第十九讲 导数：解不等式、恒成立、分参、构造 讲义-2026届高三数学二轮复习

第19讲导数 不等式、恒成立、分参、构造 知识核心 【一】构造：同构、作差构造 1、与e和lnx相关的常见同构模型 ①积型： [同左：ae≤lnb)enb-----f(x)=xe* ae”≤blnb三种同构方式 同右：e“lne°≤blnb-------f(x)=xlnx 取对：a+lna≤lnb+ln(lnb)---f(x)=x+lnx 同左：e°ea a Inb ---f)=e ②商型： ea b 三种同构方式同右： ea b a Inb Ine Inb 取对：a-lna<lnb-ln(lnb)---f(x)=x-lnx 2、常见模型（证明） (1)指对数恒等式：有a8:=x,log。a=x ①xer=etn;x+lnx=lnxe*）】 ②e e=e'-h::x-Inx=In e ③x2e'=e*+2n;x+2lnx=ln(x2e） er2mx ef ④e =ex-2Inx (2)其他常见结构（证明：参数的取值范围) ①a>log.x→e>hx→xlna-e>xlnx=→xna>lnx→a>e; In a ②e>nr→2e>nx32xe>xnx→x·e>nx·e→2x>nx→1≥号 ③er+ax>ln(x+1）+x+1=exw+ln(x+l→ax>ln(x+1 ④xe=e+nr≥x+lnx+l;x+lnx=lnxe≤xe'-1 (3)凑常数、参数、变量结构 若式子无法直接变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x,同加上x等，再用上述方式变形 ①aer>lnx→axex>xlnx; @x+≥x-lnx(x>0)→1-lnJ≥x-nx'→fx=x-nx e 【二】放缩：小题比大小、大题证明不等式的一种思路 当x≥0时，e之x+l,1-1snx≤x-1 ,元时，sinx<x<tanx 当xe0,2) 1 当x<l时，x+1<e< 1-x 【三】关联知识点 1、二次函数中的四大金刚：开口方向、对称轴、判别式、韦达定理 2、导函数的根求法：因式分解、求根公式、猜根、设隐零点-设而不求 3、f(x)是极值→f'(x)=0;f'(x)=0+f(x)是极值。即：f'(x)=0是f(x)为极值的必要非充分条件 4、各种单调性： 幂函数：f=xa>0时，在第一象限单增 a<O时，fx在第一象限单减 指数函数：y=a>0恒成立哟！a>1时，单增：0<a<1时，单减 对数函数：y=log。xx>0); a>1时，单增；0<a<1时，单减 指对互化：如果a=N(a>0且a≠1)，那么可以记作x=log。N 对数恒等式：aw=N;log。aW=N 1.(2024天津高考真题)己知函数∫x=xlnx. (1)求曲线y=∫(x)在点1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)≥ax-Vx对任意xe(0,+o）成立，求实数a的值； 2.(2023新课标I卷高考真题)己知函数f(x)=a(e+a-x. (1)讨论∫x的单调性； ②适期：当a>0时，八>2a+号 3.(2022天津高考真题)已知a,beR,函数fx)=e-asinx,g(x)=b√ (1)求曲线y=f(x)在(0，(0)处的切线方程； (2)若曲线y=∫(x)和y=gx)有公共点， (i)当a=0时，求b的取值范围； 4.(2022新高考全国Ⅱ卷·高考真题)己知函数f(x)=xew-e. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)<-1,求a的取值范围： 1+1++ 1->ln(n+. 3)设n∈N,证明：F++2+2m+n 三十 5.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数f(=2血2-x' ，g(x)=m(x-1). (1)求曲线y=f(x)在(L,fI)处的切线方程； (2)若当x∈[1,2)时，恒有f(x)≥g(x),求实数m的取值范围. 6.(2025·江苏南京·一模)已知函数f(x)=xe*+asinx. (①)当a=0时，求证：>x+1: (2)若fx)>0对于xe(0,π)恒成立，求a的取值范围； (3)若存在x,x2∈(0，π)，使得f(x)=f'(x2)=0,求证：x<2x2. 7.(2025·山东济南·一模)已知a,beR,函数f(x)=e-a√x-bx,xe0,+o). (1)当a=0时，求fx的极值； (2)若fx)存在零点. (i)当b=0时，求a的取值范围； (ii)求证：a2+b2>2. 8.(2025·广西·一模)己知函数f(x)=e-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当x∈[0，+oo),b∈(-oo,1]时，f(x)≥ax2+b恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：】 9.(2026四川泸州二模)已知函数f(x=1nx+1)-ax. (1)讨论fx)的单调性： (2)设gx)=f(x)-asinx+ax,且a>1.证明： ()g(x)在区间(0，π)存在唯一的极值点x: (ii)对于(i)中的x,g2x)>0. 10.(2026安微滁州一模)已知函数fx)=x+a-1)e-x,a∈R. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)20恒成立，求实数a的取值范围； (3)若0<a<1,x>0,证明：fx-a+x-a>lnx+a-1. 5 1.(2025湖北武汉四调)已知函数0)=e_nx+-L. (1)若在(1，f(1)处的切线斜率为-1，求a; (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 12.(2026安徽马鞍山一模)已知函数fx)=e*sinx-ax,其中a∈R. (1)当a=0时，求f八)在区间0，写上的最大值： (2)若fx)在(0，π)上有且仅有一个极值点，求实数4取值范围： (3)设6为川到在0写内的极小值点，求证：x>≥石-1 13.(2026山东潍坊一模)已知函数f(x)=lnx+ax-2 (1)若a<0,求f(x)的单调区间； (2)若有在ae-3-小，无任意xe[}+上之6相废立，深实数b的最大值 6 第19讲 导数 不等式、恒成立、分参、构造 知识核心 【一】构造：同构、作差构造 1、与和相关的常见同构模型 ①积型： ②商型： 2、常见模型（证明） （1）指对数恒等式：有； ① ② ③ ④ （2）其他常见结构（证明：参数的取值范围） ①； ②； ③ ④； （3）凑常数、参数、变量结构 若式子无法直接变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形. ①； ② 【二】放缩：小题比大小、大题证明不等式的一种思路 当≥0时，， 【三】关联知识点 1、二次函数中的四大金刚：开口方向、对称轴、判别式、韦达定理 2、导函数的根求法：因式分解、求根公式、猜根、设隐零点-设而不求 3、是极值；是极值。即：是为极值的必要非充分条件 4、各种单调性： 幂函数： 指数函数：0恒成立哟！ 时，单增；时，单减 对数函数：； 时，单增；时，单减 指对互化：如果，那么可以记作 对数恒等式：； 1．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一：由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕. 3．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解，设，故在上有零点， 而，若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点，故， 设，则，故在上为增函数， 而，，故在上存在唯一零点， 且时，；时，；故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数，故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即，设，则， 故在上为增函数，而，故. 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则，又，设， 则，若，则，因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则，下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数，所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以.综上，. （3）取，则，总有成立，令，则， 故即对任意的恒成立.所以对任意的，有， 整理得到：，故，故不等式成立. 5．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； （2）当 时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减，且， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 6．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【详解】（1）由，得.要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 7．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【详解】（1）时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. （2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 8．（2025·广西·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 9. （2026四川泸州二模）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的． 【小问1详解】已知函数，其定义域为， 求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】（i）已知，定义域， 当时，单调递减，又因为，所以单调递增， 而也单调递增，故在上单调递增，无极值点； 求导得，设，， 因为，所以在上为增函数，而，， 故在上存在一个零点，且时，， 时，，故在上为减函数，在为增函数， 而，，故在上存在唯一一个零点， 且时，即，时，即， 所以在区间上存在唯一的极值点.所以在区间存在唯一的极值点； （ii）由（i）得，即， 则， 令，， 求导得， 令， 求导得， 整理得 因为，所以，即在上单调递增， 所以， 所以，在上单调递增，所以，即. 10. （2026安徽滁州一模）已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，证明：． 【小问1详解】当时，，求导得， ，，曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】恒成立，即，即恒成立， 令，则．令，则， 单调递减，又，当时，，当时，， 即时，，单调递增； 时，，单调递减.，故． 小问3详解】要证，， 即证，，令， 则，令，， 在单调递增，又，， ，使得，即，故， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ， 时，恒成立，得， ， 又，，故， ，时，． 11. （2025湖北武汉四调）已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【小问1详解】因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 12. （2026安徽马鞍山一模）已知函数，其中. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证：. 【小问1详解】当时，，， 时，，故，单调递增， 故. 【小问2详解】由题，，令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. ①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当时，， 存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点； ④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令 ，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减，所以有， 则有，因此. 13. （2026山东潍坊一模）已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若存在，对任意恒成立，求实数的最大值. 【小问1详解】由题意可知，， 令，得令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】令，可得， 令，，因为，所以， 所以在单调递减，要使得对任意的恒成立， 所以，即， 因为存在实数，使得成立，所以，即，所以的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $