精品解析：江西上饶市余干县沙港初级中学、育才学校等校2025-2026学年九年级下学期中考二模数学试题

2026年模拟练习 数学（二） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2036 D. 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 被誉为“大国重器”的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为12000公里（1公里米），若将此射程以“米”为单位用科学记数法表示，应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 在2025年世界游泳锦标赛（新加坡）男子单人10米跳台决赛中，其中四名选手的年龄如下：23，14，22，21（岁），则其中位数是（ ） A. 14岁 B. 21岁 C. 岁 D. 22岁 5. 有一张纸片，第一次将其撕成两小片，以后每次都将其中一片撕成两片，如此进行下去．当撕了n次后，共有2048张纸片，则n的值是（ ） A. 11 B. 12 C. 1024 D. 2047 6. 在探索宇宙的征程中，人类在一个边长为10光年的正方形星域中建立了一个观测站．该星域内有一个半径为1光年的恒星系（可视为圆形），它可以在星域内自由移动，并可能与其边界相切．设观测站位于星域的中心点P，观测站到该圆形恒星系边界上任意点的最短距离为d光年．已知d为整数，则d的取值情况有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 要使代数式有意义，则x的取值范围为_________． 8. 计算：_________． 9. 因式分解：_________． 10. 在资源有限的环境中，某种动物的种群密度D与其平均个体活动领域面积S成反比，即（k为常数）．在某片森林中，当该动物的平均个体活动领域面积为平方公里时，其种群密度为每平方公里25只．则常数k的值为_________． 11. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，杯体的横截面可看作一个三角形，液面宽度为4，其他数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为_________． 12. 如图，是等腰三角形，，点D在边上，，，点P为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与的腰垂直时，则_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算并应用． （1）； （2）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，连接．若，，求的周长． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． （1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）； （2）如图2，在边上找一点M，使得（保留画图痕迹，不写画法）． 16. 某校在“传统文化进校园”活动中，为便于学生识记，特制作了6张材质、大小、背面图案均相同的书签，正面分别写有6个夏季节气：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑． （1）小芳同学从这6张书签中随机抽取一张，则抽到的书签正面写有“夏至”是（ ）； A.不可能事件 B.必然事件 C.随机事件 （2）小芳同学将抽出的书签不放回，再随机抽取一张．请用列表法或画树状图法，求她两次抽到的书签正面恰好分别是“小满”和“芒种”的概率． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）图象交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，且的面积为6，求点P的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，为半圆O的切线． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 19. 某环保研究小组用模拟装置进行“厨余垃圾制肥”实验．用模拟装置处理厨余垃圾时，不同类有机肥质量型厨余垃圾的制肥率（制肥率）如表： 类别 原材料 制肥率 果蔬垃圾 菜叶、果皮、蒸馏水 餐厨垃圾 米饭、剩菜、蒸馏水 如果第一次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共18公斤；第二次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共42公斤，且所用的果蔬垃圾量是第一次的2倍，餐厨垃圾量是第一次的3倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤果蔬垃圾和餐厨垃圾？ （2）受限于实验条件，实际制肥时的有机肥量约为模拟装置的．若果蔬垃圾中菜叶占，请问在实际场景中要想制出这两次实验得到的果蔬有机肥总量，需要准备多少公斤菜叶？ 20. 光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离． （1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度； （2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）． （参考数据：，，，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校组织学生采摘草莓制作草莓甜品（每份甜品由4颗草莓制成）．同学们经过采摘、筛选、清洗等环节，共得到8.7的草莓．甲、乙两位同学各随机分到了12颗草莓，他们测量了每颗草莓的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲同学的草莓重量的折线图： b．乙同学的草莓重量：7，7.5，8.1，8.4，8.5，8.5，9，9，9，9.4，10，10 c．甲、乙两位同学的草莓重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 m n 6.9，8.8，9.8 乙 8.7 8.75 p 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，，的值； （2）对于制作草莓甜品，如果一份甜品中4颗草莓重量的方差越小，则认为这份草莓的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下4颗草莓制作甜品．据此推断：品相更好的是_________（填“甲”或“乙”）； 甲 8.0 8.2 8.8 8.8 乙 8.4 8.5 8.5 9 ②甲同学从剩余的8颗草莓中选出4颗草莓制作一份甜品参加比赛，首先要求组成的甜品品相尽可能好，其次要求草莓的重量尽可能大，他已经选定的两颗草莓的重量分别为9.4，9.8，则选出的另外两颗草莓的重量分别为_________和_________； （3）估计这些草莓共能制作多少份草莓甜品． 22. 如图1，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点，，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当点P的坐标为时，求的面积； （3）如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知的顶点E在的内部，点D，E在直线上方． （1）如图1，连接，，，若和都是等边三角形，C，E、D三点共线，，求的比值； （2）如图2，连接，，，（），若，，求的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，连接并延长交边于点F，连接，，若，与相似时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年模拟练习 数学（二） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2036 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的定义直接计算即可得到结果； 【详解】的倒数为． 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据已知立体图形可得，俯视图为． 3. 被誉为“大国重器”的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为12000公里（1公里米），若将此射程以“米”为单位用科学记数法表示，应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先完成单位换算，再根据科学记数法的定义表示结果，科学记数法的形式为，满足，为整数即可． 【详解】解：∵ 1公里米， ∴ 12000公里 米米． 将12000000用科学记数法表示，可得． 4. 在2025年世界游泳锦标赛（新加坡）男子单人10米跳台决赛中，其中四名选手的年龄如下：23，14，22，21（岁），则其中位数是（ ） A. 14岁 B. 21岁 C. 岁 D. 22岁 【答案】C 【解析】 【分析】按照中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据数据个数为偶数，计算中间两个数的平均数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排序得：14，21，22，23， ∵数据总个数为，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，中间两个数是和， ∴中位数为（岁）． 5. 有一张纸片，第一次将其撕成两小片，以后每次都将其中一片撕成两片，如此进行下去．当撕了n次后，共有2048张纸片，则n的值是（ ） A. 11 B. 12 C. 1024 D. 2047 【答案】D 【解析】 【分析】根据找到的规律：撕了n次后可得张纸，列出方程求解即可． 【详解】解：撕了1次时，有2张纸； 撕了2次时，有3张纸； 撕了3次时，有4张纸； … 撕了n次后可得张纸； 即， 解得：． 6. 在探索宇宙的征程中，人类在一个边长为10光年的正方形星域中建立了一个观测站．该星域内有一个半径为1光年的恒星系（可视为圆形），它可以在星域内自由移动，并可能与其边界相切．设观测站位于星域的中心点P，观测站到该圆形恒星系边界上任意点的最短距离为d光年．已知d为整数，则d的取值情况有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆心O的运动范围，再利用点圆位置关系找到最短距离的范围，进而确定整数的数量． 【详解】解：如图， ∵ 正方形星域边长为10光年，中心为，由于圆要“在星域内自由移动且不超出边界”， ∴圆O到正方形各边的距离至少为1光年(否则圆会超出正方形)， ∴圆的中心的活动范围是一个边长为光年的小正方形(该小正方形距离原正方形各边均为1光年，中心仍为), ∴到的距离的范围为：最小值，当与重合时，， 最大值：由勾股定理得小正方形的对角线长度为， ∴的最大值为小正方形对角线的一半，即， ∴， ∵圆上一点到外部点的最短距离为，， ∴当时，，当时，， ∴综上， ∵， ∴整数d的可能取值为0，1，2，3，4共5种． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 要使代数式有意义，则x的取值范围为_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为零列出不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是且． 8. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂运算法则，分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可； 【详解】解：原式． 10. 在资源有限的环境中，某种动物的种群密度D与其平均个体活动领域面积S成反比，即（k为常数）．在某片森林中，当该动物的平均个体活动领域面积为平方公里时，其种群密度为每平方公里25只．则常数k的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】已知与的函数关系式，以及和的对应值，将对应值代入关系式即可计算得到常数． 【详解】解：由题意可知 ，， 将，代入得， ， 解得 ． 11. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，杯体的横截面可看作一个三角形，液面宽度为4，其他数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，前后两个装有液体的三角形横截面相似，设喝掉一部分后的三角形横截面，液面宽度为，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握相似三角形的实际应用． 【详解】解：由题意可知，前后两个装有液体的三角形横截面相似， 设喝掉一部分后的三角形横截面，液面宽度为， ， 解得． 12. 如图，是等腰三角形，，点D在边上，，，点P为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与的腰垂直时，则_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算并应用． （1）； （2）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，连接．若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，得出，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ． ∵，， ∴． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后将代入，求出结果即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 15. 如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图． （1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）； （2）如图2，在边上找一点M，使得（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，利用平行四边形的判定定理即可解决问题；（2）根据相似三角形的性质画出线段即可． 【小问1详解】 如图，点即为所求； 【小问2详解】 如图，点即为所求； ， ，， ， ， ． 16. 某校在“传统文化进校园”活动中，为便于学生识记，特制作了6张材质、大小、背面图案均相同的书签，正面分别写有6个夏季节气：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑． （1）小芳同学从这6张书签中随机抽取一张，则抽到的书签正面写有“夏至”是（ ）； A.不可能事件 B.必然事件 C.随机事件 （2）小芳同学将抽出的书签不放回，再随机抽取一张．请用列表法或画树状图法，求她两次抽到的书签正面恰好分别是“小满”和“芒种”的概率． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】（1）直接由事件的分类求解即可； （2）画树状图，共有30种等可能的结果，其中两次抽到的书签正面恰好分别是“小满”和“芒种”的有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵6个夏季节气有“夏至”， ∴抽到的书签正面写有“夏至”是随机事件， 【小问2详解】 解：将6个节气分别记为：立夏（A）、小满（B）、芒种（C）、夏至（D）、小暑（E）、大暑（F）． 画树状图如下： 由树状图可知，共有30种等可能的结果．其中，两次抽到的书签正面恰好分别是“小满”（B）和“芒种”（C）的结果有2种， ∴P（两次抽到的书签正面恰好分别是“小满”和“芒种”）． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）图象交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）联立方程组，求出点的坐标，表示出的长度，利用三角形面积公式求解即可； 【小问1详解】 把点代入，解得， 点A的坐标为， 把点代入反比例函数， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 一次函数的图象与y轴交于点C， 点C的坐标为， 联立和，得， 解得，， 点B的坐标为， 设点P的坐标为， ， ， 或， 点P的坐标为或． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，为半圆O的切线． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质结合等角的余角相等，证明，即可得到； （2）设半圆O的半径为r，则，利用勾股定理得到，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵为半圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 设半圆O的半径为r，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 答：半圆O的半径长为． 19. 某环保研究小组用模拟装置进行“厨余垃圾制肥”实验．用模拟装置处理厨余垃圾时，不同类有机肥质量型厨余垃圾的制肥率（制肥率）如表： 类别 原材料 制肥率 果蔬垃圾 菜叶、果皮、蒸馏水 餐厨垃圾 米饭、剩菜、蒸馏水 如果第一次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共18公斤；第二次实验分别制出果蔬有机肥和餐厨有机肥共42公斤，且所用的果蔬垃圾量是第一次的2倍，餐厨垃圾量是第一次的3倍． （1）求第一次实验分别用了多少公斤果蔬垃圾和餐厨垃圾？ （2）受限于实验条件，实际制肥时的有机肥量约为模拟装置的．若果蔬垃圾中菜叶占，请问在实际场景中要想制出这两次实验得到的果蔬有机肥总量，需要准备多少公斤菜叶？ 【答案】（1）第一次实验用了30公斤果蔬垃圾，20公斤餐厨垃圾． （2）40公斤 【解析】 【分析】（1）设第一次实验用了x公斤果蔬垃圾，y公斤餐厨垃圾，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题． （2）根据题意先算出两次制出的果蔬有机肥总量，再设需要准备m公斤菜叶，结合实际制肥时的有机肥量约为模拟装置的．若果蔬垃圾中菜叶占，建立方程求解，即可解题． 熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，并审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设第一次实验用了x公斤果蔬垃圾，y公斤餐厨垃圾． 根据题意，得， 解得． 答：第一次实验用了30公斤果蔬垃圾，20公斤餐厨垃圾． 【小问2详解】 解：第一次果蔬有机肥：（公斤）， 第二次果蔬有机肥：（公斤）， 总量为（公斤）． 设需要准备m公斤菜叶， 根据题意，得， 解得． 答：需要准备40公斤菜叶． 20. 光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离． （1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度； （2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1）14.76米 （2）31米 【解析】 【分析】（1）过点D作于点F，作于点，利用正弦的定义求解即可；（2）证明四边形为矩形，求出，在中，利用三角函数求解即可； 【小问1详解】 如图，过点D作于点F，作于点H． 由题意得米，， 在中， ， （米）． 答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米． 【小问2详解】 在中， ， （米）， ，，， 四边形为矩形， ，米， （米）， 米， 在中， ， （米）， （米）． 答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校组织学生采摘草莓制作草莓甜品（每份甜品由4颗草莓制成）．同学们经过采摘、筛选、清洗等环节，共得到8.7的草莓．甲、乙两位同学各随机分到了12颗草莓，他们测量了每颗草莓的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲同学的草莓重量的折线图： b．乙同学的草莓重量：7，7.5，8.1，8.4，8.5，8.5，9，9，9，9.4，10，10 c．甲、乙两位同学的草莓重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 m n 6.9，8.8，9.8 乙 8.7 8.75 p 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，，的值； （2）对于制作草莓甜品，如果一份甜品中4颗草莓重量的方差越小，则认为这份草莓的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下4颗草莓制作甜品．据此推断：品相更好的是_________（填“甲”或“乙”）； 甲 8.0 8.2 8.8 8.8 乙 8.4 8.5 8.5 9 ②甲同学从剩余的8颗草莓中选出4颗草莓制作一份甜品参加比赛，首先要求组成的甜品品相尽可能好，其次要求草莓的重量尽可能大，他已经选定的两颗草莓的重量分别为9.4，9.8，则选出的另外两颗草莓的重量分别为_________和_________； （3）估计这些草莓共能制作多少份草莓甜品． 【答案】（1）；； （2）①乙；②9.8；10.2 （3）250份 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的判断方法求解即可； （2）①根据方差的定义，即可求解；②分别求出方差，比较大小即可得解． （3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个草莓，再用草莓数除以一份甜品中得草莓数即可求出能制作多少草莓甜品． 【小问1详解】 解：根据甲的折线图可以看出， 甲的草莓重量的平均数； 这组数据从小到大排列，中间的两个数为8.8，8.8， 也就是说这组数据的中位数为8.8，所以； 根据乙同学的草莓重量数据可以发现，重量为9克出现的次数最多， 也就是说这组数据的众数为9，所以． 【小问2详解】 解：根据题意可知甲同学的个草莓重量分布于之间，乙同学的个草莓重量分布于之间， 甲同学的平均数， 方差为：， 乙同学的平均数， 方差为：， ， 乙同学的4个草莓重量的方差较小，故乙同学草莓品相更好． ②要求数据的方差较小，草莓重量尽可能大， 可供选择的有，，， 当另外两个为，时，这组数据的平均数为， 方差为：， 当另外两个为，时，这组数据的平均数为， 方差为：， 当另外两个为，时，这组数据平均数为， 方差为：， 据此，可发现当另外两个为，时，方差最小，草莓重量也尽可能大． 【小问3详解】 解：千克克， 由信息可估计每颗草莓平均重量为， ∴（个）， （份）． 答：估计共能制作250份草莓甜品． 22. 如图1，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点，，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当点P的坐标为时，求的面积； （3）如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）求出直线的解析式，得到的长，再利用三角形面积公式即可求解；（3）分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，分别求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点，将A，C两点的坐标分别代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设交y轴于点G， 点， ， 设直线的解析式为， 将点，点分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点， ， ， ． 【小问3详解】 解：是以为直角边的直角三角形， 分两种情况：①点B为直角顶点，②点C为直角顶点． ①过点B作交抛物线于点，交y轴于点E，连接，如图1. 抛物线，点， 点， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 点， 设直线的解析式为，将点B，E的坐标分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立，得， 解得或（不合题意，舍去）， 点； ②过点C作交抛物线于点，连接，如图2， ，， ， 设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 联立，得 解得或（不合题意，舍去）， 点． 综上所述，点P的坐标为或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知的顶点E在的内部，点D，E在直线上方． （1）如图1，连接，，，若和都是等边三角形，C，E、D三点共线，，求的比值； （2）如图2，连接，，，（），若，，求的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，连接并延长交边于点F，连接，，若，与相似时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为﹒ 【解析】 【分析】（1）过点A作于点H，可得，据此计算即可求解； （2）先证明，得到，再证明，即可求出； （3）先求出，，，①当时，证明，进而证明，设，则，可得，，根据，即可求解；②当时，则，证明，即可证明，即可得到E、H重合，C、F重合，从而得到﹒ 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，相似比为 又， ∴， 设，则， 如图，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，，， ①如图，∵，，， ∴． 当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，作，交于点M， ∵， ∴， ∴设，则，可得，， ∵， ∴，即， ∴，， ∴﹒ 如图，过点F作于点G， ， ， ∴﹒ ∵， ∴，解得； ②如图，当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E，H重合，点C，F重合， ∴， 此时点E不在直线上方，不符合题意，舍去； 综上所述，的长为﹒ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $