第十八讲 导数：解双变量：构造、作差、作商、不等式法 讲义-2026届高三数学二轮复习

第18讲 导数：双变量问题： 构造法、作差法、作商法、不等式法 知识核心 【一】恒成立与能成立 ①，则只需要； ，则只需要 ②，则只需要； ，则只需要 【二】构造：同构、作差构造 1、与和相关的常见同构模型 ①积型： ②商型： 2、六大超越函数图像【证明：极值对应坐标】 表达式 图像 极值对应坐标 【三】放缩：小题比大小、大题证明不等式的一种思路 当≥0时，， 双变量问题 题型一 对称化构造法 方法点拨：已知函数存在极值点，且，求证（或 ）。构造对称辅助函数，通过研究 的单调性，结合的增减性推导双变量关系。含对数、指数的单极值点函数(、),是全国卷、新高考卷最常考的基础模型。 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增，在和上单调递减；当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，，所以， ，令，，则， 当时，，则在区间上单调递减，从而， 故 2.（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【详解】（1）由函数，得.所以. 因为恒成立，且在上单调递增.因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0.所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 3.（24-25高三上·河北唐山·月考）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 【详解】（1）， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； （2）因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 题型二 比值/差值代换法 4.（25-26高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【详解】（1）当时，，则，    令，得， 当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，，所以，所以恒成立， 即在上单调递增；故单调递增区间为，无单调递减区间． （2）（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，， ∴恰有2个正实数根，，令，则与有两个不同交点， ∴，  ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又，           当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示，∴当时，与有两个不同交点，∴实数a的取值范围为．           （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证，           ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立，           令， ∴，           ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立，∴原不等式得证． 5.（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 【解答过程】（1）解：函数的定义域为. 当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，由可得， 构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点， ，由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数的极大值为，如下图所示： 且当时，，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是. （2）证明：因为，则， 令，其中，则有， ，所以，函数在上单调递增， 因为方程有两个实根、，令，， 则关于的方程也有两个实根、，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知，所以，，整理可得， 不妨设，即证，即证， 令，即证，其中， 构造函数，其中， ，所以，函数在上单调递增， 当时，，故原不等式成立. 题型三 对数/指数均值不等式法 6.（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；．当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 7.（24-25高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下： 令，则 ，且 ①当时，，成立，所以是方程的一个实数根 ②当时，由得：，令 则： ，两式相减得： ，两式相加得： 所以：，由对数均值不等式得： 所以：，且，所以，，即： 所以 故选：D. 8.（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得：， （1）—（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只需证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称为的对数平均数. 9.（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【详解】（1）定义域为，由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 10.（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的极值： (2)令函数，若存在，使得，证明：． 【解析】(1)解：当时，， 所以，当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值. (2)证明：，令，则上述函数变形为， 对于，，则，即在上单调递增， 所以若存在，使得，则存在对应的、， 使得， 对于，则，因为，所以当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的唯一极小值点， 所以，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，又，所以， 又的单调性可知，即有成立，所以. 11．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若直线是曲线的切线，求a的值； (2)令． ①若，是的两个极值点，当时，求的值； 【详解】（1），定义域为， 求导得， 设切点为，切线斜率， 切线方程为， 是切线，过原点， ， 令，其定义域为， 求导得，则在上，即在上单调递增， ，， 切线斜率． （2）①， ，定义域为， 若，， 当时，， 求导得， 令，解得或（舍去），故极值点为； 当时，，求导得， 令，解得（舍去）或，故极值点为； ； 12．（2025·重庆·模拟预测）已知函数() (1)讨论函数的单调性 (2)若函数存在两个零点，求证:； (3)已知数列的前项和为，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，求的最大值. 【详解】（1）对求导有（）， ①当时，，故在单调递减； ②当时，由；由. 所以在单调递减，在单调递增. （2），令，则有， 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证，即证，即证，即证， 即证，等价于， 令（）， 则有， 令，则有，则， 所以在上单调递增，所以，得证. （3），当时，符合，所以. 设公比为，则有，即恒成立，则， 对任意，均有，即（时）恒成立． 分别令，， 则，所以在上单调递增，在单调递减， ， 令，则， 当时，，所以在上单调递减. 所以，故，所以在上单调递减. ①当时：，解得， ②当时：，解得（不成立）， 所以的最大值为． 13．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增，故，命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，，当时，，在上单调递增， 所以，所以 ，由（1）可得当时，， 所以，所以. 14. （2026安徽淮北一模）已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）在（i）的条件下，证明：． 【小问1详解】，，， 【小问2详解】（i）， 当时，，， ，，，， 在区间上是单调递增函数；下面讨论时的情形， 令，， 再令，， 则在区间上是单调递增函数，即在区间上是单调递增函数， 而，，故，使得， 且当时，，是单调递减函数，当时，，是单调递增函数，注意到，而， 从而必然使得．且当时，，即， 当时，，从而在递减，在递增． 又，因此必然唯一的使得， 于是在上存在唯一的极值点和唯一的零点． （ii）由（i）知，且，及在上是单调递增函数，， 要证只需证，即即可． ， 由时，，得到， 则． 下面补证：当时，； 构造函数 ， 因此在区间上是单调递增函数，，故得证． 15. （2026江苏徐州一模）已知函数，. （1）若是的极小值点，求的取值范围； （2）若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； 【小问1详解】， 令得或， ①当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，不符合题意. ②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意. ③当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极小值点，符合题意.综上可知，的取值范围是. 【小问2详解】由得或， 设，则，所以有两不等实根. 所以，，， 又因为，所以，， 则，且，故， 且，而， 所以，， 则，解之得或8（舍去）. 16. （2026江西九江一模）已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，，求的取值范围； （3）若在上有两个不同的极值点，证明：. 【小问1详解】对进行求导，则 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 因为恒成立，所以恒成立，化简得， 令 ，得 ，由辅助角公式：， 即，即，则 ，两边平方， 因为恒成立，所以，即， 解得 ，∴ ，即的取值范围是 ． 【小问2详解】由，代入， 则， 因为，所以，所以不等式两边同时除， 得 ．设，则问题等价于当时， ， ①先求必要条件： ，由端点效应， ，即 ②再证充分性，即证明：当 时， ． 当时，因为，所以，即， 那么 设 ，则 ， ∴在 上单调递增，∴ ，得证． 故 的取值范围是 ， 【小问3详解】令，则 ，则 ， 整理得： ，由于 ，显然， 由韦达定理：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，等号成立， ， ，则， 即 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $第18讲导数：双变量问题： 构造法、作差法、作商法、不等式法 知识核心 【一】恒成立与能成立 ①x∈D,ga)≤f(x),则只需要ga)≤f(xnn=m;reD,g(a)≥fx)，则只需要g(a)≥f(xmx=M ②r∈D,ga≤f(x),则只需要ga)≤f(xms=M;3xreD,ga)≥f(x),则只需要ga)≥f(x)nn=m 【二】构造：同构、作差构造 1、与e和lnx相关的常见同构模型 ①积型： 同左：ae≤Inb)elb -----f(x)=xe ae“≤blnb三种同构方式 同右：e“lne≤blnb-------f(x)=xnx 取对：a+lna≤lnb+ln(lnb)---f(x)=x+lnx 同左，e<e a Inb -f,)=e e“ b ②商型： 三种同构方式同右： ea b a Inb Inea Inb 取对：a-lna<lnb-ln(lnb)---f(x)=x-lnx 2、六大超越函数图像【证明：极值对应坐标】 表达式 图像 极值对应坐标 y=xInx(x >0) y=xe* 〔 y 表达式 图像 极值对应坐标 4 y= e y= (1,e 0 72 2 Inx (x >0) y= 234 时 -2 y= 23 时 【三】放缩：小题比大小、大题证明不等式的一种思路 当x≥0时，e*≥x+1,1-1≤Inx≤x-1 当r∈0}时，osmr<x<tamx 当<时，x41<e< 双变量问题 题型一对称化构造法 方法点拨：已知函数f(x)存在极值点x。,且f(x)=f(x2),求证x,+x,>2x,(或x1+x2<2x。)。构造对称 辅助函数F(x)=f(x)-f(2x。-x),通过研究F(x)的单调性，结合f(x)的增减性推导双变量关系。含对数、指 数的单极值点函数(f(x)=lnx+ax2+bx、f(x)=e-ax),是全国卷、新高考卷最常考的基础模型。 1.(2025安微合驱一疾)已知函数f到=ax-ax-, 其中a>0. (1)讨论∫(x的单调性； ②若函数到有两个极值点，G<,证明：f八++f+)>h2-子 2.(2025广东佛山模拟预测)已知函数f()=e+xr2-x. (I)设h(x=f'(x,求h(x的零点并判断f(x)的单调性； (2)若∫(x,)=f(x,,且x<x2,证明： (1)x,+x2<0; (ii)e+e>2. 3.(24-25高三上·河北唐山月考)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x2+a.xaeR). (I)若函数y='x)有两个零点，求a的取值范围； (2)设x,x2是函数f(x)的两个极值点，证明：x+x2>2. 题型二比值/差值代换法 4.(25-26高三上·河北石家庄·开学考试)已知函数f(x)=e-ax2(a∈R). (①)当a=。时，求函数fx)的单调区间： (2)当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x,x· (i)求a的取值范围： (iⅱ)证明：x+x2>4. 5.(2025山东·模拟预测)已知函数h(x)=x-anx(a∈R) (1)若h(x)有两个零点，a的取值范围： (2)若方程xex-a(hx十x)=0有两个实根x1、X2,且名1+x2,证明：e+>盘 题型三对数/指数均值不等式法 6.(25-26高三上·天津蓟州期中)已知函数fx)=e+ax(aeR. (1)求fx的单调区间： (2)若fx有两个正零点，x2,且x1<x2· (i)求a的取值范围； (ii)求证：x+x,>2. 7.(24-25高三上浙江宁波开学考试)已知函数f(x)=警，对于正实数a,若关于t的方程f(t)=f(是)恰有 三个不同的正实数根，则a的取值范围是() A.(1,8) B.（e28) C.(8,+o) D.(e2+o) 8.(24-25高三上江苏无锡月考)已知函数f)=0+lnx,g()=a-lnx-2. (1)若a>0,当f(x)与g(x)的极小值之和为0时，求正实数a的值； 2若fx)=f八x)=2(x≠)，求证：2a 1.12 9.(25-26高三上·河北月考)己知函数f(x)=1nx-x-a,且f(x)有两个零点x,x2 (I)求a的取值范围； (2)证明：x+xx2+方>3. 10.(25-26高三上河北保定·期中)己知函数f(x)=xe-alnx-a,其中a>0. (1)若a=2e,求f(x)的极值： (2)令函数gx=f(x-ax+a,若存在x1,x2使得g(x)=gx2),证明：xe+x,e>2a. 11.(2025·江苏·模拟预测)已知函数∫x=nx-x2. (1)若直线y=axa∈R)是曲线y=f(x的切线，求a的值； (2)令gx)=fx-axra∈R). ①若x,:2是gx的两个极值点，当a=1时，求x+x的值： 12.(2025·重庆·模拟预测)己知函数fx=ax-1-lnx(a∈R) (1)讨论函数∫(x)的单调性 (2)若函数f(x)存在两个零点x1,x2,求证：x1+x2>2: (3)己知数列{an}的前n项和为S,=n2+n,数列{b}是首项为2的等比数列，若存在正整数m,使得对任意正整数 k≤m,均有b≤ak≤b+1,求m的最大值. 7 13.(2025北京高考真题)已知函数f)的定义域是-1，+o,0)=0,导函数y=血1+，设4是曲线 1+x y=f(x在点A(a,f(a)(a≠0)处的切线. (1)求'(x)的最大值； (2)当-1<a<0时，证明：除切点A外，曲线y=f()在直线的上方； (③)设过点4的直线马与直线4垂直，人，4与x轴交点的横坐标分别是X,5,若a>0,求20--5的取值范围 x2- 14.(2026安徽准北一模)己知函数fx=alnx+1)-sinx. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x,求实数a的值； (2)当a∈(0,1)时， ()证明：∫(x)在(0，π)上存在唯一极小值点X和唯一零点x2； (i)在(1)的条件下，证明：x2<2x· 15.(2026江苏徐州一模)已知函数f(x)=(x-2)(x-a),a∈R (1)若x=2是f(x)的极小值点，求a的取值范围； (2)若直线y=(x-2)t>0)与曲线y=f(x)的三个交点分别为Ax,f(x)月，B(x2,f(x2)月，C(x,f(x)月 且不本<5，七大记=/心)在A,C两点处切线的斜率分别为，，若=，求Q的 16.(2026江西九江一模)已知函数f(x)=er(2+cosx)a∈R. (1)若∫x)在R上单调递增，求a的取值范围； (2)当x>0时，f(x>sinx+cosx+2,求a的取值范围； 4π (3)若fx)在(0，π)上有两个不同的极值点x,x2,证明：π<x+x2< 3 9