10.5.4 电场中的曲线运动 重难点突破专项训练 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

10.5.4 电场中的曲线运动﹣高中物理必修三重难点突破 素养目标 1.能根据带电体做曲线运动的特点分析带电体所受电场力； 2.能从动力学或功能关系这两个视角分析求解电场中的曲线运动问题。 知识梳理 带电粒子在电场中做曲线运动的问题，可以从动力学或功能关系这两个视角进行分析与求解。 1.动力学：对带电体进行受力分析，将运动过程分解，对各分运动用牛顿第二定律、运动学公式求解。这种方法通常适用于分运动是在恒力作用下做匀变速直线运动的情况。 2.功能关系：电场中的功能关系是解决电场问题的重要方法。用功能关系求解的方法，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。 (1)若只有电场力做功，则电势能与动能之和保持不变。 (2)若只有电场力和重力做功，则电势能、重力势能、动能之和保持不变。 (3)所有力对物体所做的总功等于物体动能的变化。 一、单选题 1．一电子在电场中由a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示。图中一组平行实线是电场线，则下列说法正确的是（　　） A．a点的电势比b点高 B．电子在a点的加速度方向向右 C．电子从a点到b点动能减小 D．电子从a点到b点电势能增加 2．如图，一质量为m、电量为q的带正电粒子在竖直向下的匀强电场中运动，M、N为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在M点的速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为60°，N点为轨迹的最高点，不计重力．则M、N两点间的电势差为(  ) A． B． C． D． 3．空间内有一水平向右的电场E，现有一带电量为q的小球以初速度为v0向右上抛出，已知，求小球落地点距离抛出点的最远距离（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，竖直面内有一圆形区域，半径为。、分别是圆的水平方向和竖直方向直径。空间存在平行于圆形区域的匀强电场。的中点是圆周上电势最低的点。质量为，电荷量为（）的小球从点以相同的速率向竖直面内各个方向发射，重力加速度为，下列说法中正确的是（　　） A．电场沿方向 B．电势差 C．小球到达点的动能为 D．小球加速度大小可能为 二、多选题 5．空间某区域电场线分布如图所示，带正电小球（质量为m，电荷量为q）在A点速度为，方向水平向右，至B点速度为，与水平方向间夹角为a，A、B间高度差为H，以下判断正确的是（　　） A．A、B两点间电势差 B．小球由A至B，电势能的减少量为 C．小球由A至B，电场力做功为 D．小球重力在B点的瞬时功率为 6．如图所示，一质量为m、电荷量大小为q的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两个点。该液滴在A点的速度大小为，方向与竖直方向的夹角为；它运动到B点时速度大小仍为，方向与竖直方向的夹角为。，，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．液滴带正电，电场强度大小为 B．A点到B点水平距离为 C．从A点到B点电势能减少 D．从A点到B点过程重力势能增加，电势能减少，机械能不变 7．如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知(　　) A．Q点的电势比P点高 B．油滴在Q点的动能比它在P点的大 C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大 D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小 8．某静电透镜的示意图如图所示，图中实线K、G是电极板，K板电势为120V，带孔的G板电势为30V，虚线为等势线，从K板中心附近水平向右发射的带电粒子最终都汇聚到B点，不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能是电子 B．粒子可能是质子 C．粒子从A点运动到B点的过程中，机械能守恒 D．粒子在射出时的电势能和动能之和等于在B点时的电势能和动能之和 9．如图所示，平行等距的竖直虚线M、N、P、Q为某一电场的四个等势面，M、N、P、Q的电势分别为．一个不计重力带负电荷的粒子在电场中运动的轨迹是抛物线用实线表示，a、b、c是轨迹上的三点，其中b点为轨迹上最左端的点，下列说法正确的是（　　） A．该电场一定是匀强电场且 B．根据轨迹可以判断带负电荷的粒子在电场中的运动方向是唯一的 C．带负电荷的粒子在b点动能最大，在c点的电势能最小 D．带负电荷的粒子在电场中各点受到的电场力相等 10．空间存在一匀强电场，将一质量为m、带电荷量为+q的小球从一水平线上的A点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°，经历时间t1回到A点；第二次以同样的速率v0竖直向上抛出，经历时间t2经过水平线上的C点，B为小球运动轨迹的最高点。电场方向与小球运动轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（    ） A． B．电场强度的最小值为 C．电场沿水平方向时，电势差 D．电场强度为最小值时，第二次抛出到回到水平线上的过程中小球的电势能减少了 11．竖直平面内有一匀强电场，如图所示，其电场线（方向未知）与水平方向成30°角，图中与电场线垂直，O、N在同一水平线上，且。现从电场中的M点沿水平方向抛出一质量为m、电荷量为的可视为质点的物体，经时间物体恰好经过N点。已知物体在M、N两点的速率相等，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．电场线的方向垂直OM斜向上 B．该匀强电场的场强 C．物体由M运动到N的过程中电场力做功的值为 D．M、N两点在竖直方向的高度差为 12．如图所示，竖直虚线a、b、c、d、e是等势线且相邻之间电势差相等，一带正电粒子从A点以竖直向上的初速度开始运动，经最高点B后回到与A点在同一水平线上的E点，A、B、C、D、E为粒子轨迹与等势线的交点。粒子从A点运动到B点的过程中克服重力做的功为9J，电场力做的功为20J。已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．粒子在B点时的电势能为-20J C．粒子在C点时的动能为40J D．粒子在E点时的动能为89J 13．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成60°角。A、B为以坐标原点O为圆心的竖直圆周上的两点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的速度大小与在A点射出时相同。已知重力加速度大小为g。则（    ） A．小球一定带正电，场强 B．小球从A点运动到B点过程中增加的电势能为 C．小球从A点运动到B点过程中运动速度的最小值为初速度的倍 D．小球运动到B点时的速度大小为，方向与场强方向相反 14．在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8J，在M点的动能为6J，不计空气的阻力，则下列判断正确的是（　　） A．小球两段水平位移x₁与x₂之比为1：3 B．小球所受电场力与重力之比3：4 C．小球从A 点运动到B 点的过程中最小动能为6J D．小球落到 B 点时的动能为32J 15．如图所示，纸面为竖直面，MN为竖直线段，MN之间的距离为h，空间存在平行于纸面的足够宽广的匀强电场，其大小和方向均未知（图中未画出）。一带电量为，质量为m的小球从M点在纸面内以的速度水平向左开始运动，以后恰好以大小为的速度通过N点。已知重力加速度为g，不计空气阻力。则（　　） A． B．小球经过N点时速度方向一定与水平向右的方向成 C．电场强度方向有可能斜向右上方 D．小球在运动过程中的最小速度为 16．如图所示，在足够大的范围内存在水平向左的匀强电场（图中未画出），倾角为的足够长斜面固定在水平地面上，在斜面底端有一垂直斜面的足够长的绝缘挡板，现从斜面上O点垂直斜面、以大小为v的速度抛出一质量为m的带正电小球，O点到斜面底端的距离为s，小球刚被抛出时所受的合力方向沿斜面向下，小球碰到挡板后垂直挡板反弹（平行挡板方向的速度变为0），且每次反弹后的速度大小为碰前瞬间垂直挡板方向速度大小的，碰撞时间都极短，不计空气阻力，小球所带的电荷量始终不变，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力大小为 B．小球可能落在距O点为的斜面上 C．小球第一次落到挡板上的点到斜面底端的距离为 D．小球从第一次到第四次与挡板碰撞的过程中的路程为 17．如图所示，水平地面上方存在一匀强电场，一质量为m的带负电小球由静止释放，仅在重力和静电力的作用下，恰好沿与水平方向夹角为60°的虚线向下运动。现将小球以大小为、方向与虚线之间的夹角为45°的初速度（斜向右上方）从图示位置抛出，忽略空气阻力，重力加速度为g。小球从抛出到落地前的运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．小球运动过程中加速度的方向始终沿虚线向下 B．电场强度的最小值为 C．小球动能的最小值为 D．小球速度到达最小值时的竖直位移大小可能为 18．如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面为绝缘材料．ABCD面带正电，EFGH面带负电．从小孔P沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴A、B、C，最后分别落在1、2、3三点，则下列说法正确的是 A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动 B．三个液滴的运动时间一定相同 C．三个液滴落到底板时的速率相同 D．液滴C所带电荷量最多 19．如图所示，在直角坐标系xOy的一、四象限内有大小为、方向沿y轴正方向的匀强电场，虚线OM与x轴夹角，一带电量为、质量为m的粒子由静止释放，经过加速电压为的电压加速后从y轴上的Q点，以初速度沿x轴正方向射出，粒子做曲线运动垂直打在OM上的P点。已知粒子做曲线运动的时间为t，Q、P间沿y轴方向上的距离为，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在P处沿竖直方向速度小于 B． C．加速电压 D．P点横坐标为 三、解答题 20．一质量为m的带电小球以速度v0沿竖直方向从A点垂直进入匀强电场E中，如图9所示，经过一段时间后到达B点，其速度变为水平方向，大小仍为v0，重力加速度为g，求： (1)小球带电情况； (2)小球由A到B的位移； (3)小球速度的最小值． 21．空间中存在水平向左的匀强电场，场强E的大小为。将质量为m、电荷量为+q的小球以初速度v0水平向右抛出，小球的运动轨迹如图所示。A、C两点在同一竖直线上，B点的速度方向竖直向下，不计空气阻力，已知重力加速度为g。求： (1)小球从A点运动到B点的时间； (2)小球从A到C运动过程中的最小速度。 22．如图1所示，空间中有一方向水平向右范围足够大的匀强电场，电场强度为，有一个半径为的绝缘光滑圆筒竖直放置，圆筒高为，下端距离地面、分别为圆筒上端和下端与电场方向平行的直径，一个质量为，电荷量为的带正电小球从点内侧沿水平切线开始运动，俯视如图2所示，小球恰好能够贴着圆筒内壁运动，并且恰好经过D点离开圆筒。小球可以看作质点，不计空气阻力，重力加速度为，求： (1)小球从A点到D点的时间； (2)小球在D点时的速度大小； (3)小球落地点到D点的距离。 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 《10.5.4 电场中的曲线运动﹣高中物理必修三重难点突破》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C BD ABC AB AD AD BCD 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 BCD AD BCD AD ABD AD ABD BD BCD 1．B 【详解】A．根据电子的运动轨迹可知，电子受到的电场力向右，因此可知电场线的方向向左，沿电场线的方向，电势降低，所以a点的电势比b点低，故A错误； B．电子受到的电场力向右，所以电子在a点的加速度方向向右，故B正确； C．从a点到b点的过程中，电场力做正功，所以电子从a点到b点动能增加，故C错误； D．电场力做正功，电势能减小，所以电子从a点到b点电势能减小，故D错误。 故选B。 2．B 【详解】粒子在最高点速度等于初速度的水平分量，为： 对从M到N过程，根据动能定理，有： 解得： ； A．，与结论不相符，选项A错误； B．，与结论相符，选项B正确； C．，与结论不相符，选项C错误； D．，与结论不相符，选项D错误； 3．C 【详解】设与水平方向发射角，落地点y=0，故竖直方向上有 解得 在水平方向有 又因为 ， 所以最远射程为 故C正确，ABD错误。 故选C。 4．C 【详解】A．匀强电场中圆周上电势最低点M与最高点M'关于圆心O对称，电场线由高电势指向低电势，因此电场方向沿半径OM方向，而AM为弦，其方向与OM不同，故A错误； B．因CB连线垂直电场线，可知，而，可知电势差，B错误； C．因AD两点电势相等，则从A到D电场力不做功，由动能定理，小球到达点的动能为，C正确； D．小球受恒力作用，设水平加速度 竖直加速度 合加速度 由数学知识可知，a的最小值为 故加速度不可能为0.5g，故D错误。 故选C。 5．BD 【详解】AC．根据动能定理得 得到 由公式 得到A、B两点间的电势差 AC错误； B．根据电场力做功与电势能变化的关系，电势能减少量 B正确； D．瞬时功率的表达式 θ为力F与速度v的夹角，所以小球重力在B点的瞬时功率为 D正确。 故选BD。 6．ABC 【详解】A．将液滴的运动分解，水平方向， 做匀加速直线运动，所以电场力方向与场强方向相同，故液滴带正电。 竖直方向， 水平方向上根据动量定理得 竖直方向上根据动量定理得 联立两式解得 所以，故A正确； B．水平方向上由 得，故B正确； C．由A到B 电场力做功 所以电势能减少，故C正确； D．从A点到B点过程重力势能增加，电势能减少，因电场力做正功，机械能增加，故D错误。 故选ABC。 7．AB 【详解】根据粒子的弯折方向可知，粒子受合力一定指向上方；同时因轨迹关于P点对称，则可说明电场力应竖直向上，粒子带负电，故说明电场方向竖直向下，则可判断Q点的电势比P点高，故A正确；粒子由P到Q过程，合外力做正功，故油滴在Q点的动能比它在P点的大，故B正确；因电场力做正功，故电势能减小，Q点的电势能比它在P点的小，故C错误；因受力为恒力，故PQ两点加速度大小相同，故D错误． 8．AD 【详解】AB．粒子出G板后，受电场力指向z轴，沿电场线方向，电势逐渐降低，可知电场力与场强方向相反，则粒子带负电，可能是电子，故A正确，B错误； C．粒子从A点运动到B点的过程中，电场力做正功，机械能增大，故C错误； D．根据能量守恒定律可知，粒子在射出时的电势能和动能之和等于在B点时的电势能和动能之和，故D正确。 故选AD。 9．AD 【详解】A．因表示电场中四个等势面的四条虚线是平行且等间距的，由此可判断电场是匀强电场，由图中带负电荷的粒子在电场中运动的轨迹可知受到水平向右的电场力作用，电场的方向是向左的，电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面，所以M、N、P、Q的电势，A正确； B．带负电荷的粒子受到水平向右的电场力作用，粒子无论是依次沿a、b、c运动，还是依次沿c、b、a运动，都会得到如题图所示的轨迹，B错误； C．带负电荷的粒子在电场中运动时，电势能与动能之间相互转化，由题图中粒子的运动轨迹可知，a点到b点，电场力做负功（电场力方向和运动方向相反），电势能增大，动能减小，从b运动到c，电场力做正功，电势能减小，动能增大，因此c点的电势能最小，动能最大，C错误； D．因表示电场中四个等势面的四条虚线是平行且等间距的，由此可判断电场是匀强电场，所以带负电荷的粒子在电场中各点受到的电场力相等，D正确． 故选AD． 10．BCD 【详解】A．两次小球的竖直加速度相同，则第一次 第二次 解得 选项A错误； B．当电场力方向与第一次抛出时的初速度方向垂直时场强最小，则此时 电场强度的最小值为 选项B正确； C．电场沿水平方向时，小球在水平方向做初速度为零的匀加速运动，则 根据可知，电势差 选项C正确； D．电场强度为最小值时，竖直方向 水平方向 第二次抛出到回到水平线上的过程中电场力对小球做功 解得 则小球的电势能减少了，选项D正确。 故选BCD。 11．BCD 【详解】A．小球在MN两点的速率相等，则其在该两点的动能相等，其中重力做正功，所以电场力一定做负功，电场力与电场线方向相同，电场线的方向垂直OM斜向下，故A错误； B．从M运动到N，根据动能定理有 mg•OM•sin60°=qE•ON•cos30° 又 OM=ON 解得 故B正确； D．将电场力分解为沿水平方向和竖直方向的分力，则竖直方向上的分力大小为 则小球在竖直方向的合力大小为 由牛顿第二定律可知， F合y=ma，yM、N两点在竖直方向的高度差为 联立解得 故D正确； C．物体由M运动到N的过程中电场力做功 W=qE•ON•cos30° 又 h=OMcos30° 联立解得 故C正确。 故选BCD。 12．AD 【详解】A．带正电的粒子受电场力向右，可知场强方向向右，沿电场线电势降低，可知 选项A正确；     B．从A到B电场力做的功为20J，可知从B到C电场力做功也为20J，则电势能减小20J，因在C点的电势能为零，可知粒子在B点时的电势能为20J，选项B错误； C．从A到B竖直方向 可知 粒子在A点的电势能为40J，因粒子只有重力和电场力做功，则电势能、动能和重力势能之和守恒，则对AC两点 因C点的重力势能EPC小于9J，可知C点的动能大于40J，选项C错误； D．因E点的电势能为-40J，则在AE两点时 可知在E点的动能 EkE=89J 选项D正确。 故选AD。 13．BCD 【详解】A．小球从A点运动到B点动能不变，其中重力做正功，电场力做负功，可知带正电。设A、B两点距离坐标原点O的距离为L，由动能定理知 解得 故A错误； B．小球沿y轴方向，由牛顿第二定律知 又 解得 小球沿电场线方向上的位移大小为 则电势能的增加量 故B正确； CD．对小球受力分析，如图 由图可知 ， 联立，解得 又 可知小球所受合力与竖直方向夹角为 小球做类平抛运动，沿合力方向与垂直合力方向分解速度，如图 根据类平抛运动的对称性，小球从A点运动到B点过程中当速度方向与合力垂直时，所用时间为，运动速度具有最小值为 又 ， 解得 根据类平抛运动的对称性，可知小球运动到B点时沿合力方向速度大小为，垂直合力方向速度大小为，设合速度与夹角为，则有 解得 由几何关系可知，小球运动到B点时速度方向与x轴正方向夹角为 即与场强方向相反。故CD正确。 故选BCD。 14．AD 【详解】A．将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加速直线运动，竖直分运动为竖直上抛运动，所以从到和从到点所用时间相等。对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为，则小球水平位移与的比值为，故A正确； B．由上分析知，从到所用时间为，竖直方向有 其中 水平方向有 其中 联立有 故B错误； D．设物体在动能为，水平分速度为，竖直分速度为，由竖直方向运动对称性知 对于水平分运动运用动能定理得 又因为 所以解得 故 故D正确； C．小球受力如图所示 小球受到的合外力为重力和电场力的合力，为恒力，在点时，合力与速度之间的夹角为钝角，在点时，合力与速度之间的夹角为锐角，即合力先做负功后做正功，小球的动能先减小后增大，小球从到的过程，合力一直做正功，动能一直增大。则小球从运动到的过程中最小动能一定小于，故C错误。 故选AD。 15．ABD 【详解】A．小球从M到N的运动过程中，根据动能定理有 解得，故A正确； B．小球在水平方向的运动具有对称性，故到达N点时，小球水平方向的速度大小为，所以在N点小球在竖直方向的速度为 设小球经过N点时速度方向与水平方向的夹角为，则有 解得，故B正确； C．若小球在竖直方向只受重力的作用，则有 解得 故小球一定受到竖直向下的电场力的分力，由于小球带正电，所以电场强度一定有竖直向下的分量，因此电场强度方向不可能斜向右上方，故C错误； D．画出小球从M到N的速度变化矢量图，如图所示： 可知，实际速度与垂直时速度最小，则 所以小球在运动过程中的最小速度为，故D正确。 故选ABD。 16．AD 【详解】A．小球刚被抛出时所受的合力方向沿斜面向下，则有 解得小球所受的电场力大小为，故A正确； B．小球第一次碰到挡板前的运动轨迹如图所示： 由分析可知，由于小球与挡板碰撞后平行挡板方向的速度变为0，故小球每次与挡板碰撞后都做类竖直上抛运动，所以小球不会落回斜面，故B错误； C．由牛顿第二定律有 解得小球在空中运动的加速度大小为 小球抛出后做类平抛运动，其沿斜面方向做匀加速直线运动，则由运动学公式有 解得 小球抛出后沿垂直于斜面方向做匀速直线运动，所以小球第一次落到挡板上的点到斜面底端的距离为，故C错误； D．小球第一次与挡板碰撞前瞬间，垂直挡板的速度大小为 此后小球每次碰撞后都做类竖直上抛运动，设第n（，2，3，…）次碰撞后到挡板的最大距离为，则有 解得 所以小球从第一次到第四次与挡板碰撞的过程中的路程为，故D正确。 故选AD。 17．ABD 【详解】A．重力和静电力的合力方向沿虚线向下，小球做匀变速曲线运动，加速度沿合力方向，A正确； B．根据图解法，静电力方向垂直虚线向上时，电场强度最小，则有 可得最小值应满足，B正确； C．匀变速曲线运动中，速度最小值出现在速度方向与合力方向垂直时，初速度与合力方向夹角为45°，因此垂直合力方向的初速度分量为 对应动能最小值，C错误； D．如图所示，合力方向固定，但合力大小可变化，导致竖直方向加速度不同，最终竖直位移大小可变，初速度与虚线夹角为45°，虚线与水平方向成60°角，因此初速度与竖直方向夹角为15°，竖直初速度分量为定值，竖直加速度，，因此h可能为大于零的任意值，D正确。 故选ABD。 18．BD 【详解】A.三个液滴在水平方向受到电场力作用，水平方向不是匀速直线运动，所以三个液滴在真空盒中不是做平抛运动，选项A错误； B.由于三个液滴在竖直方向做自由落体运动，三个液滴下落的高度相同，三个液滴的运动时间相同，选项B正确； C.三个液滴落到底板时竖直分速度相等，而水平分速度不相等，所以三个液滴落到底板时的速率不相同，选项C错误； D.由于液滴C在水平方向位移最大，而运动时间和初速度相同，说明液滴C在水平方向加速度最大，所带电荷量最多，选项D正确． 19．BCD 【详解】A．粒子做曲线运动垂直打在OM上的P点，设粒子在P处沿竖直方向速度为，则在P点有 解得 故A错误； BC．粒子经过加速电压后，由动能定理 以上分析可知 分析可知粒子在第一象限做类平抛运动，由类平抛规律可得 联立解得 故BC正确； D．分析可知粒子在第一象限做类平抛运动，竖直方向有 P点横坐标为 联立解得 故D正确。 故选 BCD。 20．（1）小球带正电，   （2） ，与水平方向的夹角为45°（3） 【详解】（1）从A到B过程中，在竖直方向小球做匀减速运动 加速度 B点是最高点，竖直分速度为0，有： 水平方向小球在电场力作用下做匀加速运动，可知小球带正电 初速度为0，加速度 水平方向有： 联立两式得： 可得 （2）在两个方向上的运动互为逆运动，故小球运动的水平位移大小等于竖直位移大小 在竖直方向由 可得 所以位移为 其与水平方向的夹角为 ，即位移与水平方向的夹角为 设重力与电场力的合力为F，其与水平方向的夹角为 则：，如图所示 开始一段时间内，F与速度方向夹角大于，合力做负功，动能减小 后来F与速度夹角小于，合力做正功，动能增加 因此，当F与速度v的方向垂直时，小球的动能最小，速度也最小，设为 即：，则， 解得 ， 点睛：考查运动如何分解，及分运动的等时性，并要掌握运动学公式，牛顿第二定律，动能定理，及能量守恒定律，并理解电场力做功与电势能变化关系． 21．(1) (2) 【详解】（1）水平方向，由牛顿第二定律有 由运动规律有 联立解得 （2）设电场力与重力的合力与水平方向的夹角为θ，则 则 当小球的速度与该合力垂直时，最小速度为v，则 解得 22．(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得 （2）由题意，在A点时小球只由电场力提供向心力，则有 从A点到D点，根据动能定理，有 联立解得 （3）设小球在D点时垂直电场线方向的水平分速度为，竖直分速度为，则有 又有，解得 设小球从点到落地的时间为，那么由自由落体运动规律，有 从离开点到落地，小球在方向上的位移 小球在沿电场线方向的位移，根据匀变速直线运动位移与时间的关系，得 落地点到D点的距离 解得 答案第12页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $