2026年中考数学·函数知识清单·函数、一次函数

第二讲 函数、一次函数 目录 知识清单 1 考点汇总 3 考点1 一次函数基础 3 考点2 一次函数与图像 5 考点3 一次函数与实际应用 9 3.1 分配方案问题 9 3.2 利润问题 10 3.3 行程问题 13 考点4 一次函数与动点问题 16 考点5 一次函数中的规律 18 考点6 一次函数综合 20 考点7 新定义问题 25 知识清单 1、函数的基本概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做 ，数值发生变化的量叫做 。 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有 确定的值与其对应，那么就称x是 ，y是x的 。函数的表示方法有： 。 （3）函数自变量的取值范围的一般原则为：整式为 ；分式的 ；二次根式的被开方数为 ；使实际问题 。 【答案】 （1）常量 变量 （2）唯一 自变量 函数 列表法、图像法、解析法 （3）全体实数 分母不为0 非负数 有意义 2、一次函数的概念 （1）一般来说，形如 的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为 。 （2）一次函数y＝kx＋b是一条经过点 和 的直线，特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点 的直线. （3）一次函数的图像性质 k，b 符号 K＞0， b＞0 K＞0， b＜0 K＞0，b=0 k<0， b>0 k<0， b<0 k<0， b＝0 大致 图象 经过象限 图象性质 y随x的增大而 y随x的增大而 （4）递增的函数：y随x增大而 的函数；递减的函数：y随x增大而 的函数。 【答案】 （1）y＝kx＋b(k≠0) 正比例函数 （2）（0,b） （,0） （0,0） （3） （一、二、三） （一、三、四） （一、三） （一、二、四） （二、三、四） （二、四） 增大 减小 （4） 增大 减小 3、确定一次函数的k值：设表示一次函数的直线经过，则该直线的k值（斜率，变化率）表示为 。若已知该直线与x轴正方向的夹角为，则= 。 【答案】 4、一次函数的平移： （1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值 （2）若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h. 【答案】 （1）相同 5、一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的 。 【答案】横坐标 6、二元一次方程组的解两个一次函数 和图象的 。 【答案】交点坐标 7、一次函数与不等式 （1）函数的函数值时，自变量x的取值范围就是不等式 的解集。 （2）函数的函数值时，自变量x的取值范围就是不等式 的解集。 【答案】 （1） （2） 考点汇总 考点1 一次函数基础 1、若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 2、已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，符合，故该选项符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； 故选：C． 3、关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二，三，四象限 B．图象与轴交于点 C．图象向下平移6个单位经过原点 D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，由一次函数解析式可得图象经过第一，二，四象限，即可判断A，当时，，解得，故图象与轴交于点，即可判断B；图象向下平移6个单位后解析式为，经过原点，即可判断C；当时，，即可判断D． 解：A、图象经过第一，二，四象限，故原选项说法错误，不符合题意； B、当时，，解得，故图象与轴交于点，故原选项说法错误，不符合题意； C、图象向下平移6个单位后解析式为，经过原点，故原说法正确，符合题意； D、当时，，故点不在函数图象上，故原选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 4、已知点，在一次函数的图象上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一次函数的性质，根据点的横纵坐标的大小比较得到k的大小，无法判断b的大小，由此得到答案，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键 解：∵点，在一次函数的图象上， 且，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 无法判断b的大小， 故选：B 5、若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数，随的增大而减小，从而可得答案． 解：， 一次函数，随的增大而减小， 点都在一次函数的图象上， ∴． 故选：C． 6、若点在一次函数的图象上，则代数式 ． 【答案】 解：点在直线上， ，即， 故答案为：． 考点2 一次函数与图像 1、一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 2、如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 3、一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 4、直线不经过第三象限，则k、b应满足（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数图象经过一、二、四象限；当时，函数图象经过第二，四象限是解答此题的关键．直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 解：直线不经过第三象限， 的图象经过第一、二、四象限或第二，四象限， 直线必经过二、四象限， ， 当图象过一、二四象限，直线与y轴正半轴相交时：， 当图象过原点时：， ， 故选：D． 5、已知直线与直线平行，则直线不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，根据两直线平行可知两直线解析式的一次项系数相等，则，据此可得直线经过的象限，进而可得答案． 解：∵直线与直线平行， ∴， ∴则直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 6、已知一次函数的图象与两坐标轴交于点，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解答关键． 根据一次函数图象的性质来进行求解． 解：∵一次函数的图象与两坐标轴交于点，， 当时，则， ， ∴． ， ∴， ∴或， ∴或， ∴或 ∴． 故答案为：． 考点3 一次函数与实际应用 3.1 分配方案问题 1、某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元). (1)请写出y1=______________；y2=_____________. (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由. 【答案】（1）； （2）乙印刷厂，理由详见解析. 【详解】（1）由题意可知： 甲厂每份材料收1元印制费，另收1500元制版，则 乙场每份材料收2.5元印制费，不收制版费，则 （2）当时，，，乙印刷厂费用较低. 2、端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 【答案】（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【详解】解：（1）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 由题意可得出：； （2）由得：． 又， 的取值范围是：，且为整数； （3），且为整数， 取或或 中 随的增大而增大 当时，的值最小． 其最小值元． 则租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 故答案为（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 3.2 利润问题 1、周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 2、某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)见解析 (3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 【详解】（1） 解：方案一：， 方案二：． （2）解：如图． （3）解：由题意得：， 得，， 解得， 由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以； 当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一； 当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 3、端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)（且为整数）； (2)A水果车辆2辆，B水果车辆14辆，C水果车辆4辆时获利最大，最大利润为33.2万元 【详解】（1）解：设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆． ， （且为整数）； （2）解： ， 随的增大而减小， 时，（万元） 答：装载A水果的汽车2辆，B水果的汽车14辆，C水果的汽车2辆时获利最大，最大利润为33.2万元． 3.3 行程问题 1、已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解：由图象可得在甲出发时，两人相遇，这时他们离开地， 故答案为：，； （2）解：甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：，； （3）解：乙从地出发时到达地， 故答案为：． 2、“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 【答案】(1)1000 (2)乌龟，40 (3)60，10，，100 【详解】（1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米， 故答案为：1000 （2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟， 故答案为：乌龟，40 （3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程， 乌龟的平均速度为＝（米/分）， 兔子的平均速度为＝100（米/分）， 故答案为：60，10，，100 3、某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 【答案】(1)40，5，15 (2) (3)超速 【详解】（1）解：由图象可得：学校到景点的路程为，大客车途中停留了， 小轿车的速度：， ， 故答案为：40，5，15； （2）解：由（1）得：， 得大客车的速度：， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了：， ， 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有； （3）解：，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：， 小轿车司机折返时的速度：， 小轿车折返时已经超速； 考点4 一次函数与动点问题 1、如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意观察图象可得， 当点在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为， 即时，， 又∵， 因点从点运动到点，根据函数的对称性可得， ∴的面积是， 故选：． 2、如图1，矩形中， ，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，当时，重合，， ∵， ∴的最大值为， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故选：B． 3．如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 考点5 一次函数中的规律 1、如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 2、在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，有，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，解得， ∴， 同理可得出：，，， 对应的点，．，， ，， 点的坐标为． 故选：B． 3、如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴…， 又，…， ∴的坐标为， 当时，顶点的横坐标为 故答案为：． 考点6 一次函数综合 1、在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【答案】（1）；（2），，或 【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l， ∴设直线l解析式为y＝kx+2， ∵直线l经过点A（﹣4，0） ∴﹣4k+2＝0， ∴k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+2， （2）当x=0时，y=2， ∴ 当点P在轴上时， 或；   当点P在y轴上时， 或； 综上所述，点P的坐标为，，或． 2、综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）求的值； （4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，点或 【详解】解：令中 得：， 解得 ， 直线交轴于点 轴， 点的纵坐标为 在中， 当时，，解得， 设直线的表达式为， 将代入得，解得 直线的表达式为 轴， ， ，点P在x轴上 或 所以存在点或使得 3、如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：由， 解得， ∴点的坐标为； （2）∵直线与坐标轴分别交于两点， ∵点在轴上，且， ∴的坐标为或； （3）∵点在直线上，点横坐标为，且， ， ∴点的坐标为． 4、如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【详解】（1）将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ， ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 考点7 新定义问题 1、定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)17 (2)， (3)；或 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：； （3）解：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标为或． 2、在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”． 下图中的点，点即为“等值点”． (1)已知点C的坐标为． ①在点中，是点C的“等值点”的是点 ；（填D、E或F） ②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标： ； (2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值． 【答案】(1)①E；②或 (2) 【详解】（1）解：①点C的坐标为到x、y轴的距离中的最大值为4， 到x、y轴的距离中的最大值为5， 到x、y轴的距离中的最大值为4， 到x、y轴的距离中的最大值为2， ∴是点C的“等值点”的是点E； 故答案为：E ②∵点与点C是“等值点”，且， 当时，， 此时， 解得：或4（舍去）， ∴点G坐标为； 当时，， 此时， 解得：或（舍去）， ∴点G坐标为； 综上所述，点G坐标为或； 故答案为：或 （2）解：∵是一次函数图象上的两点， ∴， ∴点， ∵M、N为“等值点”， 若，即时，或， 解得：（舍去）或（舍去）； 若，即或时，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 函数、一次函数 目录 知识清单 1 考点汇总 3 考点1 一次函数基础 3 考点2 一次函数与图像 5 考点3 一次函数与实际应用 9 3.1 分配方案问题 9 3.2 利润问题 10 3.3 行程问题 13 考点4 一次函数与动点问题 16 考点5 一次函数中的规律 18 考点6 一次函数综合 20 考点7 新定义问题 25 知识清单 1、函数的基本概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做 ，数值发生变化的量叫做 。 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有 确定的值与其对应，那么就称x是 ，y是x的 。函数的表示方法有： 。 （3）函数自变量的取值范围的一般原则为：整式为 ；分式的 ；二次根式的被开方数为 ；使实际问题 。 2、一次函数的概念 （1）一般来说，形如 的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为 。 （2）一次函数y＝kx＋b是一条经过点 和 的直线，特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点 的直线. （3）一次函数的图像性质 k，b 符号 K＞0， b＞0 K＞0， b＜0 K＞0，b=0 k<0， b>0 k<0， b<0 k<0， b＝0 大致 图象 经过象限 图象性质 y随x的增大而 y随x的增大而 （4）递增的函数：y随x增大而 的函数；递减的函数：y随x增大而 的函数。 3、确定一次函数的k值：设表示一次函数的直线经过，则该直线的k值（斜率，变化率）表示为 。若已知该直线与x轴正方向的夹角为，则= 。 4、一次函数的平移： （1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值 （2）若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h. 5、一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的 。 6、二元一次方程组的解两个一次函数 和图象的 。 7、一次函数与不等式 （1）函数的函数值时，自变量x的取值范围就是不等式 的解集。 （2）函数的函数值时，自变量x的取值范围就是不等式 的解集。 考点汇总 考点1 一次函数基础 1、若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 2、已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 3、关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二，三，四象限 B．图象与轴交于点 C．图象向下平移6个单位经过原点 D．点在函数图象上 4、已知点，在一次函数的图象上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5、若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6、若点在一次函数的图象上，则代数式 ． 考点2 一次函数与图像 1、一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 2、如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 3、一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4、直线不经过第三象限，则k、b应满足（ ） A．， B．， C．， D．， 5、已知直线与直线平行，则直线不经过第 象限． 6、已知一次函数的图象与两坐标轴交于点，，且，则 ． 考点3 一次函数与实际应用 3.1 分配方案问题 1、某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元). (1)请写出y1=______________；y2=_____________. (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由. 2、端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 3.2 利润问题 1、周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 2、某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 3、端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 3.3 行程问题 1、已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 2、“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 3、某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 考点4 一次函数与动点问题 1、如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 2、如图1，矩形中， ，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（   ） A．6 B．9 C． D． 3．如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 考点5 一次函数中的规律 1、如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 2、在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 考点6 一次函数综合 1、在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 2、综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）求的值； （4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3、如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 4、如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 考点7 新定义问题 1、定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 2、在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”． 下图中的点，点即为“等值点”． (1)已知点C的坐标为． ①在点中，是点C的“等值点”的是点 ；（填D、E或F） ②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标： ； (2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $