精品解析：江苏扬州大学附属中学2025-2026学年高二第二学期数学学科阶段练习1

2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习1 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（ ） A. 7 B. 64 C. 12 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】分步求得选一件上衣和一件长裤的选法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤， 从中四件不同款式的上衣中，任选一件有种选法， 从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有种选法， 根据分步计数原理，可得共有种不同的选法. 故选：C. 2. 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果． 【详解】，． ， 故选：． 【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题． 3. 设圆，圆，则它们公切线的条数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆与的圆心与半径，确定两圆的位置关系，根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】圆，圆心为，半径为3； 圆，圆心为，半径为， 两圆的圆心距为， ∵， ∴两个圆相交，∴两个圆的公切线有2条. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了公切线，属于基础题. 4. 用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（ ）个 A. 504 B. 648 C. 720 D. 1000 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先排百位数字，再排个位和十位数字，结合排列数公式，即可求解. 【详解】先排百位数字共有9种可能，再排个位数字和十位数字，共有种， 由分步计数原理得，共有 5. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 考点：平面向量数量积的运算 6. 如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则， . 设平面的法向量为， 则有，即， 解得，则. 平面的法向量为， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 7. 记为等差数列的前项和.若，设，关于的值，下列说法正确的是（ ） A. 一定不大于1 B. 可能大于1，但一定不大于2 C. 可能大于2 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，利用等差数列的求和公式，化简得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，可得，即， 又因为，可得， 因为，所以，联立方程组，解得， 所以，可得， 所以 且当时，. 结合选项，可得选项B符合题意. 8. 已知双曲线，为其右焦点，点在右支上，且，直线与双曲线左支的一个交点是，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用勾股定理解出，再利用勾股定理找出a和c的关系即得. 【详解】如图设左焦点为，连，由知，， 因，设，则，从而，， 在直角中，由得：， 解得，从而， 又，即， 所以. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（ ） A. 存在对称轴 B. 存在极大值 C. 在上单调递增 D. 的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为，可得简图，可得，且两根分别是和， 所以存在极小值，不存在极大值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为， 所以选项A、C、D正确，选项B错误. 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，A错误； 对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故B错误； 对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 11. 如图，已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 存在某个位置，使得 C. 当平面平面时， D. 当平面平面时， 【答案】BCD 【解析】 【详解】在矩形中，分别过点作，垂足分别为点. 由.得， 对于A选项，，A错误； 对于B选项， 其中是向量与所成的角，也即是二面角的平面角，当时，，B正确； 当平面平面时，如图以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， ，所以； 又，则， 故CD都正确. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的平均变化率的公式，求解即可. 【详解】在区间上的平均变化率为 ，故 13. 如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】## 【解析】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 14. 若数列所有项都不为零，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】归纳出的周期，利用周期性可得答案. 【详解】设，则， 从而数列是周期为3的数列，且， 又， 则，即，， 所以. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 因为 ，又， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 16. 已知等差数列的前项和为，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求公差，利用等差数列的通项公式求得，由求得； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， ， 数列的公差， 由有：， 所以， 又，满足上式，故； 【小问2详解】 由（1），设数列的前的和为， 则， 则， 两式相减得： ， 所以 17. 已知椭圆的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，点（不在直线上） （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，求的面积； （3）直线与交于点，设，，的斜率分别为，，.若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，进而求解； （2）由已知有直线与椭圆方程联立，求弦长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，最后利用三角形的面积公式即可求解； （3）设直线与椭圆方程联立，由韦达定理得，由即可解得，进而求解. 【小问1详解】 直线与坐标轴的交点为， ，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，即， ， ， 点到直线的距离， 故的面积是； 【小问3详解】 设，直线的方程为， 则. 由， 即， ， ，又， 由得，， 故直线. 18. 如图，长方体中，，，.在上，在上. （1）求异面直线与所成角的余弦； （2）若平面平面，求的值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角公式进行求解； （2）设，求出两平面的法向量，根据面面垂直得到方程，求出答案 （3）方法一：设，结合（2），表达出，求出和的最小值； 方法二：问题等价于求点到直线距离的最小值，从而利用空间向量点到直线距离公式进行求解； 方法三：问题等价于求点到直线的距离的最小值，利用空间向量点到直线距离公式进行求解. 【小问1详解】 以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 又异面直线所成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦是. 【小问2详解】 ，设， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则， 所以平面的一个法向量是， 设平面的一个法向量为， ， 故， 解得，令，则， 故平面的一个法向量是， 即平面的一个法向量是， 又平面平面， 所以， 解得，此时； 【小问3详解】 方法一：设，由（2）知， 所以 ， 所以，当且仅当时，有最小值为，有最小值. 方法二：问题等价于求点到直线距离的最小值， 的方向向量是，由（2）知， ， 当且仅当时，有最小值. 方法三：问题等价于求点到直线的距离的最小值， 设，又，故， 由（2）知，故， 故点到直线的距离为 ， 故当时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. 【小问3详解】 在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习1 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（ ） A. 7 B. 64 C. 12 D. 81 2. 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ） A. B. C. D. 3. 设圆，圆，则它们公切线的条数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（ ）个 A. 504 B. 648 C. 720 D. 1000 5. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 6. 如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等差数列的前项和.若，设，关于的值，下列说法正确的是（ ） A. 一定不大于1 B. 可能大于1，但一定不大于2 C. 可能大于2 D. 当时， 8. 已知双曲线，为其右焦点，点在右支上，且，直线与双曲线左支的一个交点是，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（ ） A. 存在对称轴 B. 存在极大值 C. 在上单调递增 D. 的单调递减区间为 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 11. 如图，已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 存在某个位置，使得 C. 当平面平面时， D. 当平面平面时， 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 13. 如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 14. 若数列所有项都不为零，且，则______. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 16. 已知等差数列的前项和为，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前的和. 17. 已知椭圆的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，点（不在直线上） （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，求的面积； （3）直线与交于点，设，，的斜率分别为，，.若，求直线的方程. 18. 如图，长方体中，，，.在上，在上. （1）求异面直线与所成角的余弦； （2）若平面平面，求的值； （3）求的最小值. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $