴， ∴． 7. 某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知，纵坐标与横坐标的比值越大，热效率越高，其中甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大，所以甲设备的热效率最高． 【详解】解：由函数图象可知， 甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大， 甲设备的热效率最高． 8. 如图，在四边形中，，E，F为边上两点，且，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点G，由等腰三角形的性质得出，，再根据等角的补角相等得出，进一步得出，再根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出值． 【详解】解：过点A作于点G， ∵， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，连接，过点作于点，首先结合垂径定理证明，易得，在中，由勾股定理解得的长度，设半径为，即，则，在中，由勾股定理解得的值，然后在中，由勾股定理解得的长度，根据垂径定理即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交于点，连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∵弦的弦心距为2，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 10. 若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简绝对值，分两种情况当和分别求解，当时，解出x， 不满足题意，当时，则，然后再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则，即， ∵， ∴或，不满足题意， 当时，则， ∴， ∵方程有实数根， ∴当时，即， 解得（舍去）或， 把代入， 得，即， 解得：（不是正数，舍去）， 当时，即， 解得或， 设和为的两根， ，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根， ∴，， 解得：， 综上：． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则整数n的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行无理数的估算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和平数”．例如：四位数3254，因为，所以3254是“和平数”，根据规定，最小的“和平数”是_________． 【答案】1263 【解析】 【分析】优先保证高位数字最小，结合“和平数”的定义与各数位数字互不相等且均不为0的条件，即可得到结果． 【详解】解：要得到最小的四位“和平数”，优先让高位数字最小． 千位数字是不为的正整数，因此最小取． 根据“和平数”定义，得，即． 百位数字不为，且与不相等，因此最小取，代入得． 是不为的一位数，且不与，相等，从小到大验证： 当时，，此时四个数字为，均不为且互不相等，满足所有条件． 得到四位数1263，不存在比它更小的“和平数”． 13. 如图，点P的初始位置在原点上，每隔一秒P点随机向左或向右移动1个单位长度，则经过两秒后，P点回到原点的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出P点恰好回到原点的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中P点恰好回到原点的可能性有2种， ∴P点恰好回到原点的概率为． 14. 定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，设，由黄金矩形的定义可得，进而得到，最后求比例即可； （2）先说明四边形是正方形得，设，则,由黄金矩形定义、；由折叠的性质可得，设，则，运用勾股定理列方程可求得,进而求的,后求比例即可． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴， 设，则． ∴， ∴； （2）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴四边形是正方形， ∴， 设，则, 由黄金矩形定义． ∵矩形为黄金矩形， ∴，即，解得：， ∴， ∵将矩形沿折叠，点B的对应点为， ∴， 设，则， ∴, ∴， ∴, 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 16. 在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【答案】3200元 【解析】 【分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【详解】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b （1）_________， _________； （2）如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 【答案】（1）74；82 （2）乙选手是第一名． 【解析】 【小问1详解】 解：由题意得，解得， ； 【小问2详解】 解：甲选手：； 乙选手：； 丙选手：； ∵， ∴乙选手是第一名． 18. 项目式学习 【任务一 阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． （1）【任务二 应用体验】根据图表直接写出_________． （2）【任务三 拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则_________； ②若，其中为各项系数，则求_________． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二项式定理、多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项式展开式的规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，令代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【小问1详解】 解：由图表可得：； 【小问2详解】 解：①由图表得： ，，，，，，， ； ②令，则变形为 ， 即， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的顶点都是格点． （1）将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到对应线段，画出线段，四边形的面积为_________； （2）仅用无刻度直尺作出点关于直线的对称点． 【答案】（1） 解：如图为线段，连接、， （2） 解：如图为点， 【解析】 【分析】（1）根据网格特征平移线段，然后根据平行四边形的面积公式进行计算； （2）取格点，连接，使，然后取格点，连接，使，则与的交点即为． 【小问1详解】 解：如图 经过平移得到线段， ，， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：如图， 取格点，连接， 取格点，连接与相交，得交点． 20. 一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点，且． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）点是轴上的一点，若，求的值． 【答案】（1）反比例函数关系式为，一次函数关系式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，勾股定理，两点间的距离，解一元二次方程． （1）先把，代入求出的关系，再结合即可求出的值，然后再用待定系数法求解即可； （2）由，，得到的表达式，再由勾股定理列出关于的一元二次方程，然后解方程求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得①， ∵②， ∴由①②得， ∴，， ∴， ∴反比例函数关系式为． 把，代入中得， ，解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得或． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【研究背景】 如图1，在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R， 【操作探究】补充下面证明说理． 如图2，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），（半圆（或直径）所对的圆周角是直角）， ， ． （1）猜想：在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R，则有． （2）【理解应用】如图，中，平分，则_________； （3）【问题解决】太平湖位于黄山区，是青弋江上游一座人工大水库，有着“东方日内瓦”“未经雕琢的翡翠”之美誉．某综合与实践小组要绘制一幅太平湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，在空旷地找一点C，利用无人机多次测量并取平均值测得，利用测距仪多次测量并取平均值测得．求A，B两岛在图纸上的距离．（比例尺为，结果精确到．参考数据：） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，同理可得，即可解答； （2）先推导出，由题意，同理可得，，则， ，即可解答； （3）先推导出，由题意，同理可得 ，求出，再根据比例尺进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，同理可得 【小问2详解】 解：∵在中， ， ∴． ∵平分， ∴， 在中，由题意得： ， ∴， 在中，由题意得： ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵在中，， ∴， 在中，由题意得： ， ∴， ∵比例尺为，， ∴A，B两岛在图纸上的距离为． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，等腰直角三角形中，为斜边中点，为上任一点，交于点F，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，当为中点时，求证：； （3）当点在上移动时，猜想和的数量关系并证明． 【答案】（1）证明：如图，设与的交点为， ∵在等腰直角三角形中，为斜边， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵为中点， ∴， 由（1）可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 证明如下：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，结合为斜边中点可得，，，从而可证明，则．由等角的余角相等可得，结合可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论容易证明，则，从而得到，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，命题得证； （3）过点作的平行线，交的延长线于点，由（1）可知，，则，由平行可判定，则，因此，同理可得，则，结合，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 抛物线和抛物线在同一坐标系中．抛物线与y轴交于，其最小值为，点P为上一动点，点A坐标为，过点P作直线的垂线，垂足为B，连接． （1）求b，c的值； （2）求证：； （3）点M是抛物线上的任一动点，其纵坐标记为m，在直线上是否存在一定点Q，使得的值为定值？若存在，求出Q点坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） ∴； 证明：设， ∵点A坐标为， ∴， ∵垂直于直线， ∴， ∴， ∴； （3）存在定点，使得的值为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）首先将点代入，可解得，根据抛物线的对称轴，且开口向上，可知在对称轴处取得最小值，且最小值为，然后计算的值即可； （2）设，由勾股定理可得，结合题意可知，进而可得，即可证明结论； （3）设点，则，设直线上定点Q坐标为,易得,令,将代入上式, 可得；设（为常数），则有，即，等号两边平方并整理，进而可得关于的方程组，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于， ∴将点代入，可得， ∴， 对于抛物线，其对称轴为， ∵， ∴该抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值，且最小值为， ∴，解得， ∵， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可知，， 设点，则， 设直线上定点Q坐标为, ∴, 令,将代入上式, 可得, 要使的值为定值,可设（为常数）， ∴， ∴， 等号两边平方，可得， 整理可得， ∴， 解得， ∴存在定点，使得的值为定值，定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $